钦定四库全书
勾股引蒙卷四
海宁 陈訏 撰
三角法
八线全图
【周天三百六十度两分之为半
周四分之为一象限 每一象
限各九十度又名弧度 六】
凡正方角【乙】即直角即象限之角其所对弧必九十度
凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】
凡过一象限多於九十度者为钝角
凡言角以中一字为所指之角【如甲乙癸】
凡求某角者求其角之对弧度与分
凡求某角即本角之弧矢弦割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无增减常为十万弧中旋转可如弦如句
凡正角以半径全数为正弦
凡钝角以外角之正余弦为正余弦
直角【即正方角一名勾股形】
有角有边求余角余边【直角之一】
假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁弦【九十一丈八尺】求余角余边
先求癸丁边
术曰以半径全数比丁角之余
弦若壬丁弦与癸丁句
一率【原设弦】半径 一○○○○○ 为法二率【原设句】丁角【五十七度】余弦 五四四六四 【相乘】三率【今有弦】壬丁边 九十一丈八尺 【为实】四率【今所求句】癸丁边 五十丈 【法除实得所求】右三率法後同 半径即乙丁余弦即甲丁
求壬癸边
以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股
一率【原设弦】半径 一○○○○○
二率【原设股】丁角【五十七度】正弦 ○八三八六七
三率【今有弦】壬丁边 九十一丈八尺
四率【所求股】壬癸边 七十七丈
求壬角
以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角
右例先得弦以求勾股
假如【壬癸丁】勾股形有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边
求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余【二十八度】为壬角 平面弧止容一正方角两鋭角今既有勾股形【癸】则於一象限内减丁角之度其余度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切线为股丙丁半径为
勾戊丁割线为弦是丁
角原有之线 今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等
求壬丁边
以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁弦
一率【原设勾】半径 一○○○○○二率【原设弦】丁角【六十二度】割线 二一三○○五
三率【今有勾】癸丁边 二十四丈
四率【所求弦】壬丁边 五十一丈一尺
求壬癸边
以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股
一率【原设勾】半径 一○○○○○二率【原设股】丁角【六十二度】切线 一八八○七三
三率【今有勾】癸丁边 二十四丈
四率【所求股】壬癸边 四十五丈一尺右例先得勾以求弦及股或先得股以求弦及勾亦同
按半径随弧旋转无有增减故可为弦为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例
有边求角【直角之二】
假如【壬癸丁】勾股形有壬丁弦【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边
求丁角
以丁壬弦比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余弦甲丁
一 壬丁边 一百○二丈二尺
二 癸丁边 ○四十八丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角余弦 四六九六六
以所得余弦检表得六十二度为丁角度
右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余弦为四率者盖若求正弦正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余弦【甲丁】与正割【壬丁】之例然余弦尚未求得又无可为比故以壬丁弦比癸丁句若乙丁弦之半径与甲丁勾之丁角余弦相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数历然可於无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可於无比例中寻出比例矣
求壬角
以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角
求壬癸边
以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股
一 半径 一○○○○○
二 丁角【六十二度】正弦 ○八八二五九
三 壬丁边 一百○二丈二尺
四 壬癸边 ○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是弦与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜弦为比而正弦如股半径旋转如弦可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股边为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法
假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角
求癸角
以壬丁大边与丁癸边相加得【一百
六十二丈】为总又相减得【五十丈】为较以
较乘总得【八千一百丈】为实以壬癸边
【九十丈】为法除之仍得【九十丈】与壬癸
边数等即知癸角为正方角
求丁角
以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线
一 丁癸勾 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角切线 一六○七一四
以所得切线检表得五十八度○六分为丁角
有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线
求壬角
以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角
右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边
鋭角
有两角一边求余角余边【鋭角之一】
假如【乙丙丁】鋭角有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】
求乙角
以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十
度】以减半周一百八十度余七十度
为乙角
右丙角丁角有度而无边乙角有边
而无度先以两角之度除半周而乙
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之线比乙角相对之边若他
角之线与他角之边
求乙丁边
以乙角正弦比丙丁边若丙角正弦与乙丁边一 乙角【七十度】正弦 九三九六九
二 丙丁边【即乙角对边】 一百二十尺
三 丙角【六十度】正弦 八六六○三
四 乙丁边【即丙角对边】 一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同
求乙丙边
以乙角正弦比丙丁边若丁角正弦与乙丙边一 乙角【七十度】正弦 九三九六九
二 丙丁【乙角对边】 一百二十尺
三 丁角【五十度】正弦 七六六○四
四 乙丙【丁角对边】 ○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同
有一角两边求余角余边【鋭角之二】
假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】
求乙角
以甲乙边比甲丙边若丙角正
弦与乙角正弦
一 甲乙边 七千○三十四尺
二 甲丙边 八千尺
三 丙角【六十度】正弦 八六六○三
四 乙角 正弦 九八四九六
检表得八十度○三分为乙角
凡角俱有正弦下垂角小弦亦小角大弦亦大依割线之低昂也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大於丙角故以小边比大边亦若正弦小之比大而可得角也此以小比大也
求甲角
以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角
求乙丙边
以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙边与乙丙边
一 乙角【八十○度三分】正弦 九八四九六二 甲角【三十九度五十七分】正弦 六四二一二
三 甲丙【乙角对边】 八千尺
四 乙丙【甲角对边】 五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正弦从甲下垂故弦长甲角以甲丙为底正弦从乙下垂故弦短今乙丙边小於甲乙甲丙之两边故以最大之边比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正弦为例也
右例有两边一角而角与一边相对
假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中不与边对求甲乙边
先求中长线分为两勾股形
以半径比丙角正弦若甲丙边
与甲丁中长线
【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及
分形之角】
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】正弦 ○八六六○三
三 甲丙边 四百尺
四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
求丙丁边【求中长线专为分边而求】
以半径比丙角余弦若甲丙边与丙丁边
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】余弦 ○五○○○○
三 甲丙边 四百尺
四 丙丁边 二百尺
求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余弦限於正弦而不越於正弦之外与丁丙分边限於中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边
求乙丁边
以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁
求丁甲乙分角
以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线
一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分边 ○六十一尺○八分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角切线 ○一七六三三
检切线表得一十度为甲分角
右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度
求甲乙边
以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边
一 半径 一○○○○○
二 甲分角【十度】割线 一○一五四三
三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙边 三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边
求甲全角
以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角
求乙角
以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】
右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股
用切线分外角【梅本新增】
假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度
求甲角
以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角
一 两边总 六百六十一尺○八分二 两边较 一百三十八尺九寸三分三 半外角切线 一七三二○五
四 半较角切线 ○三六三九七
检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度
求乙角
以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角
求甲乙边
以甲角【四十度】正弦 六四二七九
比丙角【六十度】正弦 八六六○三
若乙丙边 二百六十一尺○八分
与甲乙边 三百五十一尺七寸五分按此新增例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角盖一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭於乙角则乙角必大甲角必小又应於外角之半分出较角而後甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小於乙角若干而此求得之较为小於乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻增此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左
此平三角借弧以明其理
若弧三角所容三角不止
三个如平方立方有面体
之别後同
有三边求角【鋭角之三】
假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】
求两勾相减之数为勾较
任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形
一甲丁丙形以甲丙边为弦丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为弦丁乙为勾两弦相并为总相减为较 两勾相并【即乙丙边原数】为勾总 求戊丙勾较
以勾总比弦总若弦较与勾较
一 两勾之总【即乙丙】 二十丈
二 两弦之总 三十丈○六尺三寸五分三 两弦之较 四丈五尺三寸五分四 两勾之较【即丙戊】 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余弦然余弦长短必限於正弦今甲丁中垂线即丙角之正弦今若求丙角余弦又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余弦等以之比例而得丙角之余弦即查表得丙角之度
求分形之两勾
以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形
又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分 即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形
求丙角
以甲丙弦比丁丙勾若半径与丙角余弦
一 甲丙边 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分边 一十三丈四尺七寸三分三 半径 一○○○○○
四 丙角余弦 ○七六六一六
检余弦表得丙角四十度
求甲角
先求分形大半之甲角
以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角
次求分形小半之甲角
以甲乙弦比丁乙勾若半径与分形甲角之正弦一 甲乙边 一十三丈○五寸
二 丁乙分边 ○六丈五尺二寸七分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角正弦 ○五○○一五
【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正弦】
检正弦表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角
求乙角
并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角
钝角
有两角一边求余角余边【钝角之一】
假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】
求丁角
以丙丁二角并共【六十度半】以减
半周得余一百一十九度半为丁
钝角
求乙丙边
以丙角正弦比丁角正弦若乙丁边与乙丙边一 丙角【三十六度三十分】正弦 五九四八二二 丁角【一百十九度三十分】正弦 八七○三六
三 乙丁边 五十四丈
四 乙丙边 七十九丈○一寸右所用丁角正弦即六十度半正弦以钝角度减半周用之凡钝角同
求丁丙边
以丙角正弦比乙角正弦若乙丁边与丁丙边一 丙角【三十六度三十分】正弦 五九四八二二 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
三 乙丁边 五十四丈
四 丁丙边 三十六丈九尺二寸
凡钝角以外角之正弦为正弦盖即
此钝角之外角也如图丁为钝角乙
丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角
之外角至於正弦皆以本角之勾为
底以割线【半径同】与弧之相界处直线
垂下与本角之底为正方直角如图
乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角
之割线卯丁如外角之余弦而卯乙
则外角之正弦也至如丙角以丙丁
为底其正弦丑丁近乙丁边乙角以
乙丙为底其正弦子丁近乙丙边也
补图明之
有一角两边求余角余边【钝角之二】
假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺
【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】
乙角为钝角
甲丙为钝角所对之弧度
乙丁为丙角正弦
甲戊为钝角用外角之正弦
求丙角
以甲丙边比甲乙边若乙角正弦与丙角正弦
一 甲丙边 四千尺
二 甲乙边 三千五百一十七尺三 乙角【九十九度五十七分】正弦 九八四九六【即八十度三分正度】四 丙角 正弦 八六六○三
检表得丙角六十度
按乙角为钝角其所用外角之正弦即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正弦也【每度六十分】求丙角者止丁外角之正弦可比丙角之正弦故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类
求甲角
并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角
求乙丙边
以乙角之正弦比甲角正弦若甲丙边与乙丙边一 乙角【九十九度五十七分】正弦 九八四六九二 甲角【二十度○三分】正弦 三四二八四
三 甲丙边 四千尺
四 乙丙边 一千三百九十二尺右甲角正弦以甲丙为底乙已即甲角正弦与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左
假如乙丁丙钝角形有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】
丙戊为虚股 戊丁为虚勾
乙角乙丁为底丑丁为正弦 乙丁
即余弦 丙角丙丁为底子丁为正
弦
先以半径比乙角正弦若乙丙边与丙戊边
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】正弦 ○四○六七四
三 乙丙边 一千五百八十二尺四 丙戊边【即虚垂线】 ○六百四十三尺
又以半径比乙角余弦若乙丙边与乙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】余弦 ○九一三五五
三 乙丙边 一千五百八十二尺四 乙戊边【即乙丁引长线】 一千四百四十五尺右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为弦】
求丁丙边
依勾股求弦法以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得弦七百三十九尺为丁丙边
求丙角
以丁丙边比丁乙边若乙角正弦与丙角正弦一 丁丙边 ○七百三十九尺二 丁乙边 一千○八十尺
三 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
四 丙角 正弦 五九四四二
检表得丙角三十六度二十九分
求丁角
以丙乙二角并之共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角
此三角形既有乙角度当先求丙角之鋭而後丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正弦之比例【凡正弦必在本角相对之边】然丙丁无边不能以边比边为乙角正弦比丙角正弦之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜弦当以勾股求弦法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而後用勾股求弦法而得丙丁之边三边既得则每角之正弦必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正弦相比之例求之矣盖丙角以丙丁为底其正弦子丁近乙丁边而乙角之正弦子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣
右两边一角而角不与边对
用切线分外角【梅本新增】
假如乙丁丙钝角形有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度
求丙角
以【丁乙丙乙】两边相并为总相减为较又以【乙】角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】
以边总比边较若半外角切线与半较角切线一 两边之总 一千三百三十一尺二 两边之较 ○二百五十一尺
三 半外角切线 四七○四六三
四 半较角切线 ○八八七一九
检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
求丁丙边
以丙角正弦比乙角正弦若乙丁边与丁丙边一 丙角【三十六度二十五分】正弦 五九三六五二 乙角【二十四度】正弦 四○六七四
三 乙丁边 五百四十尺
四 丁丙边 三百六十九尺九寸八
分
右新增一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求弦法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新增法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之後更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左
【甲庚癸为半周子庚为半径
甲壬为乙角度壬辛癸为外角
壬辛为半外角子卯为半外角割
线壬卯为半外角切
线己丑为半较角切
线己辛为半较角】
新式三边求角【钝角之三】
假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】
右有边无角
术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇於甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之弦乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之弦两弦相并为总相减为较
先求勾总
此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余弦然丁角以乙丁为半径则乙甲为正弦而余弦应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余弦故必先求甲丁勾始与丁角余弦相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之余弦以查表而得丁角也
一 勾较【即丁丙边】 三百尺
二 弦较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺
三 弦总【即乙丁乙丙二边相并】 九百八十二尺四 勾总【即丁辛】 七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙
以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁
求丁角
以乙丁弦比丁甲勾若半径与丁角之余弦一 乙丁弦 六百○七尺
二 甲丁勾 五百二十九尺七寸
三 半径 一○○○○○
四 丁角余弦 ○八七二六五
检表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之弦乙丙即此钝角丙之外角割线
以甲丙勾比乙丙弦若半径与丙角之割线一 甲丙勾 二百二十九尺七寸二 乙丙弦 三百七十五尺
三 半径 一○○○○○
四 丙角割线 一六三二五六
检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜弦实即丙角之割线至於求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作弦丙角之三率用以作勾半径可勾可股可弦顾随所取用耳
求乙角
并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
右例钝角形三边求角作垂线於形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三
补图 乙丙丁三角形 乙己为丙角
弧度 乙辛为丙外角 丙戊
即【乙丙】为丙外角割线 乙壬壬
辛为外角之丁角乙角
乙甲即中长线 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虚勾虚股之弦 戊辛
为切线
右钝角用割线宣城梅定九先生新增此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为增减割线割於弧内切线切於弧外彼增此减彼减此增如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为高度其高度之正线即平度之余线而高度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因高度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也
勾股引蒙卷四