钦定四库全书
五经算术卷下
周 甄 鸾 撰
唐 李淳风 注
礼记月令黄锺律管法
黄锺术曰置一算以三九徧因之为法置一算以三因之得三又三因之得九又三因之得二十七又三因之得八十一又三因之得二百四十三又三因之得七百二十九又三因之得二千一百八十七又三因之得六千五百六十一又三因之得一万九千六百八十三为法即是黄锺一寸之积分重张其位于上以三再因之为黄锺之实以法除之得黄锺十一月管长九寸置黄锺一寸积分一万九千六百八十三以三因之得五万九千四十九又置五万九千四十九以三因之得十七万七千一百四十七为黄锺之实以寸法一万九千六百八十三除实得黄锺之管长九寸
律管之法隔八相生子午已东为上生子午已西为下生上生者三分益一下生者三分损一益者四乘三除损者二乘三除黄锺下生林锺六月管长六寸置黄锺管长九寸以二乘之得十八以三除之得林锺管长六寸
林锺上生太蔟正月管长八寸置林锺管长六寸以四乘之得二十四以三除之得太蔟管长八寸
太蔟下生南吕八月管长五寸三分寸之一置太蔟之管八寸以二乘之得十六以三除之得南吕之管长五寸三分寸之一
南吕上生姑洗三月管长七寸九分寸之一置南吕管长五寸以分母三乘之内子一得十六以四乘之得六十四以三乘法三得九为法以除之得姑洗之管长七寸九分寸之一
姑洗下生应锺十月管长四寸二十七分寸之二十置姑洗管长七寸以分母九乘之内子一得六十四以二乘之得一百二十八以分母九乘法三得二十七为法以除之得应锺之管长四寸二十七分寸之二十应锺上生蕤宾五月管长六寸八十一分寸之二十六置应锺管长四寸以分母二十七乘之内子二十得一百二十八以四乘之得五百一十二以分母二十七乘法三得八十一为法除之得蕤宾管长六寸八十一分寸之二十六
蕤宾上生大吕十二月管长八寸二百四十三分寸之一百四置蕤宾管长六寸以分母八十一乘之内子二十六得五百一十二以四乘之得二千四十八为实以分母八十一乘法三得二百四十三为法除之得大吕之管长八寸二百四十三分寸之一百四
大吕下生夷则七月管长五寸七百二十九分寸之四百五十一置大吕管长八寸以分母二百四十三乘之内子一百四得二千四十八以二乘之得四千九十六为实以分母二百四十三乘法三得七百二十九为法除之得夷则管长五寸七百二十九分寸之四百五十一
夷则上生夹锺二月管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五置夷则管长五寸以分母七百二十九乘之内子四百五十一得四千九十六以四乘之得一万六千三百八十四为实以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七为法除之得夹锺管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五
夹锺下生无射九月管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四置夹锺管长七寸以分母二千一百八十七乘之内子一千七十五得一万六千三百八十四以二乘之得三万二千七百六十八为实以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一为法除之得无射管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四
无射上生中吕四月管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四置无射管长四寸以分母六千五百六十一乘之内子六千五百二十四得三万二千七百六十八以四乘之得十三万一千七十二为实以分母六千五百六十一乘法三得一万九千六百八十三为法除之得中吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四
礼记礼运注始于黄锺终于南吕法
五行之动迭相竭五行四时十二月还相为本五声六律十二管还相为宫五味六和十二食还相为滑【案今礼记正文作质郑注云五味酸苦辛咸甘也和之者春多酸夏多苦秋多辛冬多咸皆有滑甘是谓六和盖五味加滑而六据内则曰滫?以滑之疏云滫?之令柔滑也食味言还相为滑衣色言还相为质质如凡画者丹质之质食味衣色二者语宜有别此所引在唐以前应是古本作滑仍之以备参考】五色六章十二衣还相为质注云竭犹负载也言五行运转更相为始五声宫商角徵羽其管阳曰律隂曰吕布在十二辰始于黄锺九寸下生者三分去一上生者三分益一终于南吕更相为宫凡六十律甄鸾按五声六律十二管还相为宫终于南吕
黄锺为宫林锺为徵太蔟为商南吕为羽姑洗为角林锺为宫太蔟为徵南吕为商姑洗为羽应锺为角太蔟为宫南吕为徵姑洗为商应锺为羽蕤宾为角南吕为宫姑洗为徵应锺为商蕤宾为羽大吕为角姑洗为宫应锺为徵蕤宾为商大吕为羽夷则为角应锺为宫蕤宾为徵大吕为商夷则为羽夹锺为角蕤宾为宫大吕为徵夷则为商夹锺为羽无射为角大吕为宫夷则为徵夹锺为商无射为羽中吕为角夷则为宫夹锺为徵无射为商中吕为羽黄锺为角夹锺为宫无射为徵中吕为商黄锺为羽林锺为角无射为宫中吕为徵黄锺为商林锺为羽太蔟为角中吕为宫黄锺为徵林锺为商太蔟为羽南吕为角甄鸾按礼记注一本乃有云始于黄锺终于南事者更显之于後
礼运一本注始于黄锺终于南事法
甄鸾按司马彪律历志黄锺下生林锺林锺上生太蔟太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应锺应锺上生蕤宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹锺夹锺下生无射无射上生中吕中吕上生执始执始下生去灭去灭上生时息时息下生结躬结躬上生变虞变虞下生迟内迟内上生盛变盛变上生分否分否下生解形解形上生开时开时下生闭掩闭掩上生南中南中上生丙盛丙盛下生安度安度上生屈齐屈齐下生归期归期上生路时路时下生未育未育上生离宫离宫上生凌隂凌隂下生去南去南上生族嘉族嘉下生邻齐邻齐上生内负【案原本讹作内员下同今据後汉书改正】内负上生分动分动下生归嘉归嘉上生随期随期下生未卯未卯上生形始形始下生迟时迟时上生制时制时上生少出少出下生分积分积上生争南争南下生期保期保上生物应物应上生质末质末下生否与否与上生形晋【案原本讹作下生形晋今据後汉书改正】形晋下生夷汗夷汗上生依行依行上生色育色育下生谦待谦待上生未知未知下生白吕白吕上生南授南授下生分乌分乌上生南事南事不生
汉书终于南事算之法
甄鸾按司马彪志序云汉兴北平侯张苍首治律历孝武正乐置协律之官至元始中博徵通知锺律者考其意义刘歆典领条奏前史班固取以为志而元帝时郎中京房知五声之音六律之数上使太子太傅元成谏议大夫章杂试问房于乐府房对受学故小黄令焦延夀六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆三生四阳下生隂阴上生阳始于黄锺【案後汉书今本及见于礼记疏者皆无始于黄锺四字此所引乃全文可补二书脱误】终于中吕而十二律毕矣中吕上生执始执始下生去灭上下相生终于南事六十律毕矣夫十二律之变至于六十犹八卦之变至于六十四也宓羲作易纪阳气之初以为律法建日冬至之声以黄锺为宫太蔟为商姑洗为角林锺为徵南吕为羽应锺为变宫蕤宾为变徵此声气之元五音之正也故各统一月【案後汉书今本讹作各终一日下当月者讹作当日者考律法十二律分十二月各自为宫而商徵以类从是一律统一月也礼记疏引作各统一日下仍作当月者惟此所引无舛误可据以订正二书】其余以次运行当月者各自为宫而商徵以类从焉礼运篇曰五声六律十二管还相为宫此之谓也以六十律分朞之日黄锺自冬至始及冬至而复阴阳寒燠风雨之占生焉所以检摄羣音考其高下苟非革木之声【案革木後汉书今本讹作草木当以此所引为正】则无不有所合作声不可以度调故作准以定数准之状如瑟长丈而十三弦隐间九尺以应黄锺之律九寸中央一弦下有画分寸以为六十律清浊之节律术曰阳以圆为形其性动阴以方为节其性静动者数三静者数二以阳生阴倍之以阴生阳四之皆三而一阳生阴曰下生阴生阳曰上生上生不得过黄锺之浊下生不得不及黄锺之清【案後复引此二语下云是则上生不得过九寸下生不得减四寸五分考蔡邕月令章句云黄锺之宫谓黄锺少宫也半黄锺九寸之数管长四寸五分盖九寸者黄锺全律四寸五分者黄锺半律後汉书今本作上生不得过黄锺之清浊下生不得及黄锺之数实讹谬不可通当是传写致舛校书者因有所窜改此所引犹善本未讹者也】皆参天两地圆盖方覆六耦承奇之道也黄锺律吕之首而生十二律者也其相生也皆三分而损益之是故十二律之得十七万七千一百四十七是为黄锺之实如前置一算以三九徧因之得一万九千六百八十三为黄锺一寸之积分即为一寸之法即以三再因之得一十七万七千一百四十七为黄锺之实以寸法除之得黄锺之管长九寸又以二乘而三约之是谓下生林锺之实置黄锺之实一十七万七千一百四十七以二因之得三十五万四千二百九十四以三除之得一十一万八千九十八为林锺之实以寸法一万九千六百八十三除之得林锺之管长六寸又以四乘而三约之是谓上生太蔟之实置林锺之实十一万八千九十八以四因之得四十七万二千三百九十二以三除之得十五万七千四百六十四为太蔟之实以寸法一万九千六百八十三除之得太蔟之管长八寸自余诸管上下相生皆仿此推此上下以定六十律之实以九三之数【案数原本讹作得今据後汉书改正】万九千六百八十三为法实如法于律为寸于准为尺【案尺字原本讹作寸今据後汉书改正】于律为分于准为寸【案後汉书今本无此二语考下云不盈者十之所得为分正承于准为寸句谓不盈寸也当是後汉书脱落此所引乃全文】不盈者十之所得为分又不盈十之所得为小分以其余正其强弱
子黄锺实十七万七千一百四十七律九寸下生林锺臣淳风等谨案此六十律上下相生之法空有都术而无问目今于此下附一都问自余诸律问皆准此其问宜云黄锺实一十七万七千一百四十七律长九寸下生林锺实律各几何曰实一十一万八千九十八律长六寸
色育实十七万六千七百七十六律八寸九分【小分八微强】下生谦待
执始实十七万四千七百六十二律八寸八分【小分七太强】下生去灭
丙盛实十七万二千四百一十律八寸七分【小分六微弱】下生安度
分动实十七万八十九律八寸六分【小分四微强】下生归嘉质末实十六万七千八百律八寸五分【小分二半强】下生否与
丑大吕实十六万五千八百八十八律八寸四分【小分三弱】下生夷则
分否实十六万三千六百五十四律八寸三分【小分一强】下生解形
凌阴实十六万一千四百五十二律八寸二分【小分一弱】下生去南【案此句之上原本脱小分一弱四字今据後汉书补】
少出实十五万九千二百八十律八寸【小分九少强】下生分积
寅太蔟实十五万七千四百六十四律八寸下生南吕未知实十五万七千一百三十四律七寸九分【小分八强】下生白吕
时息实十五万五千三百四十四律七寸八分【小分九少强】下生结躬
屈齐实十五万三千二百五十三律七寸七分【小分九弱】下生归期
随期实十五万一千一百九十律七寸六分【小分八微强】下生未卯
形晋实十四万九千一百五十六【案六後汉书作五据否与上生形晋所得数末位为六今本後汉书盖流传之讹当以此所引为正】律七寸五分【小分八弱】下生夷汗
卯夹锺实十四万七千四百五十六律七寸四分【小分九微强】下生无射
开时实十四万五千四百七十律七寸三分【小分九微强】下生闭掩
族嘉实十四万三千五百一十三律七寸二分【小分九微强】下生邻齐
争南实十四万一千五百八十二律七寸一分【小分九强】下生期保
辰姑洗实十三万九千九百六十八律七寸一分【小分一微强】下生应锺
南授实十三万九千六百七十四【案後汉书无四字据白吕上生南授所得数末二位为七十四今本後汉书盖脱去四字当以此所引为正】律七寸【小分九太强】下生分乌
变虞实十三万八千八十四律七寸【小分一半强】下生迟内路时实十三万六千二百二十五律六寸九分【小分二微强】下生未育
形始实十三万四千三百九十二律六寸八分【小分三弱】下生迟时
依行实十三万二千五百八十二律六寸七分【小分三半强】上生色育
巳中吕实十三万一千七十二律六寸六分【小分六微弱】上生执始
南中实十二万九千三百八律六寸五分【小分七微弱】上生丙盛
内负实十二万七千五百六十七律六寸四分【小分八微强】上生分动
物应实十二万五千八百五十律六寸三分【小分九强】上生质末
午蕤宾实十二万四千四百一十六律六寸三分【小分二微强】上生大吕
南事实十二万四千一百五十四律六寸三分【小分一弱】不生【案不今本後汉书讹作下据六十律终于南事故下文云南事穷无商徵不为宫所以明其不生也又甄鸾按以下复两引後汉志注云不生而辨论之足证今本後汉书流传之误】
盛变实十二万二千七百四十一律六寸二分【小分三半强】上生分否
离宫实十二万一千八百一十九【案原本讹作一千八十九脱百一二字今据後汉书补】律六寸一分【小分五微强】上生凌阴
制时实十一万九千四百六十律六寸【小分七微弱】上生少出
未林锺实十一万八千九十八律六寸上生太蔟谦待实十一万七千八百五十一律五寸九分【小分九弱】上生未知
去灭实十一万六千五百八律五寸九分【小分四微弱】上生时息
安度实十一万四千九百四十律五寸八分【小分四微弱】上生屈齐
归嘉实十一万三千三百九十三律五寸七分【小分六微强】上生随期
否与实十一万一千八百六十七律五寸六分【小分八强】上上形晋【案原本脱此四字今据後汉书补】
申夷则实十一万五百九十二律五寸六分【小分二弱】上生夹锺
解形实十万九千一百三【案十万後汉书作十一万据分否下生解形所得数首位为十万次位空今本後汉书误衍一字耳若十一万九千一百三则律六寸矣当以此所引为正】律五寸五分【小分四强】上生开时
去南实十万七千六百三十五律五寸四分【小分六太强】上生族嘉
分积实十万六千一百八十七【案七後汉书作八据少出下生分积所得数末位六六六不尽故约之为七不得有八也今本後汉书讹舛当以此所引为正】律五寸三分【小分九强】上生争南
酉南吕实十万四千九百七十六律五寸三分【小分三强】上生姑洗
白吕实十万四千七百五十六律五寸三分【小分二少强】上生南授
结躬实十万三千五百六十三律五寸二分【小分六微强】上生变虞
归期实十万二千一百六十九律五寸一分【小分九微强】上生路时
未卯实十万七百九十四律五寸一分【小分二微强】上生形始
夷汗实九万九千四百三十七律五寸【小分五微强】上生依行
戌无射实九万八千三百四律四寸九分【小分九强】上生中吕
闭掩实九万六千九百八十律四寸九分【小分三弱】上生南中
邻齐实九万五千六百七十五律四寸八分【小分六微强】上生内负
期保实九万四千三百八十八律四寸七分【小分九半强】上生物应
亥应锺实九万三千三百一十二律四寸七分【小分四微强】上生蕤宾
分乌实九万三千一百一十六【案六後汉书作七据南授下生分乌所得数末为六今本後汉书讹舛当以此所引为正】律四寸七分【小分三微强】上生南事迟内实九万二千五十六律四寸六分【小分八强】上生盛变未育实九万八百一十七律四寸六分【小分一强】上生离宫迟时实八万九千五百九十五律四寸五分【小分五微强】上生制时【案以上小分以强弱少强微强微弱半强太强七等约言之未育之小分一强尾数一三有奇今本後汉书讹作一少强分积之小分九强尾数九三有奇今本後汉书讹作九半强少出之小分九少强尾数九二有奇白吕之小分二少强尾数二二有奇今本後汉书竝脱少字分动之小分四微强尾数四一有奇随期内负之小分八微强尾数八一有奇夹锺之小分九微强尾数九一有奇夷汗迟时之小分五微强尾数五一有奇今本後汉书竝脱微字结躬之小分六微强尾数六一有奇今本後汉书讹作六少强中吕之小分六微弱尾数五九有奇增而为六制时之小分七微弱尾数六九有奇增而为七安度之小分四微弱尾数三九有奇增而为四今本後汉书竝脱微字开时之小分九微强九之外尚奇零不尽今本後汉书讹作九微弱质末之小分二半强尾数二五有奇今本後汉书脱半字依行盛变之小分三半强尾数三五有奇今本後汉书竝讹作太强期保之小分九半强尾数九五有奇今本後汉书讹作九微强皆当以此书所引为正惟去灭之小分二微弱尾数一九有奇今本後汉书脱微字此所引二讹作四可以互相补正】
甄鸾按刚柔殊节清浊异伦五音六律理无相夺隔八相生又如合契按司马彪志序云上生不得过黄锺之浊下生不得不及黄锺之清是则上生不得过九寸下生不得减四寸五分且依行者辰上之管也长六寸七分上生色育然则色育者亥上之管也长四寸四分减黄锺之清其名仍就下生之名其算变取上生之实乃越亥就子编于黄锺之下律长八寸九分非直名与实乖抑亦违例隔凡志又云始于黄锺终于南事注云不生且南事午上管也计南事之律次得上生八寸四分之管便是上生不过黄锺之浊乃注云不生此乃苟欲充六十之数其于义理未之前闻
礼记投壶法
壶颈修七寸腹修五寸口径二寸半容斗五升注云修长也腹容斗五升三分益一则为二斗得圆囷之象积三百二十四寸以腹修五寸约之所得求其圆周圆周二尺七寸有奇【案此句原本脱圆周二字今据礼记注补】是为腹径九寸有余甄鸾按斛法一尺六寸二分上十之得一千六百二十寸为一斛积寸下退一等得一百六十二寸为一斗积寸倍之得三百二十四寸为二斗积寸以腹修五寸约之得六十四寸八分乃以十二乘之得积七百七十七寸六分又以开方除之得圆周二十七寸余四十八寸六分倍二十七从方法得五十四下法一亦从方法得五十五以三除二十七寸得九寸又以三除不尽四十八寸六分得一十六寸二分与法俱上十之是为壶腹径九寸五百五十分寸之一百六十二母与子亦可俱半之为二百七十五分寸之八十一
臣淳风等谨按其问宜云今有壶腹修五寸容斗五升三分益一则为二斗得圆囷之象问积寸之与周径各几何曰积三百二十四寸周二尺七寸二百七十五分寸之二百四十三径九寸二百七十五分寸之八十一术宜云置二斗以斗法乘之得积寸以腹修五寸除之所得以十二乘之开方除之得周数三约之即得径数
推春秋鲁僖公五年正月辛亥朔法
经云僖公五年春王正月辛亥朔日南至【案此乃左氏传文後文公六年又襄公二十七年两条皆称传与经别此作经云误也】南至冬至也冬至之日南极至【案此三字似有舛误周髀算经云日夏至在东井极内衡日冬至在牵牛极外衡也一岁一内极一外极】故谓之日南至也日中之时景最长以是表之【案此句有舛误当作以景度之】知其南至周官以土圭度日景以求地中夏至之日景尺有五寸冬至之日立八尺之木以为表度而知之公既视朔遂登观台以望云气而书礼也凡分至启闭必书云物为备故也【案此下或援经而不列算或仅有题题之下即淳风注似唐时正文已残缺矣】
臣淳风等谨按此经皆有术无问今竝准其术意而加问焉其问宜云从周历上元丁巳至僖公五年丙寅积二百七十五万九千七百六十九算【案原本脱算字今补】元法四千五百六十章岁十九章月二百三十五岁中十二闰余七周天分二万七千七百五十九日法九百四十问僖公五年正月朔闰余及大小余各几何并二月复是何朔曰闰余尽大余四十七小余二百三十五正月辛亥朔二月庚辰朔术曰置周历上元丁巳至僖公五年岁在丙寅积二百七十五万九千七百六十九算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽九百六十九以章月二百三十五乘之得二十二万七千七百一十五以章岁十九除之得一万一千九百八十五为积月不尽为闰余闰余十二以上其岁有闰今闰余尽则知五年无闰推积日法
置积月一万一千九百八十五以周天分二万七千七百五十九乘之得三亿三千二百六十九万一千六百一十五为朔积分以日法九百四十除之得三十五万三千九百二十七为积日不尽二百三十五为小余以六十除积日得五千八百九十八弃之取不尽四十七为大余命以甲子算外即正月辛亥朔
求次月朔法
置正月朔大小余加朔大余二十九小余四百九十九若小余满日法九百四十除之从大余一满六十除之命以甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小余满四百四十一以上其月大减者小也
推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法
经云僖公五年春王正月辛亥朔日南至
臣淳风等谨按术意其问宜云一年二十四气气有大余十五三十二分之七从周历上元至僖公五年元余有九百六十九算度余五日四分度之一欲求此年朔旦冬至及算此气之法其术如何曰辛亥朔术曰置前推月朔积年九百六十九算以余数二十一乘之得二万三百四十九为实以度分母四除之得五千八十七为积日不尽一为小余以六十除积日得八十四弃之取不尽四十七为大余命以甲子算外辛亥冬至与正月朔同故曰朔旦冬至
臣淳风等谨按术朞三百六十五日四分日之一以六十除之余五日四分日之一通之得二十一故名余数即与四为度法也
求次气法
加大余十五小分二十一小分满气法二十四从小余一小余满四从大余一大余满六十去之命以甲子算外次气日如是一加得一气
臣淳风等谨按一年之中有二十四气欲求一气度者以二十四气除周天之分即得也然周天分母有四须以四乘之二十四气得九十六为法以除之得一气十五日九十六分日之二十一等数约之得三十二分之七也术曰小分二十一满气法从小余小余满四从大余者乃是不约其分不出分母虽合其数无所由来若求次气者宜云加大余十五小分七小分满三十二【案原本此句脱小字今补】从大余一如是一加得一气
推文公元年岁在乙未闰当在十月下而失在三月法
经云文公元年于是闰三月非礼也先王之正时也履端于始举正于中归余于终履端于始序则不愆举正于中民则不惑归余于终事则不悖【案此亦左氏传文作经云者误】臣淳风等谨按术意其问宜云从周历上元丁巳至鲁文公元年岁在乙未积二百七十五万九千七百九十八算岁中十二闰余七问其年有闰与不若有闰复在何月下曰其年有闰在十月下术曰置周历上元丁巳至鲁文公元年岁在乙未积二百七十五万九千七百九十八算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽九百九十八以章月二百三十五乘之得二十三万四千五百三十以章岁十九除之得一万二千三百四十三为积月不尽十三为闰余经云闰余十二已上其岁有闰今有十三即知文公元年有闰也
推闰余十三在何月法
置章岁十九以闰余十三减之不尽六以岁中十二乘之得七十二以章闰七除之得十命从正月起算外闰十月下而尽闰三月者非也
推文公六年岁在庚子是岁无闰而置闰法
经云文公六年闰月不告朔犹朝于庙传曰闰月不告朔非礼也闰以正时时以作事事以厚生生民之道于是乎在矣不告闰朔弃时正也何以为民
臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元至文公元年元余九百九十八算问文公六年合有闰不曰无闰术曰置文公元年算九百九十八更加五得一千三算以章月二百三十五乘之得二十三万五千七百五以章岁十九除之得一万二千四百五为积月不尽十为闰余经云闰余十二已上其岁有闰今止有十即知六年无闰也
推襄公二十七年岁在乙卯再失闰法
襄公二十七年岁在乙卯九月乙亥朔是建申之月也鲁史书十二月乙亥朔日有食之【案左传注疏明监本及别本经文皆讹作乙卯朔惟此所引不误】传曰冬十一月乙亥朔日有食之于是辰在申司历过也再失闰矣言时实以为十一月也不察其建不考之于天也
臣淳风等谨按术意问宜云从文公十一年至襄公二十七年合七十一年以何术推求得知再失闰术曰置文公十一年岁在乙巳会于承匡之岁至襄公二十七年岁在乙卯合七十一年闰余七即以七乘七十一年得四百九十七以章岁十九除之得二十六闰以长历校之正二十四闰故云再失闰
推绦县老人生经四百四十五甲子法
襄公三十年岁在戊午二月癸未注二月一日丁卯朔癸未十七日也晋悼夫人食舆人之城杞者绦县人年长矣无子而往与于食有与疑年使之年曰臣小人也不知纪年臣生之岁正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也吏走问诸朝师旷曰鲁叔仲惠伯会却成子于承匡之岁也七十三年矣史赵曰亥有二首六身下如二身是其日数也士文伯曰然则二万六千六百有六旬也甄鸾按四百四十五甲子其季于今三之一者计四百四十五甲子有二万六千七百日其季三之一者谓不满四百四十五甲子于未满一甲子六十日之中三分取一谓去四十日止留二十日也是以注云三分六甲之一得甲子甲戌尽癸未谓止有四百四十四甲子奇二十日合二万六千六百六十日以应史赵亥有二首六身之数也术曰置积日二万六千六百六十日以四乘之得十万六千六百四十日为实又置周天三百六十五日四分日之一以四乘之内子一得一千四百六十一为一岁之日法以除实得七十二岁一千四百四十八少十三分不满法计四分为一日更少三日不终季年算法半法以上收成一为七十三年据多而言也
推文公十一年岁在乙巳夏正月甲子朔绦县老人生月法
襄公三十年绦县人曰臣小人不知纪年臣生之岁正月甲子朔四百四十五甲子矣其季于今三之一也臣淳风等谨按术意问宜云【案原本脱宜云二字今据注内前後体例增补】从周历上元至绦县老人生年元余有一千八算正月既甲子朔问正月以前十二月十一月大小又各是何朔及大余小余之数当月各有几何曰夏之十一月小乙丑朔大余一小余一百一十三十二月大甲午朔大余三十小余六百一十二正月小甲子朔大余尽小余一百七十一术曰置文公元年九百九十八算更加十得一千八算以章月二百三十五乘之得二十三万六千八百八十以章岁十九除之得一万二千四百六十七为积月不尽七为闰余推积日法
置积月一万二千四百六十七以周天分二万七千七百五十九乘之得三亿四千六百七万一千四百五十三为朔积分以日法九百四十除之得三十六万八千一百六十一为积日不尽一百一十三为小余以六十余积日不尽一为大余命以甲子算外乙丑推次月朔法如前僖公五年中术
臣淳风等谨按此术所推得乙丑朔者是夏之十一月朔也欲求十二月朔者置前月小余一百一十三加朔小余四百九十九又置前月大余一加朔大余二十九命以甲子算外十二月大甲午朔次求正月朔者置前月小余六百一十二加朔小余四百九十九又置前月大余三十加大余二十九小余满日法从大余满六旬除之适得尽命以甲子算外正月小甲子朔【案原本脱朔字今补】是老人所生之岁也
推昭公十九年闰十二月後而以闰月为正月故以正月为二月法
臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元至昭公十九年岁在戊寅积二百七十五万九千九百一算问此年合有闰以不并正月复是何朔曰有闰正月乙丑朔术曰置周历上元丁巳至昭公十九年岁在戊寅积二百七十五万九千九百一算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百一以章月二百三十五乘之得二十五万八千七百三十五以章岁十九除之得一万三千六百一十七为积月不尽十二为闰余经云闰余十二已上其岁有闰今闰余有一十二则知十九年有闰也
推积日法
置积月一万三千六百一十七以周天分二万七千七百五十九乘之得三亿七千七百九十九万四千三百三为朔积分以日法九百四十除之得四十万二千一百二十一为积日不尽五百六十三为小余以六十除积日得六千七百二弃之不尽一为大余命以甲子算外正月乙丑朔
推昭公十九年岁在戊寅闰在十二月下法
臣淳风等谨按术意问宜云昭公十九年闰余十二既有闰当在何月下曰在十二月下术曰置章岁十九以闰余十二减之不尽七以十二乘之得八十四以章闰七除之得十二命从正月起算外即闰在十二月下也
推昭公十九年岁在戊寅月朔法
臣淳风等谨按昭公十九年依前求之正月大乙丑朔大余一小余五百六十三问其年十二月及闰月大小余月朔甲子并当月大小余各几何曰正月大乙丑朔大余一小余五百六十三二月小乙未朔大余三十一小余一百二十二三月大甲子朔大余尽小余六百二十一四月小甲午朔大余三十小余一百八十五月大癸亥朔大余五十九小余六百七十九六月小癸巳朔大余二十九小余二百三十八七月大壬戌朔大余五十八小余七百三十七八月小壬辰朔大余二十八小余二百九十六九月大辛酉朔大余五十七小余七百九十五十月小辛卯朔大余二十七小余三百五十四十一月大庚申朔大余五十六小余八百五十三十二月小庚寅朔大余二十六小余四百一十二闰月大己未朔大余五十五小余九百一十一淳风等推求朔甲乙及月大小并当月大小余之法术曰置前月大小余各加朔大小余满日法从大余一大余满六十去之余命起甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小余满四百四十一以上其月大不满者小其昭公二十年推月朔法亦准此
推昭公二十年岁在己卯月朔法
正月大己丑朔大余二十五小余四百七十二月小己未朔大余五十五小余二十九三月大戊子朔大余二十四小余五百二十八
推昭公二十年岁在己卯正月己丑朔旦冬至而失云闰二月己丑冬至法
臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元丁巳至昭公二十年己卯积二百七十五万九千九百二十算欲求此正月朔旦冬至及大小余各几何曰大余二十五小余二术曰置周历上元丁巳至昭公二十年岁在己卯积二百七十五万九千九百二算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百二以二十一乘之得二万三千一百四十二以度分母除之得五千七百八十五不尽二为小余以六十除积日得九十六弃之不尽二十五为大余命以甲子算外己丑冬至与正月朔旦同
甄鸾按周历昭公十九年岁在戊寅其年闰十二月其月大己未朔二十年岁在己卯正月大己丑朔即以己丑朔旦为冬至而昭公十九年不置闰乃以闰十二月为正月故以为二月也
推哀公十二年岁在戊午应置闰而不置故书十二月有螽法
经云哀公十二年冬十有二月螽季孙问诸仲尼仲尼曰丘闻之火伏而後蛰者毕今火犹西流司邱过也臣淳风等谨按术意问宜云从周历上元丁巳至哀公十二年岁在戊午积二百七十五万九千九百四十二算有闰与不若有闰复在何月之下曰有闰在八月之下术曰置周历上元丁巳至哀公十二年岁在戊午积二百七十五万九千九百四十二算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百四十二以章月二百三十五乘之得二十六万八千三百七十以章岁十九除之得一万四千一百二十四为积月不尽十四为闰余经云闰余十二已上有闰其岁有余十四则知十二年有闰也
求十二年闰月法
置章岁十九以闰余十四减之不尽五以岁中十二乘之得六十以章闰七除之得八命从正月起算外即闰在八月下甄鸾按周十二月夏之十月也哀公十二年闰在夏八月下当时实是夏之九月而失以闰月为九月以九月为十月故书冬十有二月螽也
五经算术卷下