<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷五十八
宣城梅文鼎撰
防何补编卷四
方灯
凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切于八三角面之心
如图
灯体者立方去其八角也平
分立方面之边为防而联为
斜线则各正方面内成斜线
正方依此斜线斜剖而去其
角则成灯体矣此体有正方
面六三角面八而边线等故
亦为有法之体
凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角各切于六方面之心
凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等面在立圆内可以各角切立圆之防同防于灯体之六方面而成一防
凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆内仍能切灯体余不能也按圆灯在立圆内亦能切灯体与八等面同
凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内
灯体之边设一百其幂一万○倍之二万开方得一百四十一【四二一三】为灯之高及其腰广【边如方面高广如斜故倍幂求之】以高一百四十一【四二一三】乘方斜之面幂二万得二百八十二万八千四百二十六为方斜之立方积
立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为灯积
灯积为立方六之五
以灯积减立积余四十七万一千四百○五为内容八等面积此八等面在立积内亦在灯积内皆同腰广同高 其积之比例为立积六之一为灯积五之一此相容比例
八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即为八等面与灯积同边之比例也
灯形内容立方其边为灯体高广三之二 设灯体边一百其高广一百四十一【四二一三】则内容立方边九十四【二八○八】立方积八十三万八千○五十一
灯高广自乘之幂二万如左图甲乙方去其左右各六之一余三之二如丙丁矩又去其两端六之一余三之
二如戊正方丙丁矩一万三千
三百三十三【三三】戊正方八千
八百八十八【八八】为内容正方
之一面幂其根九十四【二八○八】以根乘面得八十三万八千
○五十一
凡等边平三角之心依边剖
之皆近大边三之一灯内容
立方之八角皆切于平三角
之心灯改立方则所去者皆
四围斜面三之一于前形爲六之一四围皆六之一合之爲三之一而所存必三之二矣
凡立方体各自其边之中半斜剖之得三角锥八此八者合之卽同八等面体
依前算八等面体其边如方其中高如方之斜若以斜径爲立方则中含八等面体而其体积之比例爲六与一
何以言之如己心辛爲八等
面之中高庚心戊爲八等面
之腰广己庚己戊戊辛辛庚
则八等面之边也若以庚心
戊腰广自乗爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之爲甲乙丙丁立方【立方一面之形与平面等】则八等面之角俱正切于立方各面之正中而爲立方内容八等面体矣夫己心辛庚心戊皆八等面【己庚等面】爲方之斜也故曰以其斜径爲立方则中含八等面体也
又用前图甲乙丙丁爲立方之上下平面从己庚庚辛辛戊戊己四线剖至底则所存爲立方之半而其所剖
三角柱体四合之亦爲立方之
半也
此方柱也其高之度如其方之斜
立方之四隅各去一立三角
柱则成此体 其积爲立方
之半爲八等面之三倍其中
仍容一八等面体
八等面体在方柱体内
柱形从对角斜线【如己辛戊庚】剖
至底又从对边十字线【如丑尾卯
箕】剖至底又从腰线【角申亢】横
截则剖为三角柱一十六【即皆
如心辛申未丑之体】
三角柱眠视之则堑堵也
堑堵从一尖【即心尖】斜剖至对
底【未申】则鼈臑也鼈臑居堑堵
三之一
堑堵立则为三角柱鼈臑立
则为三角锥
八等面体从尖心剖至对角
亦剖至对边而皆至底【子】又
从腰【角申亢】横剖之则成三角
锥十六
夫方柱为堑堵十六而八等
面为鼈臑亦十六则堑堵鼈
臑之比例即方柱八等面之
比例矣鼈臑为堑堵三之一
则八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既为方柱三之一不得不为立方六之一矣
立方内容灯体
甲庚立方体六面各平分其
边【如壬丑癸卯及子未酉午辰诸防】而斜剖
其八角【如从丑癸剖至子从从癸卯剖至酉从酉
剖至午未则立方去其八角】成灯体
灯体立方六之五
何以知之立方所去之八角
合之即成八等面八等面既
为立方六之一则所存灯体
不得不为立方六之五矣
凡立方内容灯体皆以灯之边线为立方之半斜立方内之灯体又容八等面则以内八等面之边线为立方之半斜与立方竟容八等面无异推此灯内容八等面其边线必等其中径亦等
剖立方之角成此
以剖处为底则三边等以立
方之角丁为顶成三角扁锥
扁锥立起则成偏顶锥为八
等面分体
凡八等面容灯体皆以灯体
之边线得八等面之半八等
面内之灯体又容立方则亦
方斜比例与八等面竟容立
方无异也
甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁
乙皆八等面之一己子卯等
小三角在甲丁丙等大三角
面内即灯体之八斜面正切
于八等面者也其中央心防
即内容立方角所切
等径之比例
立方径一 其边一 其积一 一○○○○○○内容灯径一 其边○七 其积六之五○八三三三○○内容八等面径一 其边○七 其积六之一○一六六六○○凡立方内容灯体灯内又容立圆圆内又容八等面其切于立方之面之中央凡六处皆同一防若立圆内容灯体灯内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺不能同在一防
凡灯体皆可依楞横剖如方灯横剖成六等边面故其外切立圆之半径与边等 如圆灯横剖成十等边面故其外切立圆之半径与其边若理分中末之全分与其大分
凡诸体改为灯皆半其边作斜线剖之
凡灯体可补为诸体皆依其同类之面之边引之而防于不同类之面之中央成不同类之锥体乃虚锥也虚者盈之即成原体所以化异类为同体也
如方灯依四等边引之补其八隅成八尖即成立方若依三等边引之补其六隅成六尖即成八等面如圆灯依五等边引之补其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等边引之补其十二隅成十二尖即成二十等面
増异类之面成锥则改为同类之面而异类之面隐此化异为同之道也
凡灯体之尖皆以两线交加而成故棱之数皆倍于尖【方灯十二尖二十四棱圆灯三十尖六十棱】
凡灯体之棱【即边】皆可以联为等边平面圏 如方灯二十四棱联之则成四圏每圏皆六等边如六十度分圆线 圆灯六十楞联之则成六圏每圏皆十等边如三十六度分圆线 此外惟八等边联之成三圏每圏四楞成四等面而十二棱成六尖有三棱八觚之正法其余四等面十二等面二十等面皆不能以边正相联为圏
灯体亦有二
其一为立方及八等面所变其体有正方之面六三角之面八有边棱二十四而皆同长棱尖凡十有二其一为十二等面二十等面所变其体有五等边之面十二有三角等边之面二十有边楞六十而皆同长棱尖凡三十
立方及八等面所变是刓方就圆终方势谓之方灯十二等面及二十等面所变是削圆就方终带圆体谓之圆灯方灯为立方及八等面所变其状并同而比例同
甲乙立方体丙丁戊己庚辛
壬癸子皆其边折半处各于
折半防联为斜线【如丙戊丙己等】依
此灯体斜线剖而去其角则
成灯形矣
灯形之丁辛高丙丁濶皆与立方同径 其边得立方之半斜【假如立方边丁辛一百则灯体边丁壬七十有竒】其积得立方六之五【假如立方边一百其积百万则灯体边七十有竒其积八十三万三千三百三十三三三】此为立方内容灯体之比例也若灯与立方同边必反小于灯【假如灯体边亦一百则其积二百三十五万七千○二十一而立方一百之积只一百万是反小于灯也】解曰灯体边一百【如前图之丁壬】其外切立方必径一百四十一【四二一三如前图之丁辛】其自乘之幂二万以径乘幂得二百八十二万八四二六为立方积再五因六除得灯积二百三十五万七千○二十一
又法以灯边自乘倍之开方得根仍以根乘倍幂再五因六除
见积亦同
甲乙为八等面体 甲乙丙
丁戊皆其边棱所辏之尖
甲丙丁面三边皆等其三边
折半于辛于庚于己
甲丁戊面其边折半于辛于
壬于癸乙丙丁面其边折半
于寅于己于丑乙丁戊面其
边折半于丑于癸于子各以折半防联为斜线则各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等边面其边皆半于原边如庚辛得丁丙之半余三边同
各自其小三角之面之边剖之而去其锥角则成灯形矣
如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角【以丁角为尖辛巳丑癸为底成扁方锥甲丙乙戊尖并同】则所剖处成辛巳丑癸平方面【去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己寅锥成庚酉寅己面并同一法余可类推】
八等面体有六角皆依法剖之成平方面六而剖之后各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角者正同
灯形之高濶皆得八等面之半
如辛丑高得甲乙之半
己癸濶得丙戊之半
其边亦为八等面原边之半
其积得八等面八之五
何以知之曰同类之体积以
其边上立方积为比例故边
得二之一其积必八之一也
今所剖去之各尖俱以平
方为底而成方锥两方锥合
为一八等面体皆等面等边
与原体为同类而其边正得
原边二之一则其积为八之
一也 原体六尖各有所成之锥体皆相等合之成同类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去之数则所存灯体得八之五也
如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八等面体一 丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体一 通共剖去同类之形三
假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二十七五 以八等面积五因八归之见积
或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同
右法乃八等面内容灯体比例也
若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五倍得之 此法则灯体与八等面同为立方所容之比例亦即为灯内容八等面之比例
准此而知灯内容八等面八等面又容灯则内灯体为外灯体八之一
灯体内容八等面 五之一 【用畸零乘法化大分为小分以八等面母数八乘五之一】八等面内容灯体 八之五 【得八乘母数五得四十】
外灯体四十 八等面体八 内灯体五 合之为内体得外体四十之五约为八之一
又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一 其体之比例既同则其所容之比例亦同也立方内容灯体灯内又容立方则内立方边得外立方边三之二内立方积得外立方积二十七之八
以三之二自乘再乘为三加之比例也
六 之 五 一百三十五
二十七之八 四十八
准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四十八 若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也求方灯所去锥体
三角锥棱皆五十即原边之
半【甲乙甲丙甲丁】 底之边皆七十
○【七一○七】即灯体之边【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】
求甲戊斜垂线
法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊丁等皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十
求丙戊中长线
以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一【二三七二】为丙丁乙等边三角形中长线
求甲己中高线
法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一为己戊幂【四百一十六六六六六】与甲戊幂【即丁戊幂】相减余【八百三十三三三三三】为甲己中高幂开方得甲己中高二十八【八六七五】
又以己戊幂开方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】为乙丙丁三等边幂
又以中高甲己【二十八八六七五】乘之得数三除之得三角锥积二万○八百二十三【六六三五】又八乘之得一十六万六千五百八十七【三○】为所去八三角锥共积即立方一百万六之一与前所推合【本该一十六万六千六百六十六六六不尽因积算尾数有欠然不过万分之一耳】
圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦别
公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体之面 依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与先所成之小平面不同类然其边则同
如图
十二等面每面五边等今自
其各边之半联为斜线则成
小平面于内亦五等边为同
类
依此斜线剖之而去其角所
去者皆成三角锥锥体既去
即成三等面为异类
原有十二面故所存小平面
同类者亦有十二
原有二十尖故所剖锥体而
成异类之面者亦二十
求灯体边
法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半之即为内容灯体之边
一率 理分中末之大分 六十一【八○三三九八】二率 理分中末全分之半 五十○
三率 十二等面之边 一百○○
四率 内容灯体之边 八十○【九○一七】
灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与灯边亦必若大分与全分之半矣
总乘较为实戊丙底为法法
除实得丙辛以丙辛减戊丙
得戊辛折半为戊己
法当以所得戊己自乘为句
幂用减甲戊幂余为甲己幂
开方得一十七【八四一一】为中高
今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂
九之一为戊己幂【戊己为戊内三之一
故其幂为九之一】得五百四十五【四二
三七】
或径用戊丁幂三之一亦同
又捷法不求甲戊斜垂线但以戊丁幂三分加一以减甲丁【即甲丙或甲乙】幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法省数倍之力
戊丁幂 一千六百三十六【二七一二】
三之一 五百四十五【四二三七】
并得 二千一百八十七【六九四九】
甲丁【即甲丙幂】二千五百○○
相减余【甲乙幂】 三百一十八【三○五一】 与前所得同解曰原以戊丁幂减甲丁幂得甲戊幂复以戊丁幂三之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲丁幂即径得甲己幂其理正同
前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底濶等者当以为式
订定三角锥法【圆灯所去】
用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂
甲丁【甲乙甲丙】皆设五十
丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其
半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】为底之垂线
甲己一十七【八四一一】为中高
丙乙丁底幂二千八百三十四
【一○三八】
法以半边【戊丁】乘中长【丙戊】得底幂【丙乙丁】 以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱积五万○五百六十三【五二九三】 三除之得锥积一万六千八百五十四【五○九七】 又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○【一九四○】十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五 内容灯体边八十○【九○一七】
依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可以推知二十等面所变之灯体
二十等面边设一百则灯体之边五十
捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五十之灯积
一 灯体边八十○【九○一七】之立方五十二万九千○百○八【五】二 灯体积七百三十四万五千一百二十五
三 灯体边五十之立方一十二万五千
四 灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八圆灯
边设三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圆半径五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圆全径一百【即外切立方】体积四十○万三千三百四十九
内有三角锥计二十共计一十二万
八千七百五十二
五棱锥计十二共积二十七万四千
五百九十六
丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一 乙丁丙三等边面巳为平面心 中为体心 中巳为分体之中高戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱 戊中为斜垂线
乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一 乙丁癸壬辛五等边面庚为平面心 中庚为分体中高 其戊丁半边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线何以知两种锥形得同诸线乎曰乙戊丁边两种分体所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不得不同观上图自明
先算三角锥【共二十】
半边一十五【四五○八五】戊丁幂二百三十八【七二八七】
平面容圆半径【即戊巳】○八【九一○五】其幂七十九【五七六二用捷法取戊丁幂以三除得之】
平面积【乙丙丁面】四百一十三【四八七九】
中高【即己中】四十六【七○七五本法以戊丁幂减丁中幂为戊中幂又以戊丁幂三之一当戊己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加三之一减丁中幂为己中是捷法也】
三角锥积六千四百三十七【六六二○】
二十锥共积一十二万八千七百五十三【三四】
次算五棱锥【共十二】
半边一十五【四五○八五戊丁】
半周七十七【二五四二五用半边五因得之】
平面容圆半径二十一【二六六三戊庚】
五等边平积一千六百四十二【九一二○】
中高四十一【七八五三庚中】
五棱锥积二万一千九百六十二【六六】
十二锥共积二十七万四千五百九十六
求戊庚半径
一率 三十六度切线 ○七二六五四
二率 全数 一○○○○○
三率 半边戊丁 一十五【四五八五】
四率 平面容圆半径【戊庚】二十一【二六六二】
戊丁句幂二百三十八【七二八七】丁中幂二千五百○○
戊中股幂二千二百六十一【二七一三】
戊庚句幂四百五十二【二五五五】戊中幂二千二百六十一【二七一三】庚中股幂一千八百○九【○一五八】
戊丁半边幂四因之为全边三十○【九○一七】之幂
一 灯体边五十之立方一十二万五千
二 灯体边五十之体积一百七十三万三千九百四
十八
三 灯体边三十○【九○一七】之立方二万九千五百○八
【四九八七】
四 灯体边三十○【九○一七】之体积四十○万九千三百二十九与细推者只差五千九百八十为八十分之一
柱积六万八千六百四十九
锥积二万二千八百八十三
十二锥共积二十七万四千五百九十六
孔林宗附记
方灯可名为二十四等边体 圆灯可名为六十等边体
四等面体又可变为十八等边体为六边之面四为三边之面四凡十二角
又可变为二十四等面体面皆三边凸边二十四凹边十二十字之交六凡八角如蒺藜形
六等面体又可变三十六等边体为八边之面六为三边之面八凡二十四角
八等面体亦可变三十六等边体为六边之面八为四边之面六凡二十四角
又可变四十八等边体为四边之面十八为三边之面八凡二十四角
大圆容小圆法 平浑
甲大圆内容乙戊丙三小圆
法以小圆径【如乙戊戊丙】为边作
等边三角形而求其心如丁
乃于丁戊【三角形自心至角线】加戊甲
【小图半径】为大圆半径【丁甲】
凡平圆内容三平圆四平圆五平圆六平圆皆以小圆自相扶立 若平圆内容七平圆以上皆中有稍大圆夹之
甲大浑圆内容丙戊乙己四
小浑圆法以小浑圆径【如乙戊戊
巳等】为边作四等面体而求其
体心如丁 次求体心至角
线【如丁戊丁己丁乙丁丙又为外切立圆半径】加小浑圆半径【即戊甲】为大圆半径【如丁甲】
凡浑圆内容四浑圆或容六浑圆或容八浑圆十二浑圆皆直以小浑圆自相扶 若浑圆内二十浑圆则中多余空必内有稍大浑圆夹之
甲大平圆内容乙戊丙己四
小平圆法以小圆径【如乙戊等】为
边作平方【如乙戊丙己方】而求其斜
【如丁乙即方心至小圆心线】加小圆半径
【如乙甲】为大圆半径【如丁甲】
若先有大圆【甲】而求所容小圆则以三率之比例求之一率 方斜并数 二四一四
二率 方根 一○○
三率 所设之浑圆半径 丁甲
四率 所容之小圆半径 乙甲
推此而知五等边形于其锐角为心半其边为界作小圆而以五等边之心至角如半边以为半径而作大圆则大圆容五小圆俱如上法
若六等边于其鋭作小圆仍可于其心作圆共七小圆何也六等面之边与半径等也其法只以小圆径【即六等边】
二分加一为大圆半径
甲大浑圆内容乙丙等六小
浑圆
法以小浑圆之径为边作八
等面虚体如乙己丙辛戊皆
小立圆之心联为线则成八
觚 乃求八等面心【丁】至角
之度【如丁乙等】加小圆半径【如甲乙】为大浑圆半径【如甲丁】
捷法以小浑圆径为方【即乙己丙
辛平方】求其斜【如丁乙】加小圆半
径【如甲乙】为大圆半径或以小浑圆径自乘而倍之开方得根加小圆半径为大圆半径亦同
或先得大圆而求小圆径则用比例
一率 方斜并 二四一四
二率 方根 一○○
三率 所设大浑圆之径
四率 内容六小浑圆之径
甲浑圆内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圆
法以小立圆径【如乙丙等】作二十
等面虚体之棱【如乙丙等俱小圆之心联
为线则成二十等面之棱】次求体心【丁】至
角【即小圆心】之线【如乙丁】加小圆半
径【如甲乙】为大圆半径【如甲丁】按体心至角线即二十等面
外切圆半径
二十等面之例边一百【即小浑圆
例径】
外切浑圆例径二百八十八
【一三五五】
二十等面边一百者其外切浑圆径一百八十八奇又加小浑例径得此数
若先有大浑圆而求所容之十二小浑圆则以二率爲一率四率爲三率
一 外切浑圆之例径二百八十八【一三五五】
二 二十等面之例边一百【卽小浑圆例径】
三 设浑圆之全径一百
四 内容十二小浑圆之径三十八【六九 其比例如全四八 分与小分】甲庚大平圆内容七小圆
法以甲庚圆径取三之一【如丁
乙庚辛等】爲小圆径若容八圆以
上则其数变矣假如以七小圆
均布于大圆周之内而切于
边则中心一小圆必大于七
小圆而后能相切【以上仿此】
甲大浑圆内容八小立圆
法以小圆径作立方【如乙庚方】求
其立方心至角数【即外切浑圆半径如
乙丁】再加小圆半径【如甲乙】为大
浑圆半径【如甲丁】
按八小员半径十【甲乙】则其全径二十内斜线【乙丁】十七加【甲乙】共二十七内减小圆径二十余七倍之得十四是比小圆半径为小其比例为十之七安得复容一稍大小圆在内乎
又二十等面有十二尖可作十二小圆以居大浑圆之内而为所容
又八等面有六尖可作六小圆为大浑圆所容 四等面有四尖可作四小圆
又方灯亦有十二尖可作十二小圆为大浑圆所容其中容空处仍容一小圆为十三小圆皆等径也
十二等面有二十尖用为小浑圆之心可作二十小立圆以切大浑圆内有稍大浑圆夹之
圆灯尖三十可作三十小球亦皆以内稍大浑圆夹之公法皆以心至尖为小浑圆心距体心之度皆以小浑圆径为所作虚体边
如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体虚体之各边皆如小浑圆径也虚体之各尖距心皆等此距心度以小浑圆半径加之为外切之大浑圆半径以小浑圆半径减之为内夹稍大浑圆半径
浑圆内容各种有法之体以查曲线弧面之细分公法凡有法之体在浑圆体内其各尖必皆切于浑圆之面
凡浑圆面与内容有法体之尖相切成防皆可以八线知其弧度所当
内惟八等面皆以弧线十字相交为正角余皆鋭角其十二等面则钝角
十二等面每面五边等析之从每面之角至心成平三
角形五则辏心之角
皆七十二度半之三
十六度即甲心乙角
其余心乙甲角必五
十四度倍之为甲乙
丁角则百○八度故
为钝角
凡浑圆面切防依内切各面之界联为曲线以得所分浑体之弧面皆如其内切体等面之数之形
如四等面则其分为弧面者亦四而皆为三角弧面十二等面则亦分弧面为十二而皆成五边弧形八等面则弧面亦分为八二十等面弧面亦分二十而皆为三角弧形内惟六等面为立方体所分弧面共六皆为四边弧形
凡浑圆面上以内切两防联为线皆可以八线知其几何长
其法以各体心到角之线命为浑圆半径以此半径求其周作圈线即为圆浑体过极大圈以八线求两防所当之度即知两防间曲线之长
凡浑圆面以曲线为界分为若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂积
假如四等面外切浑圆依切防聨为曲线分浑圆面为四则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面等幂何也浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍今以浑幂分为四即与浑圆中剖之平圆等幂矣
推此而知六等面分外切浑圆幂为六即各得中剖平圆三之二
八等面分浑圆幂为八即各得中剖平圆之半幂十二等面分浑圆幂为十二即各得中剖平圆三之一二十等面分浑圆幂为二十即各得中剖平圆五之一凡依等面切浑所剖之圆幂又细剖之皆可以知其分幂
假如四等面所分为浑圆幂
四之一而作三角弧面若中
分其边而防于中心则一又
剖为三为浑圆幂十二之一
与十二等面所分正等但十
二等面所剖为三边弧线等此所分为四边弧线形如方胜而边不等若自各角中防于心成三边形其幂亦不等也
再剖则一剖为六为浑圆面幂二十四之一【皆得十二等面所剖之半而边不等】若但一剖为二则得浑圆幂八之一与八等面所剖正等但八等面三边等又三皆直角此则边不等又非直角
假如八等面所剖为浑幂八
之一若一剖为二则十六之
一剖为四则三十二之一可
以剖为六十四至四千九十
六 若以三剖则浑幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再细剖之可以剖为九十是依度剖也可以剖为五千四百则依分剖也再以秒防剖之可至无穷
惟八等面可以细细剖之者以腰围为底而两防于极其形皆相似故剖之可以不穷
又以此知曲面之容倍于平面何也八等面所剖之浑体腰围即平圆周也以平圆周之九十度为底两端皆
以平径为两以防于平圆
之心则其幂为平圆四之一
若浑体四面以腰围九十度
为底两端各以曲线为两
以防于浑圆之极则其幂为
平圆二之一矣
假如六等面【即立方】在浑圆内
剖浑幂为六得浑幂六之一
若一剖为二则与十二等面
所剖等剖为四则二十四之
一再剖则一为八而得四十
八之一
假如十二等面剖浑幂为十
二各得浑幂十二之一若剖
一为五则得六十之一再剖
一为十则得百二十之一而
与八等面所剖为十五之一
假如二十等面剖浑幂为二十各得浑幂二十之一若一剖二则四十之一若一剖三则六十之一若一剖六则百二十之一皆与十二等面所剖之幂等而边不必等也
凡球上所剖诸幂以为底直剖至球之中心成锥形即分球体为若干分
如四等面之幂得球幂四之一依其边直剖至球心成三角锥其锥积亦为球体四之一推之尽然
防何补编【补遗】
平三角六边形之比例
平三角等边形
甲丁丙三边等形其边【丁甲】折半
【丁乙】自乘而三之即为对角中
长线幂开方得中长线丙乙
既得中长线丙乙以乘丁
乙半边即等边三角形积 若以丙乙幂丁乙幂相乘得数平方开之得三等边形之幂积
防法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘开方得根即三等边幂积 或用原边丁甲自乘得数乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等边积亦同
论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必得积之幂矣故开方得积
法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两次为实平方为法开之得三等边形幂积
解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘也 又法以原边与半边幂相减相乘开方见积平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之幂若三与十六【理同前条】
解曰甲戊庚丁为平方形丁
丙甲为等边三角形其边同
为甲丁题言丁甲线上所作
三等边形与所作正方形其积之比例若平积三与十六之平方根也【即一七竒与四○】
防法于分面线上取三点为等边三角形积其十六点即正方积 若以边问积则以边之方幂数于分面线之十六点为句置尺取三点之句即得三等边积其设数得数并于平分线取之【此用比例尺算】
又法作癸卯辰半员辰癸为径于径上匀分十七分而尽一端取其四分如丑癸【丑癸为辰癸十七分之四则丑子为辰子十六分之三】
折半于丁以丁为心丁癸为
半径作癸壬丑小半员又以
丁癸折半于子作卯子直线
【与辰癸径为十字埀线】割小员于壬则
壬子与卯子之比例即三等
边幂与正方幂积比例
用法有三等边形求积法以甲丁边上方形【即庚甲】积作卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边积
防法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股而求其是为并方法也其一用半员取中比例此所用者中比例也【详比例规觧】
附三等边求容圆
法曰以原边之幂十二除之为实平方开之得容圆半径
解曰原边幂十二之一即半边三之一也
附三等边形求外切圆
法曰以原边之幂三除之为实平方开之得外切圆半径 一法倍容圆半径即外切圆半径
新増求六等边法
法曰六等边形者三等边之六倍也【以同边者言】 用前法得三等边积六因之即六等边积
依前法边上方幂与三等边形幂若四○与一七竒因显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二竒【亦若一○○与二五五】
今有六等边形问积 法以六等边形之一边自乘得数再以二五五乘之降两位见积
解曰置四○与一○二各以四除之则为一○○与二五五之比例也
若问员内容六等边形者即用员半径上方幂为实以二五五为法乘之得数降二位见积亦同【降二位者一○○除也】依显平员积与其内容六等边形积之比例若三一
四与二五五
论曰六等边形之边与外切员形之半径同大故以半
径代边其比例等【半径上方与六等边
形亦若一与二五五】然则员全径上方
形与内容六等边形必若四
○○与二五五【全径上方原为半径上方】
【之四倍】而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二五五矣【员径上方与员幂原若四○○与三一四故也】
用尺算 用平分线 求同根之幂
平方幂 四○○ 八十○ 【皆倍而退位之数】平员幂 三一四 约爲六十三弱【实六二八】
六等边幂 二五五 五十一
三等边幂 一七○ 三十四
右皆方内容员员内又容六角之比例其六等边与员同径乃对角之径也于六等边之边则爲倍数三等边则只用边
若六等边形亦卽用边与平方平员之全径相比则如后法
平方 四○○ 平方 一○○○○平员 三一四 平员 七八五四六角 一○二○ 六角 二五五○○三角 一七○ 三角 四二五○论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则爲平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○○○○之比例也
量体细法
四等面体求积
法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之又置边幂二十四除之得数以乘副平方开之即四等面积也
又法置半边幂三除之得数以乗半边幂得数副寘之又以六为法除半边幂得数为实平方开之即四等面积四分之一也【即三角扁锥】
算二十等面
二十等面之棱线甲丁设一百七十八【原设一百一十因欲使外切立方与十二等面同故改此数】 心乙一百四十四【即原切十等边之半径又为外切立方之半径】 外切立方径二百八十八
求中心为分体之高 法先
求乙中【乃各棱折半处至三角面中央一点之距】依防何补编半甲丁得八
十九为甲乙自乘【七千九百二十一】取三之一【得二千六百四十又三之一】为
乙中句幂又以心乙【一四四】自乘【二○七三六】为幂相减余【一万八千○九十五又三之二】为股幂开方得心中一百三十四半强为分体鋭尖之高倍之得二百七十九半弱为内容立员径
求甲心为分体斜棱 法以甲乙为句其幂【七九二一】以乙心为股其幂【二○七三六】并之【二八六五七】为幂开方得甲心一百六十九二为分体自角至鋭之斜棱 倍之三百三十八半弱为外切浑员之径
或取理分中末线之大分【如心乙】为股小分【如甲乙或丁乙】为句取其【甲心或丁心】为二十等面自角至心之楞线合
之成甲心丁形即二十等面分形之
斜立面也甲丁则原形之楞也
如【甲心丁】之面三皆以心角为宗以甲
心等合之【三面皆有此】则甲丁等底【三底
并同甲丁】以尖相遇而成三等边之面即
二十等面之一面也以此为底则成
三角尖锥矣 尖锥之立三角面皆等皆稍小于底解曰乙戊与甲乙等而甲心与戊心【即乙心】不等如与股【乙戊即十等边之一边乃二十等面横切之面之边】今欲求心中正立线中即
二十等面一面之中自此至
心成心中线则其正高也
法先求甲中为句取其幂以
减甲心幂即心中股幂开
方得心中
简法取乙甲【即原楞之半又即小分】自幂三之一以减乙心【即大分又即原楞均半处至形心即斜立面中线】之幂即心中幂
又解曰原以甲乙半楞【又即二十等面中剖所成之楞即十等边之一边故为小分】为句【在形内为小分乃乙戊也今形外之甲乙与甲乙同大故亦为小分】乙心【即二十等面中切成十等边自角至心之故为大分又即为二十尖锥各立面三角形之中长线】为股则甲心为【自各角至体心之线】而甲心幂内有乙心股甲乙句两幂今求心中之高则又以甲中为句自各角至各面心也而仍以甲心为幂内减甲中句幂则其余心中股幂也 依防何补编甲乙幂三分加一为甲中幂故但于乙心幂内减去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心为则中乙为句而心中为股依补编中乙幂为甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一为句幂以减心乙幂即得心中股幂开方得心中此法尤防
作法 以二十等面之楞【如甲丁】折半【如甲乙或丁乙亦即甲戊】为理分中末之小分求其大分【如乙心即二十等面各楞线当中一点至心之线亦即外切立方之半径】 再以大分为股【乙心】小分为句【甲乙亦即甲戊亦即戊乙】取其【甲心即二十等面自各角至心之线谓之角半径亦即切员半径】 再以原楞【甲丁】为底切员半径为两【甲心及丁心】成两等边之三角形即二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之一面三面尽如是则成三角立锥矣 如是作立锥形二十聚之成二十等面体
立锥体之中高线【心中】以乘三体面之幂而三除之得各锥积二十乘锥积得立积 其中高线【心中】即内容立员之半径
立方内容二十等面体其根之比例若全分与大分立方内容十二等面体其根之比例若全分与小分二十等面体之分体并三楞锥以元体之面为底原体之楞【甲丁】折半【甲乙】为小分为句取其大分【心乙】为股句股求得自角至心为外切员之半径【心甲】
假如【甲丁】原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘【三千○二十五】为句幂其大分乙心【即外切立方半径】八十九自乘【七千
九百二十一】为股幂并二幂【一万○九
百四十六】平方开之得【一○四又六二
不尽约为一○四半强】为角至体心之
线【心甲】即外切立员之半径
算二十等面之楞于浑天度
得防何分
法以心甲为浑天半径甲乙
为正法为心甲与甲乙若
半径与甲心乙角之正查正表得度倍之为丁甲通所当之度
算十二等面
五等边面为十二等面之一 面有五边在体之面则为五楞锥其一楞设一百一十【甲丙】半之五十五【乙丙】以甲丙为小分求其大分得一百七十八丙戊也【即丙丁壬丁壬戊丁角为丙中甲角之半与平圆十等边之一面等】半之八十九已丙也【即乙辛以丙巳乙为两腰等形辛巳乙亦两腰等形故辛乙与巳丙等丙巳乙形与元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙为小分乙巳或辛乙为大分】为内作小五等边之一边【乙辛】亦即十二等面从腰围平切之十等边面也
又以乙辛为小分求得大分一百四十四心乙也【分图辛心乙形即前图辛心乙形乙辛为心壬之小分心乙为大分乙心线即五等面一边折半处至体心之距丙防即五等面边两楞相凑之角 乙丙辛虚线形即前图乙丙辛形】为甲丙半楞【乙丙】之全分何则前图之丙巳乙形乙丙为小分丙巳为大分试于辛乙心形内【分图】作庚辛乙形与丙巳乙形等【庚乙即乙丙五等面一边之半乙辛庚辛即丙巳乙巳为小五边形之一边】则乙庚为小分乙辛为大分【心庚同】今又以乙辛为小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也【乙癸同】夫心乙乃庚乙【小分】辛乙【大分即心庚】之并则乙心为庚乙之全分矣其比例心乙与心庚若心庚与庚乙而乙心即外切立圆半径也
右法杨作枚补
今求心中线为五等边最中一防【中】至体心【心】之距亦即内容浑员半径
先求乙中线为五等边各楞折半处至最中之距 法为甲乙比乙中若半径与五十四度之切线
一 半径 一○○○○○
二 乙甲中角【五十四度】切线一三七六三八
三 半楞甲乙 五十五
四 中乙 七十五【七○】
用句股法以心乙【一百四十四】为中乙【七十五七】为句句各自乘相减得心中股幂平方开之得中高线【心中为容员半径】求得容员半径一百二十二半弱【心中】
又求甲心线为各角至体心之距【即外切浑员半径】 用句股法以甲乙【五五】为句心乙【一四四】为股并句股幂求甲心
求得外切圆半径一百五十四强【甲心】
十二等面根一一○【甲丙】
外切立员半径一四四【心乙】全径二八八○
内容浑员半径一二二半【心中】全径二四五【弱】
外切浑员半径一五四【甲心】全径三○八【强】
十二等面之分体并五楞锥并以五等边面为底原体之楞甲丙设一百一十半之乙甲五十五为小分求其全分乙心一百四十四【即外切立方半径】乙甲【五十五】自乘【三千○二十五】为句幂心乙【一百四十四】自乘【二万○七百三十六】为股幂并之得【二万三千七百六十一】平方开之得【一百五十四强】为自角至心之线甲心即外切员半径
作法 以五等面之一边为
底楞【甲丙】以外切员半径【角至心之】
【线】为两之楞【甲心及丙心】而防于心五边悉同则为十二分体之一如是十二枚则成十二等面体
变体数
求浑圆积
设浑圆径一○○○自乘得一○○○○○○又十一【古法】乘之得一一○○○○○○为实十四除之得○七八五七一四为平圆面幂或用旧径七围念二之比例亦得圆面七八五七一四以四因之得浑圆之幂三一四二八五六
置浑圆之幂以半径五○○因之得一五七一四二八○○○是为以浑圆面幂为底半径为高之圆柱形积置圆柱形积以三为法除之得五二三八○九三三三是为以浑圆面幂为底半径为高之圆角形积亦即浑圆之积
浑圆根一○○○体积五二三八○九三三三用为公积
立方
置公积即浑圆积【五二三八○九三三三】立方开之得立方根八○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方
方锥
置公积【五二三八○九三三三】以三因之得数立方开之得高濶相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑圆等积之方锥
方
锥
圆柱
置公积【同上】十四因之十一除之为实立方开之得高濶相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之积之圆柱
【圆柱】
圆锥
置公积【同前】以三因之【变圆锥形积为圆柱积】再以十四因之十一除之为实【变圆柱积为立方积】立方开之得高濶相等之圆锥形根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥 或置积以四十二因之十一除之立方开之亦同
【圆锥】
按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形其余三形皆比例规解及测量全义之所未备今以法求之则皆长濶相等而不为浑圆立方者耳夫不为浑图立方而仍可以法求者以其长濶相等则仍为有法之形也然而与今西书所载合者二不合者一意者其传之有误耶或其所用非径七围二十二之率耶俟攷
浑圆以径求积
置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之见积
解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一 径自乗则为平方形以十一乗十四除则平方变为平圆矣以平圆为防半径乗之成圆柱形再以三归之成圆角形【即圆锥】浑圆面幂为防半径为髙之角形四倍大于此圆角形故又四因之即成浑积也
防法 径自乗以乗半径乃以四十四因四十二除见积 或径上立方形二十二因四十二除或用半数十一因二十二除见积并同
浑圆以积求径
置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方开之得圆径
解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为髙全径之平圆为防今以十四乗十一除则变为全径之平方为防半径为髙矣故加一倍即成全径之立方
防法 积倍之以四十二因四十四除立方开之得圆径 或用本积以八十四乗四十四除立方开之 或用半数以四十二乘二十二除立方开之 或又折半以二十一乗乗十一除立方开之得积并同
按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似尚有盈朒然所差在防忽之间而已吾及锡山杨昆生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小于径七围二十二之率则其所得圆积亦必小于古率矣
杨法立圆径一○○○○积五二三八○九二五六四孔法立圆径一○○○○积五二三五九八七七五
约法
立方与立圆之比例若二十一与十一 平圆与外方若十一与十四 平圆与内方若十一与七
圆内容方之余【即四小弧矢形】若七与四圆外余方【即四角减弧矢】若十一与三准此则余圆【即小弧矢】与余方若四与三而小弧矢与其所减之余方角若一与七五亦若四与三也
厯算全书卷五十八