少广拾遗序

少广爲九章之一其开平方法爲薄海内外测量家所需非隶首不能作也平方而外有立方以爲凿筑土方之用课工作者犹能言之若三乗方以上知之者葢已尠矣尝见九章比类厯宗算会算法统宗俱载有开方作法本原之图而仅及五乗竝无算例同文算指稍变其图具七乗方算法而不适于用诠释不无譌误西镜録演其图爲十乗方而举数仅详平立三乗一式而已余皆未及康熙壬申余在都门有友人传逺问属询四乗方十乗方法葢诸乗方法独此二端不可以借用他法而问者及之窃喜朋侪中固自有留心学问之人遂稍取古图防绎发其指趣爲作十二乗方算例颇觉详明然后知今日所用开平方法廼算数家径捷之用而不及古图之简括精深也宣城梅文鼎

钦定四库全书

厯算全书卷五十九

宣城梅文鼎撰

少广拾遗

开方求亷率作法本原图

自开平方至开八乗方

古图附説

图最上书一者本数也本数者即大方也大方无隅无乘除之可言而数从此起也次并列【一一】者方邉也西法谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即有平幂故第三层　者幂积也西法谓之面即一百二十一也左一百为初商自乗之幂即大方积也右单一为次商自乗之幂即隅积也小平方也中二十则两亷积也并长方也

如图大小两方幂以

一角相聫必得两亷

以辅之而其方始全

故平方亷积二也

第四层　者立方积也西法谓之体积即一千三百三十一也左一千初商再乗之积大立方也右单一为次商再乗之积隅积也小立方也中三百三十皆亷积也三百为三平亷积扁立方也三十为三长亷积长立方也

如图析观之则初商大立方体与次商隅积小立方体相连于一角必得三平亷之扁立方体补于大立方之三面又有三长亷之长立方体补于小立方之三面及三平亷之隙而方体始全故立方之亷积有二等而其数各三也

第五层　者三乘方也即一万四千六百四十一也左一万者大三乗方也初商方积也右单一者小三乗方也次商隅积也大方积既以三乗之故而积陞至万小

【隅虽　　　　　三　　　　　乘】

【仍单一也其相隔已三位故必有第一亷为】【千数第二亷为百数第三亷为十数以补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以】【上不可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者焉以其相生之序言之则皆】【加一筭法也初商次商如十与一而其幂则如百与一故于之下各加即成如十一之自】【乘也此平方率也又以十一乗之成即立方率也又以一十乗之成即三乗方率四乗】【以上凖此加之皆加一法　也曰若是则诸乗】【方皆以十一逓乗而得非十一者何以处之】【曰根非十一而其理皆如十与一何则凡増一乗积陞一等而亦増一亷亷与亷之积亦】【皆如十与一也幂幂旧名方法旧名上亷旧名下亷一一一一音觅周礼幂人掌共巾幂説文覆也开平方四邉俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文故谓之幂亦谓之面同上省文也见张参五经文字书或小写】

亷率立成附説

凡开方一位除尽者无亷隅也亷隅皆生于次商次商之根必小于初商一等而其小隅之体必与初商之大方同状【如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方】此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法则不然每増一乗则亷増一等【如平方但有亷立方则有平亷长亷三乗方则有三种亷四乘方则有四种亷其亷之等并与其乘数同増】而亷亦加多【如平方只二亷立方则平亷长亷各三三乗方则三种亷共有十四乗以上则更増而多如图所列】此亷率所由立也

问亷既有等【如平方亷为十立方亷为十为百之类】而今亷率只作单数用何也曰此亷之数也非亷之积也亷积有等则既于其次序分之矣挨次乗之其等自见【如第一亷必小于初商大方一等第二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是】若同一等中应各有若干亷必先知之而后可用故立成中所列皆单数问古图以右为隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自右而左便于取用故也【亷法相生之序左右同数如立方平亷三长亷亦三也三乗方第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷则其近小隅亦有若干亷故左右并同可以左为初商大方右为小隅亦可以右为大方而左为小隅此亦见古图之妙也】

问旧有方法亷法之目今防曰亷法何也曰开方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方与隅之间次商初商相乗而得者皆亷也旧以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四为序较画一耳

问平方之亷皆平幂也立方之平亷长亷皆体积也不知三乗方以上之亷积亦能与方隅并状乎曰凡诸乗方之亷积无不与方隅之乗数等也试以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗积而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根数而又以次商之立积乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗积也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗积也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂积也又以乗次商再乗积其第四防有五皆初商根也又以乗次商之三乗积皆四乗也五乗方以上俱如是观后算例自明

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

诸乗方根同而积不同本易知也惟根之一者积同为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三乗以上诸乗方之一虽曰积同为一其实不同也今以方根之为单一为一十为一百者为例如右

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无次商者去尾○用之则方根只为单数

多【如第一亷用初商立积二亷则初商幂逓减以至三亷则初商只用根】近小隅者次商乗之遍数多【如第一亷只用次商根第二亷则次商亦用幂三亷则逓加而用次商立积】各乗方皆如是

开诸乗方大法

诸乗方法惟平方为用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至于多乗而通为一法是为大法【诸乗方大法可以开平方而平方専法不可以开诸乗方】

总法　凡诸乗方皆先列实　次作防分段　次查表以定初商　次求亷隅以定续商

列实之法　依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存其位

作防分段之法　皆于原积末位单数作一防起【凡减隅积必至单位故分段之法以此为宗同文算指但言起末位殊混】依各乗方宜以若干位为一段即隔若干位防之【或作实防丶或作虚防□俱可然虚防尤便以减商积时有借上位之防免凌杂也】如平方以每两位为一段则隔一位防之立方以三位为一段则隔两位防之乃至十二乗方以十三位为一段则隔十二位之并同一法

谨案作防分段其用有二一以定开方有若干次也如有一防则只开一次有两防则开二次三防则开三次之类一以定开方所得为何等数也如只有一防则初商即单数二防则初商是十数三防则初商是百数之类是故初商减积必至于最上防而止也次商减积必至于次防而止也每开一次必减积一次而所减之数必各尽于其作防之位亦可以验开方之无误也又最上防以上初商实也次以上次商实也每商皆以防位截实此法于初商尤为扼要

又案开方分段古人旧法之精钱塘吴信民九章比类山隂周述学厯宗算防悉着其説而同文算指西镜录本其意以作防定之施于笔算为极善也【鼎于三十年前见同文算指作防之法惊叹其竒后读诸书始知其有所祖述非西人创也】

初商之法　皆以最上一防截原积若干位为初商实乃查初商表视本乗方下数有与实相同或较小于

实者录之纪于左线之左【皆以表数末位对右线上原实最上纪之】是为初商应减之积　即于本表旁行查方根纪于左线之右【皆对所纪表数首位进一位纪之】是为初商数

以初商应减之积【左行所纪】与初商实【右行最上防所截原实】对位相减【皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大右行实数反小而不及减则作防于上一位借十数减之】减不尽者为余实以待续商

凡原实有二则初商为十数而有次商有三防初商为百数而有次商及三商以上仿论如实只一防则初商即是单数无续商

次商之法　皆以第二截余实为次商实

凡初商皆为方积次商以后则有亷积隅积

先求亷率　查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干数平列之为若干行谓之定率【如平方只一种亷其定率二立方有二种亷曰平亷曰长亷其定率并三若三乗方则有三种亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四详后式】每増一乗即亷増一等而定率増一行【有亷之等有亷之数如平方有二亷立方有三平亷三长亷此亷之数也平方之两亷同积共为一等立方之三平亷同积为一等三长亷同积为一等共为二等此亷之等也亷率中兼此二义】

求亷泛积　以各亷定率乗初商应有各数各依本乗方减小一等用之亷多者又递减挨次乗之至根数止是为泛积【有初商数即各带有自乗幂积二乗立积乃至三乗以上各积是为应有各数也今求泛积当依本乗方减小一等用之如平方只用根数立方用初商幂积乃至十二乗方用初商十一乗此为减小一等也至第二亷则立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此为亷多者二亷以上又逓减挨次乗之也逓减至初商根则为末后一亷矣故曰至根数止】

求防商数以泛积约余实得之

求亷定积　以各亷泛积乗次商数亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方减小一等止是为定积【凡第一亷泛积皆乗次商根而得定积有第二亷则以次商自乗积乗之有三亷则以次商立方积乗之是为逓増一等也然增不得至本乗方但增至本乗方减小一等数即为末后一亷矣】

求隅积　以次商数查初商表各依本乗方取之【以次商对横行根数以本乗方对直行纵横相遇得之】列于亷积之后一行是为隅积【小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方则隅即小立方三乗方之隅亦为小三乗方四乗以上并同故可借初商表用之】

求亷隅共积　以所得各亷定积及隅积用并法并之即得

求次商定数　以所得亷隅共积纪左线之左【又在表数之左以末位对第二防纪之为次商应减之数】与次商实【右行第二防所截】对位相减【以左减右】减不尽者又为余实以待三商遂纪次商数于初商之下为次商定数　如亷隅共积大于次商实不及减则改次商至及减而止乃为次商定数

三商以后并同上法

不论三商四商乃至多商其亷定率不变但求泛积时三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前三次商数皆取其应有各数以乗定率而得泛积亦如上法之用初商　其求定积则三商即用三商之数四商即用四商之数以乗泛积而得定积亦如上法之用次商　余法并同次商

审○位之法　凡亷泛积大于余实或仅相等而无隅不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次而并下一防余实为续商余实

次商单一之法　凡泛积与实仅同而有隅一是商得一数也即以泛积为定积不必更乗次商【惟单一则然若商得一十一百一千仍须如法乗之】

开平方【即一乗方】

设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方根若干

答曰五千七百八十三

列实法【先作两直线次以方积三三四四三○八九列

右线之右】　作【法于实末位单数作一防起逆上每

隔一位防之有四防宜商四次初商是千】初商法曰

【用最上一防截原实两位三三为初商实查表有小于实三三】

【者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作防借上一数为十三减去五余八改书八于实三之右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹去减数二五】

求次商　用第二防上余实八四四为次商实

隅　　　　　　　　　　次商自乗　四九○○○○

亷隅共积　　　并　　得　　　　七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内定率二乗初商五千得一万为泛积乃约实作七百定为次商即以泛积乗之得定积七百万再用次商自乗为隅其积四十九万并定积成七百四十九万即亷隅共积也俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将共积七四九对实八四四书左线之左以减实余九五乃作线抹去八四四亦于左作线抹去七四九】

求三商　用第三防上余实九五三○为三商实

隅　　　　　　　　　三商自乗　　　　六四○○

亷隅共亷　　　并　　　得　　　　九一八四○○三商法曰【复置定率二以乗初商次商合数五千七百得一万一千四百为泛积乃约实作八十为三商即以泛积乗之得定积九十一万二千三商亦自乗为隅得积六千四百以并定积成九十一万八千四百为亷隅共积俱如式列之再将三商八十挨书次商七百之下而以其亷隅积九一八四对实九五三○书于左线之左去减实余三四六即改书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去九一八四】

求四商　用第四防上余实三四六八九为四商实

隅　　　　　　　　　　四商自乗　　　　　九

亷隅共积　　　并　　　得　　　　三四六八九四商法曰【用定率二乗初商次商三商合数五千七百八十得一万一千五百六十为泛积乃约实可商三定为四商即以泛积乗之得定积三万四千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三万四千六百八十九是为亷隅共积各如式列讫再将四商三挨书于三商八十之下而以其亷隅积三四六八九对第四防实书于左线之左就以减四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去】初商五千　有四防故初商是千位

次商七百

三商八十

四商单三

凡开得平方根五七千百八十三

还原法　置方根五千七百八十三自乗得积三千三百四十四万三千○八十九合原积

开立方【即再乗方】

设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每面方若干

答曰二百一十六尺

依法列实　作防【自末位单数作一防起逆

上每隔两位防之有三防宜商三次】

求初商【用最上一防截原实两位一○为初商实查初

商表有小于一○者是○八其方根二即以二定为初商对实】

【首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○书左线之左对减初商实余二改书之以待次商】初商二百尺【有三防初商是百】

求次商　用第二防上余实二○七七为次商实

依法求得次商一十尺【书于初商二百之下而以其亷隅共积一百二十六万一千减防商实余八一六改书之以待三商】

求三商　用第三防上余实八一六六九六为三商实

隅　　　　　三　商　再　乗　　　　　　二一六

亷隅共积　　　并　　得　　　　　八一六六九六依法求得三商六尺【续书次商一十之下而以亷隅共积八十一万六千六百九十六减三商实恰尽】

凡开得立方根二百一十六尺

还原　置方根【二百一十六尺】自之得【四万六千六百五十六尺】为平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七万七千六百九十六合原数

开三乗方

设三乗方积一亿三千六百○四万八千八百九十六问方根若干

答曰一百○八

依法列实　作防【自末位单数作一防

起逆上每隔三位防之】

求初商　用最上一防截实

首位一为初商实

凡积一者其根亦一不必查表竟以一为初商【其积与实对减恰尽】

初商一百【有三防初商是百】

求次商　用第二防余实三六○四为次商实

隅　　　　次　　商　　三　　乗　　一○○○○

亷隅共积　　　并　　得　　　　　四六四一○○○○依法求得亷隅共积四千六百四十一万为次商一十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商一百下书○

求三商　用第三防合上第二防余实三六○四八八九六共八位为三商实【三商减积至末位第三防故合八位为其实】凡求三商当合初商次商两数乗定率以求泛积今次商　故只用初商数

隅　　　三　商　自　乗　三　次　　　　　四○九六

亷隅共积　　　并　　得　　　　　三六○四八八九六依法求得三商八【续书次商○之下而以其亷隅共积三千六百○四万八千八百九十六与余实相减恰尽】

凡开得三乗方根一百○八

还原　置方根【一○八】自乗得【一一六六四】为平幂平幂又自乗得一亿三千六百○四万八千八百九十六合原积

或以方根一百○八自乗三次亦同

开方简法　置三乗方积【一三六○四八八九六】以平方法开之得【一一六六四】再置【一一六六四】以平方开之得方根一百○八合问

开四乗方

设四乗方积一十三亿五千○一十二万五千一百○七问方根若干

答曰六十七

依法列实　作【自末位单数作一防

起逆上每隔四位防之共两防宜商两次】

求初商　用最上一防截原

实一三五○一为初商实【查表有七】

【七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七七七六对减初商实余五七二五改书之以待次商】初商六十【有两防初商是十】

求次商　用第二防上余实五七二五二五一○七为次商实

隅　　　　次　商　四　　乗　　　　　　　一八六○七

亷隅共积　　并　得　　　　　　　五七二五二五一○七依法求得次商七【书于初商六十之下而以亷隅共积五亿七千二百五十二万五千一百○七减次商实】　凡开得四乗方根六十七

还原　置方根【恰尽六】自乗四次得积一十三亿五千○一十二万五千一百○七合原数

开五乗方

设五乗方积一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万问方根若干

答曰五百一十

列实【数以单位

为根今原积尾位是

百万故补六○列之】作防【自末单位】

【○上作一防起逆上每隔五位防之】　求初商【用最上一截原实五位一七五九六为初商实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以其积数对实列左线左相减余一九七一改书之以待次商】　初商求到五百【有三防故初商是百】

求次商【用第二防上余实一九七一二八七八○一为次商实】

隅　　　　次　　　商　　五　　乗　　　　一○○○○○○亷隅共积　　并　　得　　一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十【书初商五百之下再将亷隅共积一千九百七十一万二千七百七十八亿○一百万去减次商实恰尽】

原实三宜有三商而次商已减实尽无可商作○于次商下

凡开得五乗方根五百一十○

还原　置方根【五百一十○】自乗五次复得一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积

开六乗方

设六乗方积三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八问方根若干

答曰三十二

依法列实　作防【自末位单数作

防起逆上每隔六位防之共两防宜商两次】求初商　用最上截原

实三四三五为初商实【查表】

【得三为初商书左线右而以其积数二一八七书左线之左对减初商实余一二四八改书以待续续商】初商三十【有两防故初商是十】

求次商　用第二防上余实【一二四八九七三八三六八】为次商实

隅　　　次　　商　　六　　乗　　　　　　　　　一二八

亷隅共积　　并　　　得　　　　一二四八九七三八三六八依法求得次商二【书初商三十之下再以亷隅共积与次商实对减】

凡开得六乗方根三十二

还原　置方根【恰尽三】自乗六次得积【十二三四三五九七三八三】合原数

开七乗方

设七乗方积一千一百○○亿七千五百三十一万四千一百七十六问方根若干

答曰二十四

依法列实　作【自末位单

数作防起逆上每隔七位再作一防】求初商　用最上防截

原实一一○○为初商

实【查表得二为初商即以二书左线之右而以其积二五六书左线之左对减初商实余八四四改书之以待续商】

初商二十【有两防初商是十】

求次商　用第二防上余实【八四四七五三一四一七六】为次商实

亷隅共积　　并　　　　得　　　　八四四七五三一四一七六依法求得次商四【书初商二十之下再将亷隅共积八四四七五三一四一七六与次商实对减恰尽】

凡开得七乗方根二十四

还原　置方根【二十四】自乗七次复得【一一○○七五三一四一七六】合原数

或以根【二十四】自乗得【五百七十六】为平幂平幂又自乗得【三十三万一千七百七十六】为三乗方积三乗方积又自乗得【一一○○七五三一四一七六】亦合原数

开方简法　置设积【一一○○七五三一四一七六】以平方法开之得【三三一七七六】又置为实以三乗方法开之得方根二十四

或置设积【一一○○七五三一四一七六】用平方法连开三次亦得方根二十四

开八乗方

设八乗方积一千六百二十八万四千一百三十五亿九千七百九十一万○四百四十九问方根答曰四十九

列实【法同前】作防【自末位单数作

防起逆上每隔八位防之】求初商【用最上一】

【防截原实一六二八四一三为初商实查表得八乗方积二六二一四四其根四即以四定为初商书左线右而以其积数书左线左对减初商实余一三六六二六九以待次商】

初商四十【有两防初商是十】

求次商　用第二防上余实【一三六六二六九五九七九一○四四九】为次商实

隅　　　次　　　商　　　八　　乗　　三八七四二○四八九亷隅共积　并　　　得　一三六六二六九五九七九一○四四九依法求得次商九【书初商四十之下再将亷隅共积对减次商实恰尽】

凡开得八乗方根四十九

还原　置方根【四十四】自乗八次复得【一六二八四一三五九七九一○四四九】合原积

开九乗方

设九乗方积八十三兆九千二百九十九万三千六百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四问方根若干

答曰六十二

列实【法同前】作【自末位单数作

起逆上每隔九位之】

求初商【如法用最上一原积八位截为初商实查表得九乗方根六即以六为初商而以其积数六○四六六一七六减初商实余二三四六三七六○待续商各如法书之】

初商六十【冇两初商是十】

求次商　用第二上余实二三四六三七六○五八六八三四○二二四为次商实

隅　　　　　　　次商九乗　　　　　一○二四

亷隅共积　　　　　并得　　二三四六三七六○五八六八三四○二二四依法求到次商二【书于初商六十之下乃以其亷隅共积二十三兆四千六百三十七万六千○五十八亿六千八百三十四万○二百二十四减次商实恰尽】

凡开得九乗方根六十二

又法　置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以平方法开之得【九一六一三二八三二】为四乗方积　再以四乗方法开之得方根【六十二】

或置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以四乗方开之得【八三四四】再以平方开之得方根【六十二】并同

还原　以方根【六十二】自乗九次得原积

或以原根【六十二】自乗四次得【九一六一三二八三二】为四乗方积再以四乗积四乗得原积亦同

开十乗方

设十乗方积七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八问方根

答曰一十二

依法列实　作防【自末位单

数作一防起逆上每隔十位再作一防】求初商【用最上防截实首位七为初商

实查表得十乗方根一定为初商即以其积一】

【减初商实七余六改书之以待续商】

初商一十【有二防初商是十】

求次商　用第二防上余实六四三○○八三七○六八八为实

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

隅　　　　次　商　十　　乗　　　　二○四八

亷隅共积　　并　得　　　　六四三○○八三七○六八八依法求得次商二【书初商一十之下再将亷隅共积减次商实恰尽】

还原　置方根【一十二】自乗十次复得七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八合原积又法　置方根【一十二】自乗【一四四】为平幂平幂自乗【二○七三六】为三乗方积三乗方又自乗得【四二九九八一六九六】为七乗方积再以根再乗之立积【一七二八】乗之得十乗方积

开十一乗方

设十一乗方积七千三百五十五万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一问方根若干

答曰二十一

列实【法同前】作防【自末位单数作防起

逆上每隔十一位防之】

求初商　用最上一防截实七三五五为初商实查表得十一乗方根二定为初商【以其积四○九六对减初商实余三二五九以俟续商皆各如法书之】

初商二十【有二防初商是十】

求初商　用第二防上余实【三二五九八二七五一一三八六六四一】为次商实

亷隅共积　　并　得　　　　三二五九八二七五一一三八六六四一依法求得次商一【书初商二十之下其亷隅共积三千二百五十九万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一减余实恰尽】

凡开得十一乗方根二十一

还原　用方根【二十一】自乗十一次复得原积

又法　置方根自乗再乗得【九二六一】为立方积立方积自乗得【八五七六六一二一】为五乗方积五乗方积又自乗得十一乗方原积

开方简法　置设积【七三五五八二七五一一三八六六四一】以平方法开之得五乗方积【八五七六六一二一】又置为实以五乗方法开之得根二十一

开十二乗方

设十二乗方积一十五兆四千四百七十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十一问方根若干

依法列实　作防【自末位单数作防起逆上隔十二位防之】

求初商　用最上一防截原实一五四四七为初商实查表得十二乗积【八一九二】其方根二即以二定为初商【其积数与实对减余七二五五再俟续商】

求初商　用第二防上余实七二五五三三七七七三九一一九四六一为次商实

亷隅共积　　　并　　得　　七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一【书于初商二十之下再将亷隅共积七兆二千五百五十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百有六十一以减余实恰尽】

凡开得十二乗方根二十一

还原　置方根二十一自乗十二次复得原积或以方根【二十一】自乗得【四四一】再乗得【九二六一】三乗得【一九四四八一】为三乗方积即以三乗方积自乗得【三七八二二八五九三六一】再自乗得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积又置为实而以方根【二十一】乗之得十二乗原积又法　以方根自乗再乗得【九二六一】为立方积就以立方积自乗三次得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积如前再以方根乗之亦得原积

又法　以根【二十一】自乗之平方【四四一】为法自乗四次得九乗方积【一六六七九八八○九七八二○一】再以根【二十一】再乗之立方【九二六一】乗之得十二乗原积并同

论诸乗方简法

凡开平方二次即三乗方也是为方之方开平方立方各一次五乗方也可名为立方之平方亦可名为平方之立方

开平方三次七乗方也或三乗方平方各开一次亦同可名为平方之三乗亦可名为三乗方之平方

开立方二次八乗方也可名为立方之立方

开四乗方平方各一次九乗方也可名为四乗方之平方

开平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名为三乗方之立方亦可名为立方之三乗方

按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指谓四乗方开二次为六乗方又谓四乗方开三次为十乗方非也且四乗方平方各一次已为九乗方矣安得有开四乗方二次而反为六乗开四乗方三次而止为十乗乎必不然矣

演诸乗方逓増通法

平方积自乗为三乗方　立方积自乗为五乗方　三乗方积自乗为七乗方　四乗方积自乗为九乗方五乗方积自乗为十一乗方　六乗方积自乗为十三乗方　七乗方积自乗为十五乗方　八乗方积自乗为十七乗方　九乗方积自乗为十九乗方　十乗方积自乗为二十一乗方　十一乗方积自乗为二十三乗方　十二乗方积自乗为二十五乗方　十三乗方积自乗为二十七乗方　十四乗方积自乗为二十九乗方　十五乗方积自乗为三十一乗方【以上并超两位】平方积再自乗为五乗方　立方积再乗为八乗方三乗方积再乗为十一乗方　四乗方积再乗为十四乗方　五乗方积再乗为十七乗方　六乗方积再乗为二十乗方　七乗方积再乗为二十三乗方　八乗方积再乗为二十六乗方　九乗方积再乗为二十九乗　十乗方积再乗为三十二乗方【以上并超三位】

平方积自乗三次为七乗方　立方积自乗三次为十一乗方　三乗方积自乗三次为十五乗方　四乗方积自乗三次为十九乗方　五乗方积自乗三次为二十三乗方　六乗方积自乗三次为二十七乗方　七乗方积自乗三次为三十一乗方【以上并超四位】

平方积四乗为九乗方　立方积四乗为十四乗方三乗方积四乗为十九乗方　四乗方积四乗为二十四乗方　五乗方积四乗为二十九乗方【以上并超五位】平方积五乗为十一乗方　立方积五乗为十七乗方三乗方积五乗为二十三乗方　四乗方积五乗为

五十九乗方【以上并超六位】

平方积六乗为十三乗方　立方积六乗为二十乗方三乗方积六乗为二十七乗方　四乗方积六乗为

三十四乗方【以上并超七位】

平方积七乗为十五乗方　立方积七乗为二十三乗方　三乗方积七乗为三十一乗方【以上并超八位】

平方积八乗为十七乗方　立方积八乗为二十六乗方　三乗方积八乗为三十五乗方【以上并超九位】

平方积九乗为十九乗方　立方积九乗为二十九乗方【以上并超十位】

【平方至十二乗方已有初商表其十三乗以后不及详列推以根之为二为三者演之至三十二乗以见其意】

根二【至三十二乗则有十位】　　　　根三【至三十二乗则有十六位】

【十三乗】　　　　　一六三八四　　　　　　四七八二九六九

【十四乗】　　　　　三二七六八　　　　　　一四三四八九○七

【十五乗】　　　　　六五五三六　　　　　　四三○四六七二一

【十六乗】　　　　一三一○七二　　　　　一二九一四○一六三

【十七乗】　　　　二六二一四四　　　　　三八七四二○四八九

【十八乗】　　　　　五二四二八八　　　　　一一六二二六一四六七

【十九乗】　　　　一○四八五七六　　　　　三四八六七八四四○一

【二十乗】　　　　二○九七一五二　　　　一○四六○三五三二○三

【二十一乗】　　　四一九四三○四　　　　三一三八一○五九六○九

【二十二乗】　　　八三八八六○八　　　　九四一四三一七八八二七【二十三乗】　　一六七七七二一六　　　二八二四二九五三六四八一【二十四乗】　　三三五五四四三二　　　八四七二八八六○九四四三【二十五乗】　　六七一○八八六四　　二五四一八六五八二八三二九

【二十六乗】　　一三四二一七七二八　　　　七六二五五九七四八四九八七【二十七乗】　　二六八四三五四五六　　　二二八七六七九二四五四九六一【二十八乗】　　五三六八七○九一二　　　六八六三○三七七三六四八八三【二十九乗】　一○七三七四一八二四　　二○五八九一一三二○九四六四九【三十乗】　　二一四七四八三六四八　　六一七六七三三九六二八三九四七【三十一乗】　四二九四九六七二九六　一八五三○二○一八八八五一八四一【三十二乗】　八五八九九三四五九二　五五五九○六○五六六五五五五二三

附开多乗方求次商防法

列实作防截实求初商如常法既得初商减一等自乗为亷积【加五乗方则用四乗】又以本乗方数加一为亷数【如五乗方则用六】亷数乗亷积得数为法以除余实为次商遂合初商次商数依本乗方数乗之【如五乗方亦自乗五次】得积合原数定所得为方根【如原积数少不及减则改次商及减而止】

假如三乗方积五百七十六万四千八百○一问方根若干

答曰四十九

如法于初商表取三乗方积二五六

减原实定初商为四十余实【三二○四八○

一】为次商实　法置初商四○自乗

再乗得【六四○○○】为亷积【本方三乗故亷积用再乗为减一等】又以四为亷数【三乗方故用四为亷数为加一数】亷数乗亷积得【二五六○○○】为法以除次商实得九为次商【得数可进一十因欲存第二亷以下亷隅积数不得满除只商作九数待酌】遂合初商次商共四十九依法自乗得【二四○一】又以【二四○一】自乗得【五七六四八○一】以较原实相同减尽即定四十九为三乗方根

厯算全书卷五十九