欽定四庫全書

九章録要卷二

松江屠文漪撰

零分法

几數不能有整而無零分有法以通之則零不異於整也知此而零分皆可相并減相乗除乃能盡九章之術故備論於左

竒零命分約法　以法除實除得數為整數餘實少於法除之不可乃成竒零或原實先少於法則無整而但有零矣〈假如以尺計物是亦以法除實也物不滿尺是亦實少於法也〉凡此皆須命分而母子數多者必當約之其法有三一曰以實除法假如法一百六十八實一十四則以實除法適盡得一十二是為一十二分之一也一曰減法除實假如法一百六十八實一百四十則以實減法餘二十八乃以餘法除實適盡得五是為六分之五也一曰以通數並除法實列法實兩數以少減多更互相減至兩數相等即為通數假如法一百六十八實三十五依前互相減得七為通數因以除實盡得五亦以除法盡得二十四是為二十四分之五也又如二百五十分之二百一十約為二十五分之二十一是亦以十為通數也二十四分之一十約為一十二分之五是亦以二為通數也〈前兩法之一十四與二十八亦即是通數之易得者耳葢三法小異而理則同〉亦有不可約者即以法為母實為子命分

整帶零分化整為零分法　凡以法除實務得數歸整值餘實少於法不得已而命分乃有整帶零分此固然也而此特謂歸整命分之後其數可定不復與他數相并減相乗除者耳若更有他數須與之相并減相乗除則無論未歸整者且當以法為母實為子而勿急於歸整〈必歸整無零分方可歸整也〉即遇整帶零分已成之數亦必化整為零分何也數或零或整皆可與他數相并減乗除若本數自兼零整則難用整法又難用零分法故必須化之而不能化零為整但可化整為零其法以原母為母以原母乗整得數并原子為子如有數七零五分之三則化為五分之三十八是也

零分與整相并法零分并整則成整帶零分矣若更須與他數相并減乗除者亦以原母為母以原母乗整得數并原子為子如前法

零分與整相減法　零整相減者法亦以原母為母以原母乗整得數減原子為子如甲數七乙數五分之三相減得五分之三十二是也〈歸整則為六又五分之二〉

零分相并法　諸數皆零分欲相并者法以諸母累乗得數為共母以諸子各累乗他母得數為諸子〈本子與本母不相乗　或諸子各乗共母而以本母除之得數為諸子亦可〉乃相并為子假如甲數五分之二乙數七分之四丙數八分之三則以三母累乗得二百八十為共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二為甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十為乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五為丙子并之得三百七十七為子凡得二百八十分之三百七十七是也〈歸整為一又二百八十分之九十七〉

右法亦有可省者如甲數五分之四乙數三分之一丙數一十五分之七即以丙母一十五為共母而以甲子乗乙母得一十二為甲子以乙子乗甲母得五為乙子〈丙子即用原數〉并之得二十四為子凡得一十五分之二十四仍約為五分之八是也〈歸整為一又五分之三〉

零分相減法　零分相減者依并分法累乗為共母為諸子而減之為子如甲數五分之二乙數七分之四内減丙數八分之三得二百八十分之一百六十七是也

零分與整相乗法　零分數整數相乗者以原母為母以原子乗整得數為子如甲數七乙數五分之三相乗得五分之二十一是也〈歸整為四又五分之一〉

零分除整法　以零分數為法除整數者以原子為母以原母乗整得數為子如乙數五分之三除甲數七得三分之三十五是也〈歸整為一十一又三分之二〉

整除零分法　以整數為法除零分數者以整乗原母得數為母以原子為子如甲數七除乙數五分之三得三十五分之三是也

零分相乗法　兩零分數相乗者以兩母相乗得數為母以兩子相乗得數為子如甲數九分之八乙數五分之三相乗得四十五分之二十四仍約為一十五分之八是也〈或兩母同或兩子同者亦必相乗〉

右法亦有可省者以兩母相乗以甲子除之為母即竟以乙子為子如右例兩母相乗以乙子除之為母則以甲子為子得一十五分之八不須更約是也

零分除零分法　以法除實而法實兩數俱係零分者以法子乗實母得數為母以法母乗實子得數為子如甲數九分之八除乙數五分之三得四十分之二十七是也〈若兩母相同者竟以法子為母實子為子兩子相同者反以實母為母法母為子也〉右法亦有可省者以法子乗實母以法母除之為母即竟以實子為子如甲數九分之八除乙數二十七分之一十三得二十四分之一十三是也

零分自乗法　零分數自乗者以母自乗得數為母以子自乗得數為子如有數三分之五自乗得九分之二十五是也〈歸整為二又九分之七〉

零分開方法　零分開平方除者以母自開得數為母以子自開得數為子如有數九分之二十五開方得三分之五是也〈歸整為一又三分之二　按此因論零分法而及開方故聊舉大畧而已其詳在少廣章中〉

零分求分釐小整數法　實少於法除之不足不能成整而為零分若求分釐小整數則以母除子即得如八分兩之三除得三錢七分五釐一十六分兩之一除得六分二釐五毫是也葢其初以兩計故三不可以八除而析為錢為分釐則可除矣至除盡而止亦有終不可盡者仍當就最後小數命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也〈或欲還原子即以原母乗之如八乗三錢七分五釐得三兩為八分兩之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石為七分石之二是也〉

分釐數命分法　據分釐小整數欲以大數命分者法以分釐數依其下最小數化之為子以所用大數亦依最小數化之置一算為母〈其為伯千及萬億則因乎所化之數而只置一算也〉乃以法約之如六錢六分二釐五毫欲以兩命分則以六千六百二十五為子〈六千六百二十五毫也〉以一萬分為母〈一兩為一萬毫也〉乃約為八十分兩之五十三是也亦有不可約者即以所立之母子命分

九章録要卷二