钦定四库全书
周髀算经卷上之一
汉 赵君卿 注
周 甄 鸾 重述
唐 李淳风 注释
昔者周公问於啇高曰窃闻乎大夫善数也
周公姓姬名旦武王之弟啇高周时贤大夫善算者也周公位居冢宰德则至圣【案圣刻本作高今从永乐大典本】尚卑己以自牧【案卑上刻本衍自字今据永乐大典本删】下学而上达况其凡乎
请问古者包牺立周天历度
包牺三皇之一始画八卦以啇高善数能通乎微妙达乎无方无大不综无幽不显闻包牺立周天历度建章蔀之法【案建刻本作运今据永乐大典本改】易曰古者包牺氏之王天下也仰则观象於天俯则观法於地此之谓也
夫天不可阶而升地不可得尺寸而度【案得刻本作将今从永乐大典本改】
?乎悬广无阶可升荡乎遐远无度可量
请问数安从出【案安从刻本讹作从案今据永乐大典本改】
心昧其机请问其目
啇高曰数之法出於圆方
圆径一而周三方径一而帀四伸圆之周而为句展方之帀而为殷共结一角邪适弦五此圆方邪径相通之率【案此刻本讹作政今据永乐大典本改】故曰数之法出於圆方圆方者天地之形隂阳之数然则周公之所问天地也是以啇高陈圆方之形以见其象因奇耦之数以制其法所谓言约指远微妙幽通矣
圆出於方方出於矩
圆规之数理之以方方周帀也方正之物出之以矩矩广长也
矩出於九九八十一
推圆方之率通广长之数当须乘除以计之九九者乘除之原也
故折矩
故者申事之辞也将为句股之率故曰折矩也
以为句广三
应圆之周【案刻本讹作广谓之周今据永乐大典本改】横者谓之广句亦广广短也
股修四
应方之帀从者谓之修股亦修修长
径隅五
自然相应之率径直隅角也亦谓之弦
既方外外半之一矩【案各本作既方之外半其一矩讹舛不可通注内引径作既方其外惟半之讹作半其耳据上云折矩以为句广三股修四径隅五谓以十二折之句三股四其弦必五此盖承上所折之形令其外各自成古则句实九股实十六弦实二十五合五十年也为一矩於内减股实开其余得句减句实开其余得股若开北一矩则得弦下云环而共盘得成三四五是也弦实二十五为一矩并句实股实亦二十五为一矩故下又云两矩共长二十有五是谓积矩推?上下文可证其字之字互讹今改正】句股之法先知二数然後推一见句股然後求弦先各自乘成其实实成势化尔乃变通故曰既方其外或并句股之实以求弦弦实之中【案各本脱一弦字今补】乃求句股之分并实不正等更相取与互有所得故曰半之一矩【案之各本亦讹作其今改正】其术句股各自乘三三如九四四一十六并为弦自乘之实二十五减句於弦为股之实一十六减股於弦为句之实九
环而共盘得成三四五
盘读如盘桓之盘言取其并减之积【案其刻本讹作而今据永乐大典本改】环屈而共盘之【案此下刻本衍谓字今据永乐大典本删】开方除之得其一面【案刻本脱得字令据永乐大典本补】故曰得成三四五也
两矩共长二十有五是谓积矩
两矩者句股各自乘之实共长者并实之数将以施於万事而此陈其率也
故禹之所以治天下者此数之所生也
禹治洪水决疏江河【案疏刻本讹作流今据永乐大典本改】望山川之形定高下之势除淊天之灾释昬垫之厄使东注於海而无浸逆【案逆刻本作溺今从永乐大典本】乃句股之所由生也
<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之一>
<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之一>
句股圆方图句股各自乘并之为弦实开方除之即弦按弦图又可以句股相乘为朱实二倍之为朱实四以句股之差自相乘为中黄实加差实亦成弦实以差实减弦实半其余以差为从法开方除之复得句矣加差于句即股凡并句股之实即成弦实或矩于外或方于内【案各本讹作或矩于内或方于外与下云句实之矩股实方其里股实之矩句实方其里适相反据刘徽注九章算术云里者则成方幂其居表者则成矩幂可证外内二字互讹今改正】形诡而量均体殊而数齐句实之矩以股弦差为广股弦并为袤而股实方其里减矩句之实于弦实开其余即股倍股在两边为从法开矩句之角即股弦差加股为弦以差除句实得股弦并以并除句实亦得股弦差令并自乘与句实为实倍并为法所得亦弦句实减并自乘如法为股股实之矩以为弦差为广【案弦各本讹作股今改正】句弦并为袤而句实方其里减矩股之实于弦实开其余即句倍句在两边为从法开矩股之角即句弦差加句为弦以差除股实得句弦并以并除股实亦得句弦差令并自乘与股实为实倍并为法所得亦弦股实减并自乘如法为句两差相乘倍而开之所得以股弦差增之为句以句弦差增之为股两差增之为弦倍弦实列句股差实减弦实者以图考之倍弦实满外大方而多黄实黄实之多即句股差实以差实减之开其余得外大方大方之面即句股并也令并自乘倍弦实乃减之开其余得中黄方黄方之面即句股差以差减并而半之为句加差于并而半之为股其倍弦为广袤合令句股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差以差减合半其余为广减广于弦即所求也观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦宏纪衆理贯幽入微钩深致远故曰其裁制万物惟所为之也
臣鸾释曰按君卿注云句股各自乘并之为弦实开方除之即弦臣鸾曰假令句三自乘得九股四自乘得一十六并之得二十五开方除之得五为弦也注云按弦图又可以句股相乘为朱实二倍之为朱实四以句股之差自相乘为中黄实臣鸾曰以句弦差二倍之为四自乘得一十六为左图中黄实也臣淳风等谨按注云以句股之差自乘为中黄实鸾云倍句弦差自乘者苟求异端虽合其数于率不通注云加差实亦成弦实臣鸾曰加差实一并外矩青八得九并中黄一十六得二十五亦成弦实也臣淳风等谨按注云加差实一亦成弦实鸾云加差实并外矩及中黄者虽合其数于率不通
注云以差实减弦实半其余以差为从法开方除之复得句矣臣鸾曰以差实九减弦实二十五余一十六半之得八以差一加之得九开之得句三也臣淳风等谨按注宜云以差实一减弦实二十五余二十四半之为一十二以差一为从开方除之得句三鸾云以差实九减弦实者虽合其数于率不通注云加差于句即股臣鸾曰加差一于句三得股四也
注云凡并句股之实即成弦实臣鸾曰句实九股实一十六并之得二十五也
注云或矩于外或方于内【案外内二字各本亦互讹今改正】形诡而量均体殊而数齐句实之矩以股弦差为广股弦并为袤臣鸾曰以股弦差一为广股四幷弦五得九为袤左图外青也
注云而股实方其表臣鸾曰为左图中黄十六注云减矩句之实于弦实开其余即股臣鸾曰减矩句之实九于弦实二十五余一十六开之得四股也注云倍股在两边为从法开矩句之角即股弦差臣鸾曰倍股四得八在图两边以为从法开矩句之角九得一也
注云加股为弦臣鸾曰加差一于股四则弦五也注云以差除句实得股弦并臣鸾曰以差一除句实九得九即股四弦五幷为九也
注云以幷除句实亦得股弦差臣鸾曰以九除句实九得股弦差一
注云令并自乘与句实为实臣鸾曰令并股弦得九自乘为八十一又以句实九加之得九十为实注云倍并为法臣鸾曰倍股弦并九得一十八为法注云所得亦弦臣鸾曰除之得五为弦
注云句实减并自乘如法为股臣鸾曰以句实九减并自乘八十一余七十二以法一十八除之得四为股也
注云股实之矩以句弦差为广句弦并为袤臣鸾曰股实之矩以句弦差二为广句弦并八为袤
注云而句实方其里减矩股之实于弦实开其余即句臣鸾曰句实有九方在右图里以减矩股之实一十六于弦实二十五余九开之得三句也
注云倍句在两边臣鸾曰各三也
注云为从法开矩股之角即句弦差加句为弦臣鸾曰加差二于句三则弦五也
注云以差除股实得句弦并臣鸾曰以差二除股实一十六得八句三弦五并为八也
注云以并除股实亦得句弦差臣鸾曰以并除股实一十六得句弦差二
注云令并自乘与股实为实臣鸾曰令并八自乘得六十四以股实一十六加之得八十为实
注云倍并为法臣鸾曰倍句弦并八得一十六为法注云所得亦弦臣鸾曰除之得弦五也
注云股实减并自乘如法为句臣鸾曰以股实一十六减并自乘六十四余四十八以法一十六除之得三为句也
注云两差相乘倍而开之所得以股弦差增之为句臣鸾曰以股弦差一乘句弦差二得二倍之为四开之得二以句弦差一增之得三句也
注云以句弦差增之为股臣鸾曰以句弦差二【案各本脱句字今补】增之得四股也
注云两差增之为弦臣鸾曰以股弦差一句弦差二增之得五弦也
注云倍弦实列句股差实减弦实者以图考之倍弦实满外大方而多黄实黄实之多即句股差实臣鸾曰倍弦实二十五得五十满外大方七七四十九而多黄实黄实之多即句股差实一也【案各本脱一字今据上下文补】注云以差实减之开其余得外大方大方之面即句股并臣鸾曰以差实一减五十余四十九开之即大方之面七也亦是句股幷也
注云令并自乘倍弦实乃减之开其余得中黄方黄方之面即句股差臣鸾曰并七自乘得四十九倍弦实二十五得五十以减之余即中黄方差实一也故开之即句股差一也
注云以差减并而半之为句臣鸾曰以差一减并七余六半之得三句也
注云加差于并而半之为股臣鸾曰以差一加并七得八而半之得四股也
注云其倍弦为广袤合臣鸾曰倍弦二十五为五十为广袤合
臣淳风等谨按列广袤术宜云倍弦五得十为广袤合今鸾云倍弦二十五者错也
注云令句股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差臣鸾曰令自乘为其实四实乘得四十九四实者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即句股差一
臣淳风等谨按注意令自乘者十自乘得一百四实者大方广袤之中有四方若据句实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股弦差减股弦并余数若据股实而言之一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是句弦差【案弦刻本讹作股今改正】减句弦并余数也鸾云令自乘者以七七自乘得四十九四实者大方句股之中有四方一方之中有方一十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即句股差一者错也
注云以差减合半其余为广臣鸾曰以差一减合七余六半之得三广也
臣淳风等谨按注意以差八六各减合十余二四半之得一二一即股弦差二即句弦差以差减弦即各袤广也鸾云以差一减合七余六半之得三广者错也
注云减广于弦即所求也臣鸾曰以广三减弦五即所求差二也
臣淳风等谨按注意以广一二各减弦五即所求股四句三也鸾云以广三减弦五即所求差二者错也
周公曰大哉言数
心逹数术之意故发大哉之叹
请问用矩之道
谓用表之宜测望之法
商高曰平矩以正绳
以水绳之正定平悬之体将欲慎毫氂之差防千里之失
偃矩以望高覆矩以测深卧矩以知远
言施用无方曲从其事术在九章
环矩以为圆合矩以为方
既已追寻情理又可造制圆方言矩之于物无所不至
方属地圆属天天圆地方
物有圆方数有奇耦天动为圆其数奇地静为方其数耦此配阴阳之义非寔天地之体也天不可穷而见地不可尽而观岂能定其圆方乎又曰北极之下高人所居六万里滂沱四隤而下天之中央亦高四旁六万里是为形状同归而不殊涂隆高齐轨而易以陈故曰天似盖笠地法覆盘
方数为典以方出圆
夫体方则度影正形圆则审实难盖方者有常而圆者多变故当制法而理之理之法者半周半径相乘则得方矣又可周径相乘十而一又可径自乘三之四而一又可周自乘十二而一故曰圆出于方
笠以写天
笠亦如盖其形正圆戴之所以象天写犹象也言笠之体象天之形诗云何蓑何笠此之义也
天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表卅黄为里以象天地之位
既象其形又法其位言相方类不亦似乎
是故知地者智知天者圣
言天之高大地之广远自非圣智其孰能与于此乎
智出于句
句亦影也察句之损益知物之高远故曰智出于句
句出于矩
矩谓之表表不移亦为句为句将正故曰句出于矩焉
夫矩之于数其裁制万物惟所为耳
言包含几微转通旋环也
周公曰善哉
善哉言明晓其意所谓问一事而万事逹
周髀算经卷上之一