钦定四库全书
九章录要卷九
松江屠文漪撰
盈朒法
古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隐襍互见
盈不足例 假如众人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹问人数帛数各防何法以盈不足数相并为人实以分数互乗盈不足数相幷为帛实乃以分数相减之较为法除人实得人数八除帛实得帛数五十五 按盈不足数及分数互乗盈不足数俱相并若遇两盈两不足即相减惟以分数相减之较为法则诸例皆同都不用并也
又按右例若止求人数以乗分数而以盈不足数加减算之亦得帛数即不用互乗之法可也以下诸例仿此
又如田形长方欲于中截分一段截长七歩不足七歩截长九歩盈十一歩问原阔歩及所截积歩各防何法以盈不足数相幷为原阔之实以截长数互乗盈不足数相幷为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔歩九截积歩七十
又如绢一匹作帐折成六幅比旧帐长六寸折成七幅比旧帐短四寸问旧帐幅新绢各长防何法先以幅数各乗长短数以为盈不足数【六幅共盈三十六寸七幅共朒二十八寸不以六寸四寸为盈朒数也】然后以盈不足数相并为旧帐幅实以幅数互乗盈不足数相并为新绢实俱以幅数之较为法除之得旧帐幅长六尺四寸新绢长四丈二尺
又如井不知深【谓水面以上至井口非谓水深也】将绳折作三股入井汲水余绳四尺折作四股入井余绳一尺问井深绳长各防何法先以股数各乗余绳数以为两盈数【与上帐幅例同】然后以两盈数相减为井实以股数互乗两盈数相减为绳实俱以股数之较为法除之得井深八尺绳长三丈六尺
又如官米不知其数甲乙二等户并输乙户所输当甲户十之八令甲等八户乙等五戸输之不足三石令甲等六户乙等八戸输之不足一石问二等户输米则例及官米总数各防何法先以甲乙二等衰各乗户数依问所列并之以为输数【此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四为输数不以原户数为输数也】然后以两不足数相减为则例之实以输数互乗两不足数相减为总米之实乃以输数之较为法除则例实以二等衰各乗之得二等戸输米则例甲每户五石乙每户四石【按以法除则例之实当得则例之数而此条乃不同者前旣以甲户乗衰作十数乙户乗衰作八数则此除得之数仅得甲户十之一乙户八之一故须以二等衰各乗之而后二等则例皆得也】又以输数之较为法除总米实得官米总六十三石
按右三条其法不异于前两条但中间复带细数须相乗者故微有不同耳若带分盈朒虽亦大略相类而自为一法别起例于后
又如长方田中欲截分一段截长三十八歩不足二十五歩截长四十歩适足问原阔歩及所截积歩各防何法以不足数为原阔之实以适足之截长数乗不足数为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔十二歩半截积五百歩【一盈一适足者仿此】
带分盈不足例 假如将银买物用银三分之二盈三两用五分之三不足一两问银数物价各防何法先以分子互乗分母以为用银数【分子二乗分母五则以十为用数不以二为用数分子三乗分母三则以九为用数不以三为用数】然后以盈不足数相并以两分母相乗之数乗之为银实【分子旣互乗分母以为用数则盈不足亦必累乗两分母以为银实也】以用银数互乗盈不足数相并为物价实俱以用银数之较为法除之得总银六十两物价三十七两
又如众人买物每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两问人数物价各防何法如前先以银率互乗人率以为出银数然后以两盈数相减以两人率相乗之数乗之为人实以出银数互乗两盈数相减为物价实俱以出银数之较为法除之得人数一十二物价两数一十五
按右例似与带分有别而实则同也六人共银九两即是六分之九零分法原有子数多于母数者也所用算术旣无少异宜附带分之条或别立名目重出一条徒滋学者之惑殆未深知其理之一耳 又按第一例旣以用银数互乗盈不足得数若再以用银数与乗得之数又互换而乗之【前用银数十互乗不足一两仍得十用银数九互乗盈三两得二十七今再以用银数十互乗二十七得二百七十用银数九互乗十得九十也】相并以两分子相乗之数除之以为银实【第二例亦然此姑就第一例言之】于算亦通而叠用互乗数目纷纭非法之良宜从芟削者也【右二条新订】
又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各防何法先以分子互乗分母及石数以为用银数以两不足数互乗石数以为两不足数然后以两不足数相减以两分母相乗之数乗之为银实以用银数互乗两不足数相减以两石数相乗之数除之为米价实俱以用银数之较为法除之得总银三十六两米每石价一两五钱
按右例于带分之外更有石数不齐须用乗除故其法颇繁宜依所问列左右二行左分子一乗右分母又乗右石数得一百零八为左用银数左不足三乗右石数得三十六为左不足数右亦如之然后再用互乗庻无淆乱之患 按用银数互乗两不足得数即以为米价实【不用两石数相乗之数除也】以用银数之较为法除之却再以十石除之则得十二石之总价以十二石除之则得十石之总价
又按用银数旣互乗两不足得数再与乗得数互换乗之相减以两石数相乗之数除之又以两分子相乗之数除之以为银实其法亦通然知之则可用之则迂矣【右一条新増】
又如谷不知数取三分之一卖银八两不足一石取九分之四卖银十两适足问总谷防何每银一两直谷防何法如前先以分子互乗分母及两数以为出谷数以适足之两数乗不足数以为不足数然后以不足数以两分母相乗之数乗之为谷实以适足之出谷数乗不足数以两两数相乗之数除之为银直实俱以出谷数之较为法除之得总谷四十五石每银一两之直谷二石
按右例旣得总谷石数但取适足银数以原母乘之原子除之即得总谷所直之银而银一两所直之谷可知矣此法最捷【右一条新订】
又按此章诸例皆可以借征法求之别着一条于第十二篇中余可反隅而得也
九章录要卷九