钦定四库全书
五经算术卷上
周 甄 鸾 撰
唐 李淳风 注
尚书定闰法
帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以闰月定四时成岁孔氏注云咨嗟曁与也帀四时曰朞一岁十二月月三十日【案原本脱一月字今据书孔传补】正三百六十日除小月六为六日是为一岁【案原本作是为岁脱一字今据书孔传补】有余十二日未盈三岁足得一月则置闰焉以定四时之气节成一岁之历象甄鸾按一岁之闰惟有十日九百四十分日之八百二十七而云余十二日者理则不然何者十九年七闰今古之通轨以十九年整得七闰更无余分故以十九年为一章今若一年有余十二日则十九年二百二十八日若七月皆小则賸二十五日若七月皆大犹余十八日先推日月合宿以定一年之闰则十九年七闰可知
推日月合宿法
置周天三百六十五度于上四分度之一于下又置月行十三度十九分度之七除其日一度余十二度以月分母十九乘十二度积二百二十八内子七【案内郎纳字古通用】得二百三十五为章月以度分母四乘章月得九百四十为日法又以四分乘度三百六十五内子一得一千四百六十一乃以月行分母十九乘之得二万七千七百五十九为周天分以日法九百四十除之得二十九日不尽四百九十九即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九与日合宿也
求一年定闰法
置一年十二月以二十九日乘之得三百四十八日又置十二月以日分子四百九十九乘之得五千九百八十八以日法九百四十除之得六日从上三百四十八日得三百五十四日余三百四十八以三百五十四日减周天三百六十五度不尽十一日又以余分三百四十八减章月二百三十五而章月少不足减上减一日加下日法九百四十分得一千一百七十五以实余三百四十八乃减下法余八百二十七是为一岁定闰十日九百四十分日之八百二十七
臣淳风等谨按此五经算一部之中多无设问及术直据本条畧陈大数而已今竝加正术及问仍旧数相符其有泛说事由不须术者竝依旧不加据此问宜云注一岁有余十二日未盈三岁足得一月则置闰焉按十九年为一章有七闰问一年之中定闰几何曰十日九百四十分日之八百二十七其术宜云置十二月以章法十九乘之纳七闰为章月以四乘之为蔀月又置周天分以十九乘之为蔀日以蔀月除之得一月之日及分以十二乘之所得以减周天分余即一年闰数也
求十九年七闰法
置一年闰十日以十九年乘之得一百九十日又以八百二十七分以十九年乘之得一万五千七百一十三以日法九百四十除之得十六日余六百七十三以十六加上日得二百六日以二十九除之得七月余三日以法九百四十乘之得二千八百二十以前分六百七十三加之得三千四百九十三以四百九十九命七月分之适尽是谓十九年得七闰月月各二十九日九百四十分日之四百九十九
臣淳风等谨按其问宜云一年闰十日九百四十分【案原本讹作九百四分脱十字今补】日之八百二十七一月二十九日九百四十分日之四百九十九问一章十九年凡闰日及月数各几何曰闰二百六日九百四十分日之六百七十三闰月有七其术宜云置一年闰日通分内子以章法十九乘之为实以日法九百四十除之得闰日数以一月之分二万七千七百五十九除之得闰月之数
尚书孝经兆民注数越次法
天子曰兆民诸侯曰万民甄鸾按吕刑云一人有庆兆民赖之注云亿万曰兆天子曰兆民诸侯曰万民又按周官乃经土地而井牧其田野九夫为井四井为邑四邑为邱四邱为甸四甸为县四县为都以任地事而令贡赋凡税敛之事所以必共井者存亡更守入出相伺嫁娶相媒有无相贷疾病相忧缓急相救以所有易以所无也兆民者王畿方千里自乘得兆井【案原李作得之兆井衍之字今删】王畿者因井田立法【案原本讹作因井田之立法衍之字今删】故曰兆民若言兆井之民也如以九州地方千里者九言之则是九兆其数不越于兆也诸侯曰万民者公地方百里自乘得一万井故曰万民所以言侯者诸侯之通称也按注云亿万曰兆者理或未尽何者按黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者谓亿兆京垓秭壤沟涧正载也三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变者言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也若以下数言之则十亿曰兆若以中数言之则万万亿曰兆若以上数言之则亿亿曰兆注乃云亿万曰兆者正是万亿也若从中数其次则须有十万亿次百万亿次千万亿次万万亿曰兆三数竝违有所未详按尚书无此注故从孝经注释之【案今孝经亦无此注考天子曰兆民诸侯曰万民本左氏春秋闵公元年卜偃之语郑康成注内则降德于衆兆民云万亿曰兆天子曰兆民诸侯曰万民然则此所引尚书及孝经注皆郑氏说也】
诗伐檀毛郑注不同法
不稼不穑胡取禾三百亿兮不狩不猎胡瞻尔庭有县特兮注云万万曰亿兽三岁曰特笺云十万曰亿三百亿禾秉之数也甄鸾按黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者谓亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也据此而言郑用下数毛用中数矣
诗丰年毛注数越次法
丰年多黍多稌亦有高廪万亿及秭毛注云丰大稌稻廪所以藏齍盛之穗数万至万曰亿数亿至亿曰秭笺云丰年大有之年万亿及秭以言谷数多也甄鸾按毛注云数万至万曰亿者此即是中数万万曰亿也又云数亿至亿曰秭者或有可疑何者按黄帝数术云中数者万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京万万京曰垓万万垓曰秭此应云数亿至垓曰秭而言数亿至亿曰秭者有所未详
周易策数法
凡天地之数五十有五此所以成变化而行鬼神也乾之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六十当朞之日二篇之策万有一千五百二十当万物之数也是故四营而成易十有八变而成卦八卦而小成引而伸之触类而长之天下之能事毕矣甄鸾按天以一生水地以二生火天以三生木地以四生金天以五生土天数奇二十五地数耦三十并天地之数合五十五谓之大衍之数揲蓍得乾者三十六策然後得九一爻爻有三十六策合二百一十六揲蓍得坤者二十四策然後得六一爻爻有二十四策合一百四十四并乾坤之策三百六十当一朞之日者举全数也上下经有六十四卦卦有六爻合三百八十四爻阴阳各半阳爻称九阴爻称六九六各百九十二也阳爻以三十六策乘之得六千九百一十二阴爻以二十四策乘之得四千六百八并阴阳之策合得一万一千五百二十也四营者仰象天俯法地近取诸身远取诸物也十八变者三变而成爻十八变而六爻也八卦而小成者言虽成易犹未备也
论语千乘之国法
子曰道千乘之国注云司马法六尺为步步百为亩亩百为夫夫三为屋屋三为井井十为通通十为成成出革车一乘然则千乘之赋其地千成也今有千乘之国其地千成计积九十亿步问为方几何答曰三百一十六里六十八步一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六术曰置积步为实开方除之即得按千乘之国其地千成方十里置一成地十里以三百步乘之得三千步重张相乘得九百万步又以千成乘之得积九十亿步以开方除之即得方数也开方法曰借一算为下法步之常超一位至万而止置上商九万于实之上又置九亿于实之下下法之上名曰方法命上商九万以除实毕倍方法九亿得十八亿乃折之方法一折下法再折又置上商四千于上以次前商之後又置四百万于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商四千以除实毕倍隅法得八百万上从方法得一亿八千八百万乃折之方法一折下法再折又置上商八百于上以次前商之後又置八万于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八百以除实毕倍隅法得十六万上从方法得一千八百九十六万乃折之方法一折下法再折又置上商六十于上以次前商之後又置六百于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商六十以除实毕倍隅法得一千二百上从方法得一百八十九万七千二百乃折之方法一折下法再折又置上商八于上以次前商之後又置八于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八以除实毕倍隅法得一十六上从方法下法一亦从之得一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六以里法三百步除之得三百一十六里不尽六十八步即得方三百一十六里六十八步一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六也
周官车盖法
参分弓长以其一为之尊注云尊高也六尺之弓近部平者二尺【案原本脱此六字今据周礼注补】爪末下于部二尺二尺为句【案此四字原本讹作为句也三字今据周礼注补正】四尺为弦求其股股十二【案此六字原本讹作其股十二四字今据周礼注补正】开方除之面三尺几半甄鸾按句股之法横者为句直者为股邪者为弦若句三则股四而弦五此自然之率也今此车盖句二弦四则股三此亦自然之率矣求之法句股各自乘并而开方除之即弦也股自乘以减弦自乘其余开方除之即句也句自乘以减弦自乘其余开方除之即股也假令句三自乘得九股四自乘得十六倂之得二十五开方除之得五弦也股四自乘得十六弦五自乘得二十五以十六减之余九开方除之得三句也句三自乘得九弦五自乘得二十五以九减之余十六开方除之得四股也今车盖崇二尺弓四尺以崇下二尺为句弓四尺为弦为之求股求股之法句二尺自乘得四弦四尺自乘得十六以四减十六余十二开方除之得三即股三尺也余三倍方法三得六又以下法一从之得七即股三尺七分尺之三故曰几半也
臣淳风等谨按其问宜云车盖之弓长六尺近上二尺连部而平【案部原本讹作步考周礼注云六尺之弓近部平者二尺即此所本今订正】为高四尺邪下宇曲为弦爪末下于部二尺为句欲求其股问股几何曰三尺七分尺之三术曰句自乘以减弦自乘其余开方除之即得股也
仪礼丧服絰带法
苴絰大搹左本在下【案原本讹作左平在下今据仪礼改正】去五分一以为带齐衰之絰斩衰之带也去五分一以为带大功之絰齐衰之带也去五分一以为带小功之絰大功之带也去五分一以为带缌麻之絰小功之带也去五分一以为带注云盈手曰搹搹?也中人之?围九寸以五分一为杀者象五服之数今有五服衰絰迭相差减五分之一其斩衰之絰九寸问齐衰大功小功缌麻絰各几何答曰齐衰七寸五分寸之一大功五寸二十五分寸之十九小功四寸一百二十五分寸之七十六缌麻三寸六百二十五分寸之四百二十九甄鸾按五分减一者以四乘之以五除之置斩衰之絰九寸以四乘之得三十六为絰实以五除之得齐衰之絰七寸五分寸之一以母五乘絰七寸得三十五内子一得三十六以四乘之得一百四十四为实以五乘下母五得二十五为法除之得大功絰五寸二十五分寸之十九以母二十五乘絰五寸得一百二十五内子十九得一百四十四以四乘之得五百七十六为实以五乘下母二十五得一百二十五为法以除之得小功絰四寸一百二十五分寸之七十六以母一百二十五乘絰四寸得五百内子七十六得五百七十六又以四乘之得二千三百四为实以五乘下母一百二十五得六百二十五为法以除之得缌麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九
臣淳风等谨按其术宜云置斩衰之絰九寸以四乘之丘而一得齐衰之絰其求大功已下者准此有分者同而通之即合所问
丧服制食米溢数法
朝一溢米夕一溢米注云二十两曰溢一溢为米一升二十四分升之一甄鸾按一溢米一升二十四分升之一法置一斛米重一百二十斤以十六乘之为积一千九百二十两以溢法二十两除之得九十六溢为法以米一斛为百升为实实如法得一升不尽四升与法俱再半之名曰二十四分升之一称法三十斤曰钧四钧曰石石有一百二十斤也所以名斛为石者以其一斛米重一百二十斤故也
臣淳风等谨按其问宜云丧服朝一溢米夕一溢米郑注云二十两曰溢为米一升二十四分升之一欲求其指如何术曰置一斛升数为实又置一斛米重斤数以斤法十六两乘之所得以溢法二十除之为法实如法得一升不尽者与法俱再半之即得分也礼记王制国及地法
凡四海之内有九州大界方三千里三三而九计方一千里者有九也今为里田之法方一千里为广一里则长一百万里也分方一千里为畿内余为八州州各得方一千里各以方里自乘为积里诸国皆仿方一百里国三十一国万里【方百里自相乘】三十国合三十万里方七十里国六十一国四千九百里六十国合二十九万四千里方五十里国一百二十一国二千五百里一百二十国合三十万里上法一州有二百一十国合地八十九万四千里以减一州之地大数一百万里余一十万六千里为闲田此据一州而言若八州则地七百一十五万二千里以减八州八百万里余八十四万八千里为闲田
臣淳风等谨按其问宜云今有州方千里其中封百里之国三十七十里之国六十五十里之国百二十问三等国别及当色总数并都合积里余为闲田得地几何曰百里之国一国得积万里总积三十万里七十里之国一国得积四千九百里总积二十九万四千里五十里之国一国得积二千五百里总积三十万里都合得积八十九万四千里闲田积十万六千里术宜云置方里各自乘为一国之积里各以本方国数乘之得当方总数并之即都合积里以减一州方里自乘大数余即闲田也
畿内方百里国九一国万里九国合九万里方七十里国二十一一国四千九百里二十一国合十万二千九百里方五十里国六十三一国二千五百里六十三国合十五万七千五百里上法畿内有九十三国计地三十五万四百里以减一百万里余六十四万九千六百里为闲田以八州之地七百一十五万二千里并畿内三十五万四百里九州之国合地七百五十万二千四百里以减九州之地大数九百万里余一百四十九万七千六百里为闲田此商制也
臣淳风等谨按其问宜云今有畿内方千里其中封百里之国九七十里之国二十一五十里之国六十三问三等国别及当色总数并畿内都合积里余为闲田各几何曰百里之国一国得积万里总九万里七十里之国一国积四千九百里总十万二千九百里五十里之国一国积二千五百里总十五万七千五百里都合积三十五万四百里闲田积六十四万九千六百里其术宜云方里各自乘为一国之积里各以本方国数乘之得当方总数并之即都合积里以减畿内方里自乘大数余即闲田也
郑注云周公制礼九州大界方七千里七七四十九即四千九百万里计方一千里者四十九也分方千里为畿内余为八州州各得一千里者六一州合地六百万里方五百里国四一国二十五万里四国合一百万里方四百里国六一国十六万里六国合九十六万里方三百里国十一一国九万里十一国合九十九万里方二百里国二十五一国四万里二十五国合一百万里方一百里国一百六十四一国一万里一百六十四国合一百六十四万里上法一州二百一十国计地五百五十九万里以减一州之地大数六百万里余四十一万里为附庸闲田按周礼据千里为法则公国四侯国六伯国十一子国二十五男国一百六十四合二百一十国者非周之数矣据地方一千里为地一百万里五国合为地五百万里方百里者五十九方百里为地一万里五十九国合为地五十九万里上二法计得地五百五十九万里容前二百一十国余方百里者四十一方百里为地一万里百里之国四十一为地四十一万里上据地以下三法合地六百万里一州之大数臣淳风等谨按其问宜云今有一州方千里者六其中封方五百里之国四四百里之国六三百里之国十一二百里之国二十五一百里之国一百六十四问五等国别及当色总数并都合积里余为附庸闲田各几何曰五百里之国四一国得积二十五万里总积一百万里四百里之国六一国十六万里总九十六万里三百里之国十一一国九万里总九十九万里二百里之国二十五一国四万里总一百万里一百里之国一百六十四一国一万里总一百六十四万里都合二百一十国总积五百五十九万里附庸间田积四十一万里术宜云置五等方里各自乘得一国之积里各以本方国数乘之得当方总数并之得都合积里以减一州方里自乘积一百万里余四十一万里即附庸闲田
古者以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步古者百亩当今东田百四十六亩三十步古者百里当今百二十一里六十步四尺二寸二分注云周尺之数未之详闻按礼制周犹以十寸为尺盖六国时多变乱法度或言周尺八寸则步更为八八六十四寸以此计之古者百亩当今百五十六亩二十五步古者百里当今百二十五里也甄鸾按古者以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步古者一百亩当今东田一百四十六亩三十步计之法置古步八尺以八寸乘之为六十四寸自相乘得四千九十六寸为古步法又置今步六尺以八寸乘之内四寸得五十二寸自相乘得二千七百四寸为今步法置田一百亩以百步乘之得一万步以古步法乘之得四千九十六万寸为实以今步法二千七百四寸除之得一万五千一百四十七步不尽二千五百一十二寸约之得一百六十九分步之一百五十七以亩法一百步除积步得一百五十一亩余四十七步及分以经中东田一百四十六亩三十步减之计賸五亩一十七步及分此即经自不合
臣淳风等谨按其问宜云古者以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步周制八寸为尺问古者百亩当今几亩又与经中当今亩数所较几何曰一百五十一亩四十七步一百六十九分步之一百五十七多于经中五亩一十七步一百六十九分步之一百五十七术宜云置古步尺数以八寸乘之又自相乘为古步法又置今步尺数亦以八寸乘之内子自相乘为今步法列田百亩步数以古步法乘之今步法除之所得以经中当今亩数减之余即所多之数求经云古者百里当今一百二十一里六十步四尺二寸二分法
置百里以三百步乘之得三万步以古一步六十四寸乘之得一百九十二万寸以今步法五十二寸除之得三万六千九百二十三步余四寸以里法三百步除积步得一百二十三里不尽二十三步四寸以经中一百二十一里六十步四尺二寸二分减之计賸一里二百六十二步一尺三寸八分亦经自不合
臣淳风等谨按其问宜云周制八寸为尺古以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步问古者百里当今几里又与经中当今里数所较几何曰一百二十三里二十三步四寸多于经中一里二百六十二步一尺三寸八分术宜云置百里步数以古步寸数乘之以今步寸数除之以里法三百步除之即得以经中当今里数减之余即所多之数
求郑氏注云古者百亩当今一百五十六亩二十五步依郑计之法
置经中古者八十寸今六十四寸相约古步率得五今步率得四古步率五自乘得二十五为古步法今步率四自乘得十六为今步法置田一百亩为一万步以古步法二十五乘之得二十五万以今步法十六除之得一万五千六百二十五步以亩法一百步除之得一百五十六亩不尽二十五步
臣淳风等谨按其问宜云郑注礼王制周犹以十寸为尺或言周尺八寸则步更为八八六十四寸以此计之古者百亩当今一百五十六亩二十五步欲求其旨趣如何术宜云置古步寸数与今步寸数相约所得各自为率二率各自乘为步法又列田百亩步数以古步法乘之今步法除之即得
求郑注云古者百里当今一百二十五里法
置一百里以三百步乘之得三万步以古步率五乘之得一十五万为实以今步率四乘里法三百步得一千二百为法实如法而一得一百二十五里按经自不合郑注又不与经同未详所以
臣淳风等谨按其问宜云郑意以周犹以十寸为尺或谓周尺八寸以此计之古者百里当今一百二十五里求其旨趣如何术宜云以今步寸数等约古步寸数各自为率古步率得五今步率得四置百里步数以古步率乘之以今步率四而一以里法三百步除之即得
五经算术卷上