钦定四库全书
九章录要卷十
松江屠文漪撰
方程法
古九章八曰方程以御错揉正负
二色方程例 假如绫五匹纱八匹共价银二十四两又绫七匹纱四匹共价二十二两八钱问绫纱每匹价各防何法依所问列左右二行以绫五互乗绫七纱四及价所得数各注于其下【绫得三十五纱得二十价得一百一十四】亦以绫七互乗绫五纱八及价注所得数如前【绫得三十五纱得五十六价得一百六十八】两绫数相对减尽两纱数减余【三十六】为法两价数减余【五十四】为实以法除实得纱每匹价一两五钱乃就一行中以纱匹数乗价减共价余以绫匹数除之得绫每匹价二两四钱
按右例若以纱互乗即先得绫价于法皆通以后各例仿此
又按例以绫互乗则两绫所得数必相对减尽矣立法之意正欲使两绫数等而后价数之不齐由于纱数之不齐显然可推也然旣知此义则以后凡同物相乘如绫之比者直可省之故槪不赘书惟于右一条具文见义云
又如七钗九钿共重九两四钱钗重钿轻于中互换其一则轻重适等问钗钿各重防何法依所问钗钿互换其一以六钗一钿一钗八钿左右对列而中分其总重之数系之两行如前求之得一钗之重七钱一钿之重五钱
二色方程兼正负例 假如卖米七石买麦三石米家得银九两六钱又卖米三石买麦九石米家出银三两六钱问米麦每石价各防何法以米为正麦为负米家所得之价为正米家所出之价为负列左右两行如前若以米互乘麦及价者【麦负九得六十三价负得二十五两二钱麦负三得九价正得二十八两八钱】而麦数减余【五十四】为法两价数相并【五十四】为实以法除实得麦每石价一两乃以麦负九石乘价减负价余以米三石除之或以麦负三石乘价并正价以米七石除之得米每石价一两八钱按负有背负之义谓正之反也亦有负欠之义此
例从米家卖米言之故卖米为正买麦为负米家所得之价为正所出之价为负若从麦家言者反是其并减之法此以两正及两负同名者相减一正一负异名者相并自互乗得数及已得一物之价而以其物数乗价与原正负价幷减求第二物之价皆然
二色正负反用并减例 凡互乗所得数固以两正两负同名相减一正一负异名相并为常法而亦有反用之者假如卖米五石麦五石得银一十四两卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各防何此若以米互乗麦与价【米系两正同名】则两米相乘所得数自必相对减尽不待乗而可知矣两麦两价俱系正负异名其乘得数固宜相并如常法也【麦正得二十麦负得三十五并得五十五价正得五十六价负得一十并得六十六】若以麦互乗米与价【麦系正负异名】则两麦相乘所得数乃须相并殊非立法之意故变通其法反以两麦相减而两米俱正同名反相并【米五得三十五米四得二十并得五十五】两价正负异名亦反相减【价正得九十八价负得一十减得八十八】此其义何也卖米买麦而出银犹之买米卖麦而得银然则正可变为负负可变为正今不变其正负之名但变其并减之法此法之变生乎常而常变不殊其用者也且非特此也同名相减取其数之齐者以相比例而其余之不齐可得而推故同减而异必并异名相减取其数之齐者以相偿补而其余之不齐亦可得而推故异减而同必并此法之变反乎常而常变各成其用者也依法求之得米每石价一两六钱麦每石价一两二钱自三色正负以上凡互乘所得数则两法并用若已得一物之价而以其物数乗价与原正负价相并减求第二物之价者只依常法不在变通之例
按右所论同减异并异减同并明其所以然之故益见法之当然而不可易矣乃旣经并减后所得之数谓之正乎谓之负乎此在二色方程但取其数为法实以相除犹不必深辨也若三色以上而不分正负后更与他数相并减其道何由故特剖而论之曰凡并减虽两行相对要以一行为主如以正并者【为主之行系正也】得数仍为正以负并者得数仍为负也以正减者减而有余【为主之行有余也】则为正减而不足则为负以负减者减而有余则为负减而不足则为正也此一定之理断不容混耳更有为主之行无数而借相对之行所有数虚立于本行以为数者或遇应借而不知借或借而槩称为负则非矣夫数岂可借盖实非借也试思两正相减而此少彼多犹谓之负则此无彼有得不谓之负乎【两负相减亦然】又试思以正幷负而此有正数犹取彼负以益之则此无正数得不取彼负以实之乎【以负并正亦然】故借正为负借负为正凡以同名互乘相减者固宜如是也若以异名互乗则亦当借正为正借负为负此皆自然之理施之于算无往不合者其要则曰同减异借异减同借两言而已每见算家之书于已经并减之数及应借之数处之茫然莫能致辨于是误在毫厘失之千里纵复强为牵合究且于率难通则方程之法或防乎废矣兹因论并减异同而并畅其説然后以三色四色方程着例于左览者当如观火而自五色以上直可推之至于无穷也【右一条新订】
三色方程例 假如绫五匹纱三匹防五匹共价二十二两五钱又绫四匹纱二匹防七匹共价二十一两又绫八匹纱六匹防九匹共价三十九两问三物每匹价各防何法依所问列左右中三行乃以左行中行绫互乘纱防及价又以右行中行绫互乗纱防及价所得数各注于其下次以中行左行相减且如左行为主【或以中行为主亦可】减得纱正八防负二十价负一十二注左行之旁又以中行右行相减且如右行为主减得纱正二防负一十五价负一十五注右行之旁【图式具后其左右中三行上中三层俱可互换耳】
两旁所注数即是二色方程再依二色法求之得防每匹价一两二钱纱每匹一两五钱二价旣得绫价易见每匹二两四钱【按右例原数无正负因相减而有正负也若左例原数已兼正负则别为一条 又按方程章惟右一例不可用借徴法余并可以借徴求之而条缕多者方程为便】
三色方程兼正负例 假如绫五匹换纱三匹绫家得银七两五钱又绫四匹换纱二匹防七匹绫家出银一两八钱又绫八匹换防九匹绫家得银八两四钱问三物每匹价各防何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘余物及价各注所得数空者阙之【依后图以上乗下为便故第一层三行俱实而空位则在下诸层也】次以中行左行相并减且如左行为主借得纱正一十六减得防正二十并得价正四十八又以中行右行相并减且如右行为主减得纱负二借得防正三十五并得价正三十九注于两旁
再以二色方程法求之【物价同前例右一条新增】
三色方程兼正负又例【前法止于三色而已此法则四色五色所从出也】 假如依前例绫正五纱负三价正七两五钱绫正四纱负二防负七价负一两八钱绫正八防负九价正八两四钱求各物价法列三行如后图式【惟第一行第三层第三行第二层可虗可实余必如图】专以第三行为主先以第三行纱互乗第一行绫防及价以第一行纱互乗第三行绫及价各注所得数乃以第三行与第一行相并减借得防正二十一减得绫负二并得价正二十两零四钱次以第三行借防互乗第二行绫及价以第二行防互乗第三行绫及价【就第一行互乗相并减之数而乗之非乗原数也】各注所得数乃以第三行与第二行相并减减得绫正一百五十为法并得价正三百六十两为实以法除实得绫每匹价以次求各价
又如行程顾骡一匹马一匹共价钱七百又顾马二匹驴一匹共价八百四十又顾骡一匹驴三匹共价七百问三物每匹顾値各防何法列三行如前以第三行与第一行互乗乃相并减借得马负一驴无并减只用乗得之数价减尽不存次与第二行互乗第三行价已尽无乗阙之乃相并减并得驴正七为法借得价正八百四十为实以法除实得驴每匹价一百二十以次求各价驴每匹三百四十马每匹三百六十
按此例三物及价俱正而云正负者三物中缺其一是乃所谓负也算家就物强分正负则谬之甚者又如依前所问更置其位先求一骡之力
又更置其位先求一马之力【此例算家误甚故反覆以明之】
【右一条三式俱新订】
四色方程兼正负例【四色五色以上皆与三色一法聊着此以见例云】假如绫二匹纱七匹共价一十五两三钱又纱 匹绢三匹共价九两又绢五匹防五匹共价一十一两又防四匹绫三匹共价一十二两问四物每匹价各防何法列四行如后图式乃依前法以第四行为主先与第一行互乘而并减之次第二行次第三行最后减得防负一百五十五为法价负一百八十六为实以法除实得防每匹价一两二钱余价次第求之绫每匹二两四钱纱每匹一两五钱绢每匹一两
按自三色方程以上凡前诸行所有之物为末行所无者互乗后即借其乘得之数下层之价亦然如末行无价与第一行互乘而借其数或第一行亦无价则待至二三行互乘后有数而借之也若有数而减尽即彼此俱无数当于次行互乗后借之其末行所有之物为前诸行所无者无可并减末行只用互乗所得之数下层之价亦然【右一条新订】
九章录要卷十