定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第九十二卷目錄
儀象部彙考十
皇清四
靈臺儀象志四
曆法典第九十二卷
儀象部彙考十
皇清四
《靈臺儀象志四》
驗氣說
氣者，四元行之一葢。天之於地，有上中下三域。上域近火，近火常熱；下域近水土，水土常為太陽所射，故氣煖也；中域上遠於天，下遠於地，故寒也。然則各域之界，由何而分？今姑以極峻之山，畫三界以喻之。山之巔為上域，風雨之所不至者也。故其氣極清，而人與物不可居焉；其下為中域，霜雪必爾凝結也。又其下，則為下域。而其寒煖之分，又有輕重厚薄之不同焉。若南北二極之下，因遠太陽，則上下之煖處薄，中之寒處厚。若赤道之下，因近太陽，則上下之煖處厚，中之寒處薄。以是知氣域之不齊也。
四元行之中，惟「氣行為最易變」，以氣在天地之間，上依星辰異照，下依土水異情，其星辰各有德性，而資育萬物者也。然各曜又因相會相對之勢，而變異其情，則其效遂因之而亦異。且氣甚微甚順，易受諸天之變，諸效之染也。但其所為易變者，難以分別，而大概則自冷熱乾濕而來。然能驗其為然者，則全賴人觸覺之官。蓋人之五官所司，惟「觸司頑鈍」，而不能顯証其氣細微之變。〈其觸司所以能覺者，賴一身脈絡所通之肌膚。〉何以言之？如有外熱攻伐吾身，而身內之本熱與之相等，則觸司必不之覺也。惟外來之熱，有過不及於吾身之熱，而人之觸司方能辨其熱之強弱也。故〈仁〉特造一器，而《藉視司》即五司之最靈者，以補足觸司之所不及焉。其器之屬有三：一作法，一用法，一效驗之所以然。所謂作法者，用琉璃器如甲乙、丙丁，置木板架如〈一百九圖〉上毬甲與下管乙丙丁相通，大小長短有一定之則。木架隨管長短分三層，以象天地間元氣之三域。下管之小半，以地水平為準。其上大半兩邊各分十度，其所畫之度分，俱不均分，必須與天氣寒熱加減之勢相應。故其度分離地平線上下遠近若干，則其大小應加減亦若干。假如冬月在本球內之天氣加厚，而其從前所占八寸之地，自收斂而歸於二寸之地。若五日內如皆八分之冷，則球內之氣，第一日加厚一寸，第二日不及一寸，第三日不過五分，第四五日加至三分而不動矣。若六日內八分之冷氣，與此相同；而其加厚之寸分，每日不同。蓋冷熱之驗，有所必然者。故候氣之具，自與之相應；而以冷熱之度，大小不平，分相對之。至於用之法頗多，總歸於一，即所謂「辨冷熱之分」是也。冷熱者，天地萬變之所起，造化之功所由成也。今姑舉其用之有四以驗之：一測天氣，一測地氣，一測人物氣，一測月星等之氣。先以測天氣言之，天之氣，晝夜無間，而無不變易，在卯酉子午時，其氣之升降不同，器內之水亦應之。如卯時太陽上地。平天氣加熱而升。午時氣更熱而更升。〈氣升降之理有本論〉「在乙庚，管之水亦然。酉時太陽下」，地平而天氣降。子時更降，在管之水隨之而歸於地平。如明日較今日天氣熱冷若干，而在管之水因而升降，亦若于蓋，晝夜如此，而周年每節氣日亦如此，是以冬氣與春氣。又春氣與夏秋等氣，彼此相比，因管之水升降度分若干，可以推其冷熱若干。又今年之節氣於次年之節氣，彼此相比亦然。欲辨東西南北等風之氣何如，則以此管對之，風熱則水必升，風冷則水必降，捷如影響，毫不爽焉。又以測地氣者言之，凡山谷房屋，上下左右之地氣，其清濁、輕重、乾濕諸理，即以冷熱之分，而大略可推焉。蓋凡此諸氣之理，或從冷熱而生，或因他有而起，則冷熱隨之元行之輕而且微，以其所染外氣，易入人物而熏染之。由是推知人物之智愚、強弱、病否諸理，皆感受於其各地之氣，而有所異焉。今欲辨其各地之氣何如，則置此器於地內，少頃視水之升降，可以別其地氣之冷熱矣。又以測人物之氣者言之，譬有兩人於此，其齒同，欲分別其氣質何如，則使之各
摩上球甲至刻之一二分。〈一分，即六十秒，定分秒之法，有本論，大約以脈一至可當一秒。〉視水升降若干，則兩人之氣質分矣。醫者用是法，可定病之輕重進退，亦可以別藥材花草等香味力氣，以定其性之溫熱平冷，其用無窮也。又以測太陰金木等星之情氣者言之，或曰：天星之光下照，必同帶熱氣，今欲辨之，則用此器而對太陰之光，則乙庚之水，必退分數而向地平。若有他物遮隔其光，則水必上地平而歸原數。故知太陰之光，全屬冷氣。測金木等星之情氣皆倣此。但星光愈微，則所用測器，必愈大矣。又以升降之所以然者言之，夫水之升降為熱冷之效，固矣。然其故何也？蓋如上球甲，一觸外來熱氣，則內所含之氣稀微舒放，奮力充塞，則球隘，既無所容，又無隙漏可出，勢必逼左管之水從地平而下至丁，右管之水，從地平而上至戊矣。此熱之理所必然也。若冷之理則反是，蓋冷氣於凡所透之物，收斂凝固，如本球甲，一觸外來之冷氣，則內所含之氣，必收斂左管之水，欲實其虛，故不得不強之而上升矣。總之，天下之物，皆貫通聯屬，必相濟而後能相保，此空虛之所以必欲其實也。今甲丁之氣，既被外冷而收斂，則原占之所，較前必小，假如前占甲丁之所，而自收斂之後，不過甲己耳。設丁丙水不上以至己，則己丁之管，盡無氣而空矣。然物性既不容空，則丁丙之水，勢不得不強升以補之。假使塞管之口，而不使通外氣，則甲丁內氣，為外冷所逼，勢必收斂凝固。雖甲丁之器為銅鐵所成，必自破裂，而受外氣，以補盈其空闕矣。又自外來之氣甚熱，而內氣必欲舒放，無隙可出，則《甲丁》既無所容，亦必自破裂而奮出矣。
測氣燥濕之分
夫燥氣之性，於凡物之所入，即收斂而固結之。濕氣之性反是，欲察天氣燥濕之變，而萬物中惟鳥獸之「筋皮」，顯而易見，故借其筋弦以為測器。〈見《一百九圖》。〉法曰：「用新造鹿筋弦，長約二尺，厚一分，以相稱之斤兩墜之，以通氣之明架，空中橫收之，上截架內緊夾之，下截以長表穿之。表之下安地平盤，令表中心即筋弦垂線，正對地平中心，本表以龍魚之形為飾。」《驗法》曰：「天氣燥則龍表左轉；氣濕則龍表右轉。氣之燥濕加減若干，則表左右轉亦加減若干。其加減之度」數，則於地平盤上之左右邊明畫之，而其器備矣。其地平盤上面界分左右，各畫十度，而闊狹不等，為燥濕之數。左為燥氣之界，右為濕氣之界。其度各有闊狹者，蓋天氣收斂，其筋弦有鬆緊之分，故其度有大小以應之。譬如人用力緊紉一物，初用八分之力，其物可旋繞一周；再用八分之力，物繞不及一周；復再用八分之力，而物繞則僅半周矣，其用力同，而旋繞不同。夫天氣加減燥濕之氣，收斂筋弦之理，亦有然者。凡欲分別東西南北各方之風氣，或上下左右各房屋之氣燥濕何如，以此器驗之，無不可也。夫氣之有厚薄也，疏密也，輕重也，加減而遞相為焉，何以明其然邪？今以氣自然所在之地，為七十分之一分，而設言之，假如有氣於此，其自然所在之地，止能盈寸，若用法以強之，則此一寸之氣，能放而盈七十寸之地。又有氣於此，其自然所在之地，則盈七十寸，若用法以強之，而即揫斂於一寸之地，此諸氣厚薄輕重之力，與諸測法也。其強之法與器，詳見《水法之本論》。
測天諸氣之法，於蒙氣之差所係為最大。其差加減之於高度，則其所測之合天與否可定也。其測法并其差表，具載《日躔曆指》諸書中。但蒙氣差細微之處極繁，不過數分秒耳。今姑舉他體通廣之差，并其測法差表，以明其理，而推廣夫儀器之用法。夫通廣之體有二：一光明易為透徹，一難透徹。皆由本體各有厚薄之分。厚薄有加減，則其所通光之差，亦因之而有加減。又「凡其所差，以天頂線為主，其頂線則立於光所初入之地。」夫日月諸星之光，若從易通光之體而難入通光之體，則其所透之光，必向頂線而凝聚矣。若從難通光之體而入易通光之體，則其所透之光，必離頂線而渙散矣。〈見《一百十三圖》。〉假如丙丁為水盈之盤，於其底而置一錢，而錢所升之象，與太陽之升光同一理也。其象交水盤之邊，而初入空明之氣，若立頂線如壬丙己，則明見其象，不依直線而射於乙，必更離於壬丙己頂線而偏射於辛，因從難透之水體，入易透之氣體故也。又試觀空明之地，如辛有光，而以頂線壬丙己，從本盤之底己至立水面，丙立，有直
表，而辛光之一道照至於丙點，其光道與表影，不依直線而射戊地，必依曲線向壬丙己頂線而偏於甲，因從易透空明之氣體入難透之水體故也。其測法用兩象限儀，一在水面上，一正對於水面下。〈見《一百十四圖》。〉而以水中表影所射之度數，對比於水外日高之度數。假如東西壬辛為半球空影，其東西全徑於地平線平行。其壬東辛西兩象限儀各平分九十度，兩象限儀相對，同穿於壬辛頂線軸上，而任意左右轉移，以對於太陽之高度。次半球形，用水盈之地平，東西之線令齊，而甲乙窺衡表對於太陽之高度，則半徑辛乙表端之影，水中所對射之度數，為氣水高下差之度數矣。若不用日光，則目依窺衡表甲乙線，水中所窺對之度數，為氣水差之度數也。今照《比例法》，列為六等之表，以明三等體所通光之差。各體立氣水等差二表，見於後篇。今約舉數端以解之：
《水差》者，光既從空明之氣而入透於水，則其水中所射之高度，比在空明氣之高度所差若干度分也。〈見《一百四圖》。〉假如太陽空明處，距天頂線八十度，而其射光一道徑過半徑表端甲若圓球形之器內無水，測其光道與表影在圓器內，依徑線正射八十度矣。若充其水齊邊，測其光道止射五十度矣。因而通氣、通水之光道，差三十度，為其玻璃差者則光。〈或是物象同一理〉從空明之器，透玻璃離於徑線，近遠之差也。見上氣水差之圖，而以丁線為直徑線，以水盈之圓球形為玻璃球形也。凡玻璃望遠顯微等鏡，其所以發現物象，近遠、大小、暗明、正斜之眾端，皆可從此差之理而明之，詳見本論。
水氣差者，則光或物象從水中升出，而射空明之氣，其所以射光之線，水內氣內，各離頂線近遠不同之差也。假如射光之道，其在水內，離頂線五十度；其在空明氣內，離本頂線六十五度，兩差十五度，則此推表之度數，準合於儀器之所測矣。試於大盂內照氣水差表製界節氣線，日晷盂中注水，與表端齊，則太陽之光照表，其表影盂底正對於本日節氣線及時刻，纖毫不爽也。若盂內無水，則表影與本節氣線不對，而大謬矣。其照界節氣線，日晷依常法空明氣中製之，則表端與本節氣線難免有過不及之差。今依《氣水差表》製之，豈有表影與其所測之高度不相合者哉？
《諸曜出入地平蒙氣廣度差表》諸曜出入地平，必在蒙氣之中，故其出入之廣度，有加分，有減分，北加而南減，多寡不等。依各地北極之高度，多寡不等也。今依蒙氣之高差最大者三十四分，而推其出入廣度之差分，悉照各方極之出地之高度，列表如左：
諸曜出入地平蒙
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氣水等差表
「氣水差」 者，即光及物象從氣入水而斜透，水內高度之差也。所謂「水氣差」 者，即光從水入氣而斜透，則氣內高度之差也。氣玻璃差及水玻璃差等俱倣此，皆以光離天頂之遠近為主。假如太陽離天頂線四十度，氣水差表內相對為三十度，其相差者乃十度也。水氣差表內相對之度為五十一度，其差則十一度也。氣《玻璃》差表內相對之度為二十五度，則所差為十五度也。其餘倣此。
圖
圖
《論飛葭》之無合於曆，
如前驗氣之法，其微妙如此，且不可以測天上之節氣分也。況葭管飛灰，其術莫驗，又安所用之哉？故凡引鐘律以為驗節氣法者，不過欲附會欺世，而擾紊曆法耳，天其可欺也哉！今約舉四端以辨之：
一、春分之日，太陽正交赤道之日也。萬國同是此日，故「萬國同日」 ，皆可以測驗飛灰候氣，全係地氣，地氣有冷熱、乾濕之不同，萬國有不同之地氣，無不一之春分也。
二、每年太陽一交，赤道便為春分，則春分萬年如一，永不改變。若地氣至春分時，各國每年改變不同。設欲以地氣測春分，則春分年年不同矣。
三、春分只有一日，春分前後幾日，地氣乾濕冷熱大概相同，難以分別，況春分等節氣，只在本日一刻之間，本日自朝至暮，地氣亦大概如一，又難以分別，何可就地氣以測定春分在某日某時刻乎。
四、地氣本乎地勢，或傍山，或近江湖，常有變換，又有風雨雲霧，皆能變易地氣。春分之日，全憑太陽交赤道度，距地甚遠，與地何涉？豈可以多變之地氣，測驗不變之春分也？
《測中域》雲：「高度之法。」
假如空際有雲象，〈見《一百十圖》。〉其一端為「甲」，兩人各用《象限》儀，一從乙處，一從丁處。〈從丙處更便〉「測其高度」，因於甲乙丁三角形內得其三角并乙丁線之步數，故照法推知甲乙線。今以甲戊線為從雲而下之垂線，甲乙戊三角形內既得甲乙線，而甲戊乙為直角，則依句股法之理，推知甲戊線之步數，而可得雲之高度矣。虹霓諸類之高度，與雲象諸測法皆倣此。其測彗孛新星等，另有本論。若測雷起處距地近遠等，則以測時刻分秒之垂球儀，可推而知也。詳見《別集》。
測「空際異色并虹霓珥暈諸象。」
《格物家》論色之異有二：一真實，一幻妄。何謂真實？蓋從寒熱燥濕四元行之情相交而生，然必雜體可見，而純體不可見也。何謂幻妄？蓋從光照物體退返之勢而生，雖易顯著，亦易渙散。夫二者亦各分五等，正相反者有二，純白純黑是也。又中等者有三，黃紅青是也。由是五等彼此相交相變，而各色生矣。〈見「一百十一圖。」 〉姑以各色玻璃相交映之勢言之，於一密室中，戶牖皆閉，務令幽暗，或戶或牖，微開一隙，其大小與玻璃相稱，而以通日光。隙內置各色玻璃，用潔白紙對之，其日光透射玻璃，玻璃所映之色，必映於紙上。如隙內並置玻璃兩片，一黃色一紅色者，則紙上必現黃金之色矣；如並置兩片，一黃一青者，則紙上必現綠「色矣。如並置兩片，一紅一青者，則紙上必現紫色矣。餘倣此。」若以銅圓柱鏡對於通日光之隙，則周圍返照之光，而五彩虹霓之象俱顯矣。至於各色明麗深淺濃淡之加減，則隨其圓柱鏡之光有斜正返照之勢而生焉。蓋圓柱鏡返照之日光愈斜，則其所映之光愈昏，而其色之變異遂去日之原光愈遠矣。若夫真實之色，別有闡發，今止就幻妄之色而論之。大凡有形象者，皆由質、模、作為四者，而成諸異色也。其質者，即空際之氣也，氣必稍厚而密，方可成色。其模者，即光也，光道愈密，則各色必愈明麗矣。其作者即太陽與射光之星月也，其為者，即六合品彙之全，而萬有之美也。其色之異者，或由夫氣質之厚薄，或由夫光輝之進退，或由夫空際之異勢。蓋凡光照空際之體厚，則其
所生之色，必深而黑。若體稍薄而濕，則其色必青。若又稍薄，則其色必紅。若體薄甚，則其色青綠。若體精而稍厚，色則為黃矣。即日月星辰之異色，多為空際之所映射而致，正如火焰之異色，由煙氣熏灼而成耳。
夫空際彩色之異，從雲氣之厚薄而生，《前論》已悉之矣。今更借玻璃之五彩以明之：如三稜角玻璃，從每角起至對角面止，則玻璃之體漸次加厚。〈見《一百十二圖》。〉「甲乙戊己為三稜角玻璃」，分三等厚薄之界線，因而所見彩色約分三等焉，如「香圓色」、紅花色、天青色是也。其餘諸色，從此三色交映而生。蓋太陽之光斜透，玻璃必多混雜，其玻璃厚薄若干，則日光混雜亦若干，而其所現彩色濃淡即若干矣。如玻璃上層甲乙較他層更薄，日光易透，故其所映之光稍混，而彩色「與原光相近，其所現之色淺淡，如香圓色是也。玻璃下層戊己較他層厚甚，日光難透，故其所映之光朦混，而彩色與原光相遠，其所現之色深濃，如天青色是也。玻璃中層在厚薄之間，故人目透視之日光，其彩色乃在青黃之中，如紅花色是也。」然則日光之濃淡昏明，無不從玻璃之厚薄而生也。審此，則玻璃所現之彩色，與虹霓之彩色，其理固無異矣。又虹霓本然之妙，及其所以然之奇，為眾象首。原夫虹霓乃潤雲被日對照，而成多色之弧也。蓋雲者虹之質，而雲之潤乃所以必成其虹質之勢也。一被日對照，而虹乃由之以成矣。夫雲非當其化雨，則不能生虹，而雲非承日光，則虹無由而成。又日光非正對，則虹又無由而成。故虹之見也，必朝西而暮東，亦或東北也。曰「弧」者，虹形之曲也。曰「多色」者，別虹於諸色，他弧他象也。次曰同時多虹可成。假如日當於午，東西方各有雲氣，日光照之，遂成虹矣。但因人目限於一方，止見其一，而不能并見其他耳。假使一方而有二雲，日光照之，其一正對者變虹矣；而其迴光照及相近之雲，又二變而為虹矣。又由此雲，所照之日光退傳至於他雲，又三變而為虹矣。若論其色之奇，三變不如其二變，二變不如其初變。蓋初所變之虹，則受日光之正照，而二變與三所變之虹，不過受斜退之光已耳。虹色雖多，約分為三：上如香，圓色也；中如「青草色也，下如紅花色也。」然其所以不同之故，由於雲之厚薄異勢。故雲之上白而且薄，接日之照則現黃色，中之體厚則現綠色，其下尤厚則現紅色矣。至若雲之厚薄之異，由於氣之勢異也。氣之輕且薄者，騰愈高，接日光愈深，其迴光愈弱，所生之色愈輕淡矣。氣之濁且厚者，騰愈下，日光愈淺，其迴光愈強，所生之色愈濃深矣。至言二變之虹，較之初變之虹，色雖同而序相反，上反為紅，中綠自若，而下者反黃矣。次曰日月暈，虹霓等象，皆為圓形。其所以然者，乃由日光斜透之勢耳。凡現虹霓之時，皆太陽所映彩色，故碧落之雲，無不變現。但人目止見一圓弧之異色，因其斜透圓弧之光道，皆離太陽及離人目有一定之遠近故耳。如鵓鴿之頸，孔雀之翎，向日空中雖發多色，人目旁見之，必有一定之近遠。若或過或不及，則異色俱不見矣。天文家常測得虹霓之半徑為四十五度，日暈半徑為二十二度半，如甲為日，乙為人目，丙丁為日暈，中心為庚，過中心之光道，甲庚乙為日暈之軸也。太陽所透周圍之光道，各離日暈之中軸二十二度半，而此度數以內以外之光道，乙日皆不得見其所映之彩色矣。月暈日珥及日月旁氣之象，其彩其形皆倣此。凡此類通光，並生雜色之雲氣，比之取火之玻璃鏡，如太陽之透玻璃鏡，遠近無不射其光，但其聚光聚火之處，在圓光之中，離玻璃後面有一定之近遠，人目所見雲內彩色之處，亦在過不及之中耳。
凡從「原光」 所生之彩色，皆為次光之類。比之原光，猶燈光之比日光焉。然燈光白日淡而不顯，夜則大顯。五彩之光亦然，暗地則大顯者，是各發其所以映之異色也。夫太陽在地平之上，終日照耀四方，無不斜透空際之雲氣，而映成多色矣。凡異色於白日不顯，至晨昏倍覺分明，職此故耳。
測水法
水之周遶於地，同為圓形，已詳於《別集》矣。〈并見《全地圖》。〉今略舉測水平之器與其法而言之：夫「水平」，人人之所知也。然水平之理及測法之極致，則取水平者皆有所不知焉。如五六丈之遠以取平，難見其謬；若至數十丈，或數里之遠，并其測
法俱窮矣。且測法之準與不準，所係為甚鉅。蓋
國家之大工，如挑濬河渠，為興利防患計者，不越。
乎此。夫水之通塞，分於毫末之高庳？其說別詳於《引水法論》。蓋水平之與地平有異，所謂地平者，乃地上一線與過地中心之垂線為直角也。其線兩端，距地中心近遠不同，而與地平無礙。〈見《一百三圖》。〉甲丙戊丁為地水球，甲乙線之兩端，甲與乙去地中心戊近遠不同，但其本線與垂線甲戊作直角，實為地平線也。所謂「地平線」者，必其兩端去地中心近遠無二，如上圖內辛壬線是也。今姑舉數題，以明其測法。
第一題
測定兩地同在水平線上下若干，法曰：「取其平器，安於兩地互相距度數之中。」〈見《一百四圖》。〉假如測戊己兩處，同在戊己水平線中，否則取平儀安於丁，而從本儀左右之兩端表窺測兩處，從右表窺向左處，從左表窺向右處。若測戊丁兩處，而儀器止安於一端如丁，則以丁戊線為水平線，而大誤矣。若照此線引水，從丁至戊，則其水必從戊向丁倒流矣。蓋測定高法，以垂線為主，而垂線以地平中心為定向，不拘何物之垂線在地面上若干，則其本物之為高低亦若干。今戊癸線為戊高之垂線，丁戊兩處所差之高度則戊癸線也。戊丁兩處互相距愈遠，其差愈多。古有測山之高，而每有所誤者，多在於此。〈見一百五圖〉乙丙為高山在地面上。古用象限儀，從遠處戊測其高，以目所窺壬處為山頂，而以其在地平戊己線上之垂線壬己為山之高。但山之高，則以其向地中心之垂線乙丙丁為主，而以其在地面上乙丙垂線為本山之高。其測法在《測量山岳之論》內詳之。今姑以《測地近遠法》內所列測高遠表，可推而定焉。夫定水平法，原係細微之法，若儀之安法或窺法有分秒之差，而以測高低，則大謬矣。假如一處相距百步，而安取平儀，或窺法之誤，不過一分之數釐，而其水平線遂差至四五尺有餘也。若測兩處高低之差，其兩處相距倘不甚遠，則於其適中處安儀，而依法以測之，即可以取定其平矣。若相距甚遠，須於相距處均畫數方，而於每方之居中安儀，測定左右各至之高低，然後將所測定各方左右兩處之高低總歸於一，而相比之，則可以定其相距之高低矣。測大海江河、泉井等水之深淺輕重、鹹淡若干，各有本法，本器另有本論詳之。
垂線球儀
垂線球何昉乎？蓋近今數十年以來，遠西之曆學名家特創新意而曲盡其測驗之法者也。故凡時刻之分秒纖微，天行毫末之差數，靡不於時而可悉焉。不寧惟是，舉天下運動之疾，如空際之雷響諸類也，弓所發之矢也，銃所激之彈也，皆可以測而推之也。其器較諸儀為最簡，而其為用則甚便云。
測法三題
第一題：《測日月之全徑》。〈見《一百十五圖》。〉此題甚有係於推測曆理，蓋凡定二曜之大小及交食之分秒，地影之廣狹，與太陽、太陰距地之遠近，四時并每月各有不同，以至日月與本天有最高最卑之處，大約皆用加減表等算法而定也。今以垂線球可測而定之法曰「安定三角形線。」〈見一百十五圖〉對天正南北之線測候，須以二人。如甲人測候至日月體之西弧，與南北三角形線及窺目相參直，次乙人放《垂線》而數其往來之秒，至本曜之東弧，與角線并窺目相參直。彼時若本曜行赤道線，則以本表查時刻之分秒，而變通於天度之分秒，即得本徑之分秒矣。若本曜雜於赤道之內外，則定其緯度，與赤道平行圈相距之度分若干，而以本圈之分秒與相應赤道之分秒相對，則通變之以求其分秒，即得矣。見《大小圈度相應表》。
第二題測天上不拘何兩星相距赤道經度之分秒。法曰：「照前題測候，此兩星與上三角形線相參直，而兩中間凡有垂球往來之分秒，照前法變度數之分秒。凡二星密近，用他儀測候，難得其相距之分秒。用此垂線儀，則一仰觀而即得矣。」
第三題：凡重物隕墜所行之丈尺，并求其所須時刻之分秒，有再加之比例。其比例以不平分之數而明之，如一、三、五、七、九、十一等。假如有重物於此自高墜下，若第一秒內下行一丈，則第二秒內行三丈，第三秒內行五丈，第五秒內行七丈，後行前行相并，如第一秒之行一丈。第
二秒之行三丈，則并之為四丈；又第三秒之行五丈，并於第二秒之行四丈，則共得九丈。又有八寸之垂線球於此，其一往一來而相應則十微也。設有物之重八兩者，自高墜下，則五十微內下行一丈，其遞加倣此。今依此比例之數列表如左：
《八寸垂 ：一一二二》。
《線球》：〈單行。〉《五○五○五》。
相秒，〈○一二、三、四〉
應微。〈五四、三、二一○○○○○。〉
〈重物分行丈數〉一三五《七九》
〈重物總行丈數〉一四九。〈一二六五〉
不平分數，一三五七九。
用法
「手握垂球，不急不緩」，任意離之於頂線。〈見《六十四圖》。〉假如甲自甲至乙乃釋手放之，則球之中心恆當天頂一圈線之中，自上下往來而離頂線。其左右則作圈線弧，如甲、乙、丙，而其圈之中心在於軸之中心如戊。此圈弧短小，如將盡時，即照前法提球而放之，令往來一日相繼，以定時刻分秒之準則焉。但初放時，其圈弧不可太過，大略在四十五度之內，又從而提之，不可等球往來全盡，如將盡，則又提球而放之。各有定規，學者習而熟之，無所施而不可也。今約舉數題以解之。
第一題：凡垂球一來一往之單行，其相應之時刻分秒皆相等，又凡垂球往來之雙行，其相應之時刻分秒亦相等。所謂單行者，即垂球之一往或一來也。假若從甲至乙，為一往之單行，從乙至甲為一來之單行，從甲至乙并從乙回至甲，即往來之雙行也。解曰：「若用測分秒之赤道大儀，或細微沙漏、水漏，或本人」脈息之數而對比之。夫垂球往來之數，必觀其大弧之往來與小弧之往來，論時刻之分秒皆相等也。又大弧之往來疾，小弧之往來遲、遲疾不同，而其所歷時刻之秒，大弧小弧皆相同也。又試依正南北安定三角形線，而晴夜測候，不拘為何星而交切之，一交切則放垂球而數其往來，至他星正交之時，則記其數若干。〈兩星相距愈遠，其測法愈準。〉次夜又測候前兩星交三角形線之時，又放球如前，而記其往來之數。此兩夜中，就其往來之弧，大小各有不同，究之次夜所記之數，必與前一夜所記之數相同也。如法三夜連測之，其從角宿交切本三角形線，至大角星交切之，則兩間球之往來皆至三千二百十二之數，蓋莫準於此也。
第二題有兩垂線球，除垂線長短不等，其餘相等，其短者之尺寸與長者之尺寸，如長者往來之方數，比短者於相等時刻往來之方數。假如兩垂線球，甲乙甲球之垂線長一尺，乙球之垂線長二尺，試觀甲球往來八十五次之時，則乙球必往來六十次耳。然六十之方數即三千六百，與八十五之方數即七千二百。如「一與二夫八十五」 之方數，雖本為七千二百二十五，而其與前方數有微差，原從垂線往來之總數而生；若論其細分，即無差矣。蓋垂線一往一來，各有細分，但難以分別之。又設若乙球之垂線長三尺，甲球之垂線仍一尺，則甲球六十次往來之時，乙球之往來必一百零四次，而其方數即一萬○千八百十六與三千六百，約如「三」 與一也；
第三題有兩垂線球，甲、乙除垂線長短不等，其餘相等。以甲球往來之數求乙球往來之數。法曰：「甲球往來之方數與其垂線長之尺寸分釐相乘，而所得之商數與乙球垂線長之尺寸分釐歸之」 ，又歸除之商數，依開方法取其根。蓋根數多寡若干，則乙球之往來多寡若干。第四題以垂線球之往來求相應之時刻分秒。
法曰：「以其準定分秒之日晷，法，如赤道大儀。」
或以兩星相距定分秒之度數，照前第一題交切南北線，求某垂線球往來之總數，相應天上分秒之總數幾何。然後以三率法推定本球每一往一來相應之分秒幾何。依此法曾製垂線球，推定其一往一來相應天上一秒，六十次往來正對一分，所以一刻內有九百往來，四刻內共三千六百往來之數。
第五題以某垂線球相應之分秒，求他不拘大小垂球相應之分秒、纖微等法曰：「照第三題用比例法，其一往一來相應三十微」 ，其往來之
雙行相應一秒，因而上第四題所定之垂球六十次往來之時，此垂球往來一百二十次，又更加細微。亦曾另製小垂線球，推定其一往一來，相應天上十微。所以六次往來對一秒，六十往來對十秒，三百六十往來對一分。若以之定自鳴鐘，雖歷二三月之久，不調其輪牌而分秒無差，待此器至中夏之時，自詳言其用法。
《第六題》：「凡求時刻之分秒，如無諸儀，參測其細微，則隨時隨處而以本身之脈息可推而知也。蓋人當氣血平和之時，其一息大率應時刻分之一秒，如當測時切脈而自數其息，則以其定秒推之，而以球之往來較之。」 假如球每一往一來為一秒，而其六十次之往來為一分，當彼六十次往來之時，若己之脈息亦至六十次，則每一息代秒用之。若有過不及之差，則用比例法。假如球六十次往來之時，數己之脈息至六十八次，則一次為比例之共率，因得三十四脈息相應三十秒，十七脈息相應十五秒，餘倣此。蓋六十八與三十四，如六十與三十，又六十八與十七，如六十與十五，同一比例之理也。第七題擬天以下之疾行比而推天以上之疾行近。今有測量名家，依前定秒微諸法，曾驗放小銃時於三秒內，其彈行一百八十二丈之遠。設使此彈常飛行空中而不斷，則必閱十一年零一百一十八日，而其所行，不能盡太陽一日所行之度也。照此推算，則六十秒即一分內行三千六百四十丈之遠，而六十分即四刻內行二十一萬八千四百丈之遠；若九十六刻即一日內行五百二十四萬一千六百丈之遠。今以丈數歸之里數，凡一里既為二百一十六丈，則前所計丈數共為二萬四千二百六十六里一百四十丈也。然地球每一度為二百五十里算之，則天下週圍共九萬里；而銃之，彈一日止行二萬四千二百六十七里矣；若行至九萬里之遠，則必須三日零六十八刻有餘。《曆學公論》曰：「地球之全徑，其在於太陽天之全徑者，如一與一千一百四十二之比例。」 今週與週如徑與徑之比例，則太陽天週圍之里數，包地週圍之里數一千一百四十二倍也。若照前所擬銃彈，行空三日而不斷，則必須四千二百三十三日，即十一年零一百一十八日，始行盡於太陽天一日內所行一週之里數矣。又《恆星》天全徑與太陽天全徑，如十二與一，則恆星天一週包日天一週十二倍也。故夫銃彈以行盡太陽天之數推之，則必須一百三十九年零八十四日，始行盡於恆星一日所行之里數矣。然凡此天行之疾，則又有何所比擬哉？
作法假如：〈六十四圖。〉庚辛為銅橫條，釘穩於橫木梁上，令毫不動搖。壬丁戊己為粗銅耳，中安銅軸，而軸長徑線丁戊須與地平線平行。軸中繫垂線球，其球隨本橫軸轉動，恆當甲丙過天頂一圈線之中往來，而不離於左右。其軸之長徑與垂球之徑相等，以便自此軸中心至球之中心比測，而定垂線長短之尺寸分釐。其垂線為小「圈相連之銅鎖，其垂線之長短，其重之分兩，又垂球之分兩，皆須預知而準定，使毫不差失，而器於是乎全已。