五 数学中之美与数之意义与数之构造

上述人之文学艺术中之观照境之形成，在人之能直观一切类兼不类之性相。在音乐中人之能直感乐音之振动数之比例，即直观其类兼不类，而最见艺术境界之连于数。然其他在建筑、图画、雕刻中之形象之大小比例，亦莫不连于数。文学中一字之重复，与字句之长短、音节、韵律，亦莫不连于数。吾人于数之所以为数，亦即可连于文学艺术之观照与审美中之类兼不类之义，以说之。

人所形成之数，初为次序加一于零所成之一二三四……自然数之系列。自此系列由加一而成看，则数之形成，乃在一历时间之思想构造历程中形成。人对已成之数，更次第加以应用之历程，与可应用数于其上之客观事物，次第为人所感觉，皆在一时间历程中。故康德与今直觉派数学哲学，皆以数连于时间。然此数之形成之序，乃依一逻辑上理性上之先后，如必先一而后二。而数之应用之序，则可为主观心理上任意之先后，如先用二，而后用一亦可。而事物被感觉之先后，更可颠倒，如可先感觉为二之物，后感觉为一之物。此三者之形成之时间次序，即彼此不同，而此中之数之是一者恒是一，是二者恒是二。此即见数之为类之意义，乃可贯通于不同之时间之序，而见其超时间之序的意义；亦见数之先后之序，可直依逻辑理性而说，为理性之序，乃可不连时间而说，亦可不连主观心理与客观事物之时间之序而说者；知此，已可使人于数之类，数之序，只视若内外无所附着之观照心灵之所对，若凌虚而自在于一数之世界中者矣。

人依理性之序，而形成各类之数后；即可用之以定一类物中之个体物之数，吾人于依类成化境之论数，即以数之此义为中心而论。此为数之哲学之一面。数之哲学之另一面，则为关于不同类之数之如何次第构成，其次第构成之历程之相类处不相类处何在，表数之关系之数学之公式如何形成，以使数之种种运算成为可能之问题者。在前一面之数之哲学中，以数之指个体物之意义为中心，故可论之于依类成化境。在后一面之数之哲学中，则初唯以种种数之如何构成，与其关系，为所观，而于数亦不须连于人心中其他类概念，而有之指物的意义以说，则种种之数，只存于一观照凌虚境矣。

于此观照凌虚境中论数，更欲与上文之论美感之连于数之比例者，相衔接，吾当首说：人观数所自有之相类兼不相类之情形，即可形成一美感，如西哲之普恩加赉、怀特海，所已言及；而数之自身，亦可说有美与不美，或不同意义之美与不美之别。自然数之系列，依加一而次第形成者，其中亦有同时可视为依数之相乘以形成者。此数之由相乘以成数，即各以其自身之数，为其他“数之类”之数。如三乘四，即谓有三个四之类，四乘三，即四个三之类。一切数之相乘所成之数，即类与类之相乘所成之数。由此“数之相乘所成之数”，亦为在自然数之系列中之数，则吾人既已有由加一以形成自然数之系列，更有由数之相乘所成之数之类之后，亦可合此加与乘二者，以观自然数之系列之形成。则吾人可说：由加一于零以成一，为次序成数之始。而一乘一仍为一。再加一于此一，或加一于一乘一，皆成二。而以二乘一，或一乘二，亦只成二。于此二，再加一，则成三，更加一成四。然此四亦可视为二乘二所成，三可视为三乘一所成。于四加一成五，五亦可视为由二乘二加一所成。五加一成六，六亦可视为二乘二加二所成，或二乘三所成，……。则数由次第加一而成者，皆可说为乘数或加一于乘数之所成。此中凡可说数由乘而成之处，皆可说数为上述之类之类。然加一数于一数所成之数，则或只等于一乘其自身所成之数，或兼等于其他二数之相乘所成之数。此数之只等于以一乘其自身所成之数者，为素数，而其兼等于其他之数之相乘所成之数者，为非素数。一素数不等于其他之数相乘所成之数，即不与其他之数之乘积相类，而只自为一数之类，则其所涵之“类”之意义少。非素数则其自身为一类，又与其他数之乘积相等而相类，则其所涵之“类”之义多；而一数之愈能为不同之数之乘积者，其所涵之类之义愈多。当一数为不同数之乘积时，此不同之数，互不相同，而各为一类；然其乘积同，又为相类。故一数为不同数之乘积之涵义中，有此“不同数”之“不同类”，亦有“其乘积同为此数”之“同类”，而其涵义中，即兼有此“不同类”之义与“同类”之义。如十二为三与四之乘积，即三个四之类，或四个三之类，又为二与六之乘积，即二个六之类，六个二之类。则十二之涵义中，包涵其为三个四之类，与二个六之类等不同类之涵义。此二个六与三个四之乘积，又同为十二，而有同类之涵义。若吾人更自此“十二为二乘六”中之六而言，又可说六为二个三之类。于是此十二即为二个“二个三”之乘积。在十二以前之数中，唯十二能包涵此“为各种不同类之乘积”之不同类的意义。与“同为其乘积”之一同类的意义，吾人说一文学艺术境相中，所包涵之类兼不类之意义最多者，亦最堪为观照心之所运之境，而其境亦可称为更美。则十二之数，即可说为较以前之数，皆更堪为观照心之所运，而为较其前之数为更美者也。

上说凡为他数之乘积之数，皆外与他数之乘积相类，而具更多之类的意义者，而于一乘积之数，加一数以使之成一素数，即只自为一类，而所具之类的意义即最少者，则素数似为最不堪为观照心之所运，其自身若无美的意义者。凡素数皆由加一数于一为乘积之数所成。加一数于乘积之数，即可使其不复成为乘积之数，而只自成一类，更外无所类之素数。则此加一数于乘积之数，即一使外有所类之数，不成外有所类之数，以自成一类之原理。然此加一数于乘积之数，以新创一外无所类，自成一类之数，亦正为数之有不同之类之创造的原理，亦即数之世界之一创造之原理。有此加一数于乘积之数之事，以使不同类之素数，得次第创出，而皆如鹤立鸡群于数之世界，亦同时为使数之世界之全体中，有更多之同为数者，而又不同其所以为数之意义者。此亦即使数之世界之全体，有更多之美者也。

吾人上谓在自然数之系列中，有兼为他数之乘积，而外有所类之数，亦有外无所类，自成一类之素数。凡为他数之乘积之数，即由他数之相乘而成，素数则必由加而成。然由加而成之素数，亦可减其所加，以成一为他数之乘积之数。而由他数相乘而成之数，亦可由减若干之数，以成素数；更可由观其所自来之相乘之数，而除以其中之相乘之数之一个，或一个以上，以归于一不可更除之素数。于是此一自然数之世界中之一切数，即可由此加减乘除，以互相转化为素数与非素数，亦即互相转化为外有所类之数，或外无所类而自成一类之数者。此数之可由加减乘除而相转化，即合以形成数之世界中，相类者与不相类者之互成其类之一大美，而可供人之观照心之加以观照者。若万物莫不有数，万物之数莫不可由万物之互相接触感通而变化，亦由加减乘除其数，以相转化；则此万物中之一切变化，皆同有此可观照之大美。凡万物之一切形相与任何性相，有其类与不类之互相转化之处，亦无不可本此观照心，以见其有此大美。此整个之有数有类之相转化之世界，即可全化为一观照境，而见有天地之大美之无乎不在矣。

然此中吾人不拟更论万物之形象等之类与不类之相转化，唯拟更稍说人之数学的心灵之运于由加减乘除，以使数之类与不类，互相转化，以见其不类而类，即一观照心之所运之义。人之数学的心灵，初所形成之自然数之系列，原为正数之整数之系列。人由此自然数之系列，更构造出负数、分数、小数、乘方数、开方数、虚数、代数、函数、无理数等，皆与此正数之整数，为不同类之数。然此不同类之数，又皆实依于为正数之整数之自然数之系列，所构造出，而同为数之类。如所谓负数之构造出，吾人即可说乃原于自然数系列之数项中，后一项与其前之项之有一反关系。如二由一加一成，二对一之关系为多一。二于一所多之一，为正一。正一之数为正数。一对二之关系为少一，一对二即负一。此负一之数，即为负数。而此负一之数，亦即是本于此一对二之关系，为负一，所构造出。然吾人亦可说所谓正数，即对任何数之正面的加以肯定，而连此肯定，以观此所肯定之数，之所成；负数即对任何数加以否定，而连此否定，以观此所否定之数之所成。任何数皆有一负数，而全部之负数之数，与全部之正数之正数相等，以各成一类；而其相等，则又见其数之数为同类。是即正负数之间，互为不同类，而又同类也。

至于所谓分数，则异于吾人之自然数之为一整全之整数，而是由分一整数所构成。一整数之可分，则由整数之原可说为由合而成，即一之数，亦可说为合“一”与“零”或“一”乘“一”而成。合诸数以成一数，为合数类之数，以生一类之数。分一数以成诸数，则为由一类之数，以生多类之数。此分与合之事，不同其类，而合之方式与分之方式，则可互相对应，其方式之数又可相同，而同类。此中即见有合数与分数之不同类而同类。

至于有分子分母之分数式，则可说为表分子分母间之一种关系者。纯自此关系看，亦可不问此分子式中之分子，是否可为分母所除尽。此分母之数，往除分子之数，只代表此分母之数之将此分子之数，视为一整个之数，而欲由之分出若干数之一活动。此一活动，则与对此分子再乘以此数，而合为一数之活动，为异类之活动。然吾人却可说，凡以一分母除分子，所代表之数，如 ，即是再以m乘之，而等于n之数。而任何分数之为以一数除一数者，皆此中之除数之再化为乘数，而以之乘由此除所得之数，即成一原非分数之被除数者。于是一切分数，即皆可转化为非分数之被除数，而见分数与非分数可由此转化，而由不同类，以成为同类。

至于小数之所以为小数，原由整数之分为同等之单位而成。整数之所以可分为小数，则原由整数之诸单位合为一大数时，以大数之单位观其所由合成之诸单位，即可视之为小数。如说百为十个十，即以十为一单位，而此十所由合成之整数，即皆可视为小数。因一大数之单位，可以其所由合成之诸单位，为其小数，则任何吾人初视为大数之一单位之整数，亦可类同此大数，而视为其诸更小之数之单位，即小数所合成。故此小数之形成，亦即无异本此大数之由较小单位合成之性质，以观此较小单位之亦由其更小单位所合成而有。大数可更有其大数，而小数即亦可更有其小数，则此大数与小数虽不同，然其各有其更大之大数，亦各有其更小之小数，亦未尝不同，而同为有其大数与小数之类之数。而大数之可由分而成小数，与小数之可由合而成大数，则见其不同类，而可由此分合，以转化为同类。

至于所谓乘方数，则为乘数中特殊的一种，即数之自乘数。此乘方数之所以有特殊之地位，则在其乃由一类之数之自身乘其自身而成，而非由异类之数相乘而成。故其所由成之数之类，可称为一纯类。开方数之可开尽者，即皆见其为只包涵此纯类之数者。乘方数与开方数不同类，而皆为依此方而立之类，亦可由开方或乘方，以互相转化，而见其为同类者也。

此外，有所谓代数。此为以一数之符号如xy，代任何数之数。此乃由于一切数皆数之类，故可皆可以代数代之。然各数之类彼此不同，故有代数中之不同之项，以表其所代之数之类之不同。一切数学之演算，与代数之演算，则同在由对数之加减乘除，以知其可等于其他之数，亦即同在由加减乘除，以化出其他之数。而任何数之两端，以等式连结者，皆表其两端之数为同一值，即同一值之数之类。然除一数项之等于其自身之等式外，任何等式之两端之数项，又皆初不同其类，唯有由分别在两端中之加减乘除之运作，所合成之演算，得形成一数项等于其自身之等式，而见两端之数项，初互不相同者，自始为同一值之数。在未有此演算之前，此两端之数项，显然不同，即互为不同类。唯由此演算，乃形成一数项等于其自身之等式，而见其为同一值之数。而为同类。是见此数学演算，即于不同类之数项，对之有加减乘除之运作，以见其等于何数，或与何数为同一值，而与之为同类之事。是亦即于不同类者，见其得归于同类之事也。

至于数学中所谓函数，则为表一数之值之随他数之值而变。他数可为一常项，其函数则恒为一变项。若以一常项与一变项相连，即有不定之函值。若以一定之函值，为一常项，则此常项，又可为：与诸不同变项相连之共同函值。由此而任何常项之数，皆可由其连于变项之数，而以不同之数，为其函值。而任何数，亦皆可为：诸不同变项所相连之共同函值。而此中凡有函值之相等，即皆有数之类之同。而凡有常项与变项之不同，皆有数之类之异，而函数之演算，即皆由数之类之不同，而见其同类之演算也。

此外，在数中又有所谓无理数。无理数即不为“一切分数之平方”之数，亦即不能以一数与他数之比例表示之数。凡数与他数有一定之比例，其平方根亦有一定之比例之数者；即可分别加以开方，而见其根有一定比例，而可以分数表其比例之数者。如4与9即可分别开方，见其根之比例为二比三，即4之根为9之根之 。一切凡可由开方，而得其根之比例者，皆可以分数表之。而一切分数之系列，即表示一数之系列，与另一数之系列，其一一项之平方根，有一定比例关系存在之系列。然除此一切可能的分数之系列之外，尚有不可以分数表示之数，即为无理数。此即一切数之平方根，与其他数之平方根不成比例者之数，如2、3、5之平方根之 数，彼此间即不成比例。然此类之数虽不成比例，然亦有大小之关系，如 小于 小于 ，有如分数之系列中之诸分数，有大小之关系。由此而一一无理数，亦应一一在分数之系列之一一项间，有其一定之地位。如 小于 大于 ，则其地位应在 与 间。于是，此无理数之依大小而成一系列之数，亦应与分数之依大小而或一系列之数，可合为一系列之数，以观其关系。昔之数学家说此无理数之系列与分数之系列之关系者，恒视无理数之系列中之一一无理数，为诸有理数之分数之系列之极限。今之数学家则以唯于分数之系列之自身，可言极限。一一分数，皆可为其上段或下段之分数之系列之极限。数之系列之有极限者，即其数之系列，可说为有边界（boundary）者。一有理数之分数之系列，即其系列中之项，皆可为其上段下段之数之极限，而其数之系列皆有一边界者。无理数之系列，则为无此所谓极限，亦无边界，而与有理数同为数之系列者。缘此而人可论此无理数与有理数之不相类而相类之诸关系等。

然吾意欲论此有理数与无理数之类与不类之关系，不如追问至此无理数之所以产生之根源而论。此无理数之所以产生，唯以有开方开不尽之数。因开方开不尽，故其与其他开方开不尽或开得尽之数之一定比例，即不得而说。既无一定比例可说，亦自不能以分数表其与其他数比例关系。数中之所以有开方开不尽之数，而吾人又设定其有方根者，唯以吾人将开方之一数学的运作，亦加于其数而来。此又唯由吾人于一切数，皆同视为一数，数有可开方而有方根者，则任何数便似当同可视为有一方根者。然数中实有开方开不尽之数，则吾人亦实非必须定一切数，皆有其方根，更非必须设定其方根之有一定比例，而可以分数表之。此数中之有开方开不尽之数，可溯源于自然数系列之形成，其由加一于零次第形成者，固亦有同时为由数之相乘或数之自乘而成者，然加一于零次第形成之数，必加至某阶段，乃出现一数，兼为由数之相乘而成者；数之由相乘而成，又不必为由数之自乘而成者。凡非由数之自乘而成之数，则初皆可视为一开方必开不尽之数。以其原非乘方之所成，开方即乘方之反关系故。如自然数之一二三，皆加一于零而成，不可径说三由三乘一成，二由二乘一成，一由一乘一成，此必先预设有三二一故。唯加一于三成四，此四乃同时兼为二乘二，或二自乘之所成。又必加一于四成五，再加一于五成六，六乃兼为二乘三所成。更必加一于六成七，加一于七成八，加一于八成九，九乃兼可视为三乘三，或三自乘之所成。此中凡对一数加一，必继续加至等于一数之阶段，乃得一可兼视为二数相乘之数。如对二加一成三，三非二数相乘而成之数。对二必加一，再加一，即加二，乃得四，方兼为二与二之相乘之数。对三则必加一加一，再加一，即加三，乃得六，方兼为二与三之相乘之数。故由加一而成之数，兼为二数之相乘数者，即少于由加一而成之数之不为乘数者。至为二数之相乘数，而兼为自乘数者，则必待此二相乘数中之一，次第加一，至成一等于其自身之数，乃有一自乘数。如对三可乘以一，仍是三。乘以一加一，即乘以二，则是六。乘以一加一加一即乘以三，方为三之自乘数之九。故为二数之相乘数者，亦不必为自乘之乘方数。于一乘方数，如再加一而未至形成另一乘方数之时，则其所成之数，皆非乘方数，亦皆开方开不尽之数。凡对此等数，设定之为可开方者，则其方根皆为无理数。此开方开不尽之数，既有大小而成一系列，则其设定之方根，自亦可说有大小，而成一系列。然其方根间，则必不能有以确定分数表示之比例。因其原非由确定之数乘方而成之数，其方根自不能有确定比例也。由此以看此所设定为开方开不尽之数之方根，所成之无理数之系列，自为不同于分数比例数之为有理数，之另一种数之系列。而此数之系列之有大小，与其中之数之所以多于有理数之系列中之数，则纯由其所自产生而为此方根之乘方之诸原数之有大小，而在此诸原数所在之系列中，为乘方之数者，本少于不为乘方之数者而来。此一无理数之系列之设定为有，唯由吾人之设定任何数皆可视为有方根之数，亦可视为由乘方之数之而来之故。此任何数之可视为一乘方之数，若更溯其本，即当说为由此不为乘方之数，皆原可视为一乘方之数，加某数而成，而其中亦包涵有一为数之乘方之意义在。故开方开不尽之数，亦可开之为“某数之乘方，再加另一开不尽之方根”，如六可开为 。依此以比较开方开不尽之数之方根之大小，而排之于一系列之中，则此系列中之数，即虽有次第之大小关系，而无比例关系，亦为不能以分数表其比例关系之数之系列矣。

总此上所说，以论无理数之系列，其所以产生之理，即根柢上只在数之系列中之数，有乘方数，亦有非乘方数，乘方数之可由加一数，成一非乘方数。此则更可追源于：由加而成之数，原非皆兼由乘或乘方而成者，而由乘而成之数，亦非必兼由自乘或乘方而成者。亦即由于同为数之类者，其数之“由加一以依序而成”之类者，非必为“由数之相乘或自乘而成”之数之类；而同由乘成之数之类，其由二不同之数相乘而成者，亦非必由自乘而成之数之类。此中唯数之为由自乘而成者，方为一可开方数，故可开方之数之少，不可开方之数多，而其多少，亦不相类也。

此外数中更有虚数，此虚数者，即为负数之平方根之数，如 之类。依正数之乘方为正数，负数之乘方亦为正数，而一正数之方根，可为正数或负数。一负数之方根，则既不能为正数，亦不能为负数，即为一想像中之虚数。然人之所以谓有此虚数，唯由吾人于正数既谓其可开方，负数与正数同为数，便应亦可开方。负数与正数之所以同为数者，以负数皆可说由正数而来。于任何正数，如吾人以之减其较大之数，即对此较大之数为负某数者，如2-3＝-1，则二对三为负一之数。负数既由正数来，以同为数，正数既可开方，负数亦应可开方。由此有虚数。如x 2 ＋1＝0则x 2 =-1而 。此所谓-1，若不对其他零以外之数而说，即直对零而为-1。此对零而为-1之数中之1，再设定为可开方者时，此1可说为1之正乘方数，而负一即负此一正乘方数。如一正乘方数可理解，则负此一正乘方数，亦可理解。此中所负者，乃正乘方数之1。此正乘方数之1，原可开方而得1，则此所负者，非不能自开方，而以1为其根。盖此中之开方，原非对负号之自身而开方，乃对所负之数而开方。此所负之数，既自为正乘方数，则将此负号连上而成之数，即应亦为一可开方之数。而此-1之可开方，即与其他正数之可开方为相类，而只在其为负，与其他正数之为正不相类而已。然一切正数，既皆可视为对大于其数之他数，为一负数。则一切为正数之平方根之实数，与为负数之平方根之虚数，亦可互相转换，以成一数学之演算，并于此演算之历程，见其数值之在何情形为相等而相类，而实数与虚数，即相类而不相类，亦可由不相类而见其相类者矣。

六 数学与观照凌虚境

吾人以上说数有种种不同之类，而此不同类之数，可于数学之演算历程中，见其值之等于其他类之数之值，即在其同此值之一点上，见其相类。此乃一数学演算中，人所共知之一事实。人依公式而进行。数学之演算，皆可发现一数之等于“对其他数更加减乘除以其他之数，所成之数”。如数之有大小之差别者，皆可由加或减此中之差别，以化为二彼此相等之数值。凡对彼此相等之数值，加以移项，而使之自相减，莫不可等于零。一切数学公式，亦皆在“可成为一等值之公式，与可移项，而自相减，以见其等于零”一点上，以同属于数学公式之类。则一切依数学公式而演算之事，皆是化数之不同类者，而使之成为等值，而同属此等值之数之类，亦同属于形成一等值公式之数之类，并同属于可由移项，以见其可自相减，以等于零之类之事；即皆是化不同类之数为同类之数之事。吾人若本此一观点，以看人之一切数之演算，与在数之演算历程中之数之世界，则此整个之数之世界，即为一吾人由观照数之关系，而依之以演算，以见其“不相类者，皆可化为相类，相类者皆由不相类者来”之一“无穷的，由不相类而相类。而相类者自其由不相类来处看，又不相类”，之一“类与不类、相与为类，而其相类者，又皆可由相减，以等于数之零”之一世界。于是一切数之演算之事，皆可说是“出没升降于一零之世界中”之事。此零是数之世界中之零。数之世界中之零，有其特定之意义，但亦是“其中无任何数量之具体事物存在”之零，故零之义连于空类 [3] 。自零之中无任何数量之具体事物存在，而连于空类而言，此零即是“一切具体事物世界不存在于此”之表示。此零中，亦即有“此具体事物世界于此不存在，而为虚、为空”之一意义。则此零，不只为零之一数，数之世界中之一数；亦为有“具体事物存在于此为虚为空”之一意义，而为有“在一切具体事物世界之外之上之一虚一空”之一意义之零。若一切数之演算之事，皆可视为在零中升降出没，则一切数之演算，即依于此零之有此具体事物世界，于此为“空”为“虚”之意义。若此人之一切知种种数，而为种种数之演算之事，皆依于人之观照数之关系而有；则此一切知数，为数之演算之事，皆依于此一观照而有；而由此一观照而知数，为数之演算之事，亦皆凌于此“虚”此“空”之上，而皆属于一观照凌虚境中。吾人今依此数与其演算，皆属于此观照凌虚境而言，则数之世界不得说为只依存于一客观的现实事物之世界，如经验的实在论者之所说；亦不得说其属一超现实之柏拉图式的客观世界，又不得说为纯由人之主观构造而成，复不得说为只是人依其对数之概念与名项符号之定义及若干公认之设定，依若干推演规则，而形成之符号系统；而唯当视为属于此观照凌虚境之一世界。

此数之世界之所以不得说为只依存于客观现实事物之世界者，以数明非存在事物。吾人以数指物作判断，亦不同于以对其他事物之所经验性相之概念，作判断。以任何其他之对事物所经验性相，作判断，于所判断之事物自身之内容，即有所合，亦有所不合。合处此概念可用，而可形成真判断、真命题；不合处则不可用，用之必成假判断、假命题。然以数作判断，则对事物之任何内容，皆可说有数。任一内容，总是一内容，则至少皆同可对之说“一”。若内容为二，则对之可说二。无论事物有多少内容，与其内容如何变，吾人皆可有数以说之。故数之可用，不依于事物之有何内容，只依于其有内容。用一数以判断一事物之内容之数，固亦可假。然一数用之而得假者，人恒可转而自行构造出他数而用之，以得真。然一经验概念若用于一事物而假，则必待人本其继起经验，方有其他经验概念之形成，可用之而得真。经验概念不能由人自行构造。即此已足证明数之概念，不同于一般经验概念，而自其可用于任何内容之事物，又不待此内容之经验，即可容人自行构造言，即为先验的概念。

由数可由人自行构造，而可用于有任何内容之事物，故当吾人以一数，判断一事物之内容中之数时，此数之概念，可永不为一黏附于事物之概念。如吾人以一经验概念判断事物，此经验概念可黏附于一事物，以其内容可即事物之属性故。但吾人以一数如“二”判断一事物，如谓一事物之数为二，则此二不为此中任一事物之属性，而可只说此“二”为“此二事物”，与“其他亦为二之事物”之相类之处。故吾人于说二事物为二之后，可更以此“二”说其数为二之任何事物，而此“二”，即不能黏附于任何事物，以为事物之属性。故当吾人提举一数之概念如二之时，吾人可以此二观待任何其数为二之事物之类，而用之；用之之后，亦恒有其可再用之地。其有可再用之地，而不实际上再用之，则此二，即只为人可凭之以观一切其数为“二”之事物，而不观此其数为二之“事物”本身之一“凌空的二”。此“凌空的二”，自是与一切为二事物之“二”，为同一之“二”，而此“一切为二之事物之二”，即皆为“凌空的二”所照及，而此中之事物，却非此凌空的二之所触及者。因吾人可只注意有此“凌空的二”，一切为二之事物之二，而不注意于此为二之一切事物故。由此而吾人之思一凌空的二，而观之，即可形成：以此二，观照一切为二之事物之二，而不触，亦不着此中事物之观照境，或方着之，亦即更透过之之观照境。此即如人之专持二以观物者，可于世界处处见有二物之相对之事，亦时时于以二说其所已见之二物之后，更提举此二，以观其外之物。而哲学中单纯的二元论者， [4] 即时时以二观任何物，亦不着于所已观之一切物，恒能使此二不黏附于此已观之物而透过之，更本之以观其外之物者。人可有二元论之哲学，遇物即分之为二，亦可有三元、四元论之哲学。为四元论之哲学者，如邵康节，即尝自言其见物，即分之为四片。此人之可只提举一数，以观一切物，而不着于物，即见此提举一数之心灵，在一切物之上一层面。其不着物，而能观物，而又能透过物，更提举此数以观他物；则见其所观之物，对之恒为一透明之物，而其所正观与可能观之物，对之如恒在一遥相距之境，以似实而虚者。由此而吾人可说凡人之提举一数，以如此观世界之物，其心灵，在一观照凌虚境。在此观照凌虚境，人可自其所观者，皆可透过而为透明，以说此世界中除此数之外，更无实物，而此世界亦为只有此数之一无实而自凌虚之一世界。吾人若欲以各种不同之数，观此世界，此世界亦为只有此一切数而无实之世界，而整个之世界，即可化为似只充满此一切数之一世界。此当为辟萨各拉斯等，以世界唯有数之哲学之真实的立根之处。

人之只以数观世界者，世界虽无实，然当人自反观其以数观世界时，则初必以此数为实。吾人可本种种数，以观世界，则此种种数皆实。由此而可形成一柏拉图式之以数之世界为超现实事物之世界，而自为一超越实在世界之思想。

此种数之世界之为一超越的实在世界之思想之根据，在人虽可由构造而生数，如由次第加一于零而成二三等，然此人所构造之数既成之后，人立即可发见其各是其自身，亦可发现其间有种种之必然一定之关系，非吾人构造之之时所见及者。如人由加一成二、加二成三之时，人未必思及三多于一者为二。然既有一与三，人即可发见三对一，有多二之关系。故一自然数之系列，虽皆可只由加一于零，以次第形成，而自然数之系列中数之关系，则有无穷之复杂，非人构造此系列时之所知者。此诸关系，皆必然而一定，非任何人之思想所能自由加以改变，而任何人又皆可发现同样之关系，即又似必须谓此诸关系，为客观的存有于数之世界之关系。本此以观人初之由加一于零，而次第形成自然数之系列之事，即亦可只视为人之由加一于零而次第发现数之事，而此自然数之系列，亦即可视为原是客观的存有者矣。

由数与数间之有客观的必然关系，即可见数纯为主观之自由构造之说之不能立。然数与数间之必然之关系，又唯次第见于一切能知有数之人心，次第发现之之历程中，则又实不能离此人心之次第之发现活动，而有其自身之存在。其为客观，亦唯对一切人之心或与此人心同类之心，而为客观，则亦不能离此一切人之心及与人心同类之心，而自为客观。若其为客观只是对此心为客观，即非实有一独立自存之客观时数的世界。此独立的数的世界，不能为实有，可说在此所谓数的世界中诸数间，其关系，若非相等之关系者，皆有一互为对反之关系。上文说：凡数之有相等之关系，皆可由移项而使相减，以等于零。凡有相等关系之数，亦有此相减而等于零之关系，由此零以观一切相等之数，所合成之数的世界，即可说有无穷之数，亦可说此无穷之数合为一零。此零固亦是数。然零有“具体事物世界于此中不存”之义，亦有“其余一切数所合成之数之世界于此不存”之义。今若只有此一零之数在数之世界中，并不能必然建立数之世界之实有，以零中亦有一切数于此不存，而非实有之义故。至于数之关系非相等之关系，而有互为对反之关系者，人亦可依此对反关系从事相反之演算，以消除其中之数，亦消除其中关系，以使之隐而不见，乃更不得肯定其中之数之为实有。所谓数之世界中诸数之关系，本身有互为对反之关系者，即如甲数大于乙数，甲对乙有大于之关系，而乙对甲，则有小于之关系。此大于与小于，即相对反之关系。又如二于五有小三之关系，五于三有多二之关系。此二关系亦相对反。由此而人在一数之世界中，可由一数，循其一关系，以思及他数，而呈现他数，以说他数之实有者，皆可再循其反关系，以消除此数，更不见有此数，使人不得更说此数之实有。如吾于由二而说实有一“对之有多三之关系”之五之后，吾即可于五再减三，以消除此五中所涵之三，以成二，而于其成二之时，此五中之三既消除，而五非五，亦非实有，则五对二之有多三之关系，即亦消除，而非实有。凡数与数有某关系，而此关系非相等之关系者，即有一对反关系。凡一关系有其对反关系，皆启示一足以消除此关系之演算方式，使此关系隐而不见。则透过数学之演算，以论数之关系，即皆为可于其呈现时，被肯定为实有，而在其由演算以隐而不见时，不再被肯定为实有者。今若去此数与数之关系，而唯存一一之数，而由一一数之各自等于其自身，即可各自减其自身，以等于零，而亦被消除，则亦不得谓为实有。由此而谓数与数之关系所合成之数之世界，为超越的实有，或客观的独立自存者，即可说而又不可说。合此可说与不可说，仍为不可说。而数之世界为超越的实在世界之论，即不能成立。

由此上之数之世界依于一般客观存在事物而有、与纯由主观自由构造而有、及自为超越的实在世界之说，皆不能立；于是有谓数与其关系及数之演算，乃本于人对若干数之概念或数之名项符号之定义、若干数学公理之设定，依若干逻辑之推演规则，以形成之符号系统之说。此说以数学纯为符号系统，实即由对数学符号之“种类之同异”与“安排组织之次序”之觉识，以形成有关数之种类、次序等概念，亦实非无概念；而言数学之概念之种类、次序，亦必以符号种类之同异、次序等表示。故言数学之基本概念，与言其基本名项符号，实无大分别。此诸说之一共同之点，即数学中之命题之真者，皆人对所谓数之名项之意义关系，先以定义、公理，加以界定或规定，更依运用此名项与公理之规则，加以运用而成。此诸命题之意义，即皆不出吾人先所界定规定之诸名项、公理、规则等所本涵有之意义之外。此数学命题之意义，即皆为自其本涵有之意义中，分析而出者。此中所关联之根本问题，则为数学命题之毕竟为分析的或综合的。

此一数学命题之难称为一综合命题，在其非经验命题。经验为次第综合者，故吾人可加一对事物之经验内容，于对其他事物之经验内容，而成一综合命题，以对此综合之经验为真。数学之命题，非经验命题，则不能由综合人对事物之内容之经验而形成，自亦非经验的综合命题。在数学命题中，若设定一数为一主词，则其宾词，为说其如何关系于其他之数项者。此如何关系于其他之数项，只须对此为主词之数项为真。若此主词自身之涵义中，无此宾词之涵义，则此宾词不得对主词为真。此即见一数学命题，似必须为一分析的命题。如说三大于二，则此大于二之意义，似必须为三自身之所具，而可由“三”之意义中分析而出者。然数之自身，若说为由构造而形成，又可说为由次第加一，更综合之于以前之数所形成，而非只由分析其前之数之所成者；则由数而次第形成之数学命题，亦必有非由其先之数所合成之数学命题中，所可分析出者，而为不断增加于以前所有之数学命题之上，而综合地形成者。康德即依数之由不断综合而成，以说数学命题为先经验之综合命题者。然此所谓先经验之综合命题，在现代数学家则由其可以证明，而其证明之之道，不外本之于吾人先承认之数之定义与运用此定义之规则等，而谓其亦是分析命题。如二加二等于四，即可本来布尼兹之意，谓可由吾人对二与四之定义，加以证明。如由四之定义为三加一，三之定义为二加一，并依三加一之三，可以二加一代替之之规则；则四为二加一加一。而二之定义正为此一加一；更依二可代此一加一之规则，而四为二加二，再依移项之规则，而二加二为四。康德所举之七加五等于十二，亦可由此类似之方法以证明。凡数学命题之真者，应可证明，凡可证明者，必有为其前提之数学命题，而此前题之所由构成之数之概念或名项，必有定义，与为前题之前提之第一前提，是为公理。此定义本身，亦可视为一前题，而以定义公理为前提以推结论，必有推论之规则，亦即运用此定义公理之规则。则一切数学命题可证为真之根据，只在数之概念或名项，有如何如何之定义，与其最初设定之公理为何，运用定义公理或推论规则为何，而此等等皆可由追溯数学命题之如何次第证明，而加以发现者。由此而一切数学命题，亦即皆可由此以发见其中之数之原始定义，与所设定之原始公理及规则，而今更由定义、公理与规则，以推演出其涵义，即可更形成此一切命题。则此一切命题，自当为由此定义、公理、规则，所演绎出来之分析命题。

此上之一说，乃由诸可证明，或已证明为真之数学命题，再返溯其如何次第证明而成立之说。然于此首须知吾人并非必须先知有数学命题，而可先只知有数，更由对数之关系之发见，始建立一数学命题。此由数与其关系以建立数学命题，则明可为一综合的历程。如吾人于七加五等于十二加以证明时，固可说其为分析的。然吾人先只知有七，而说其加五，乃等于十二，则此明是于吾人先所知之七之意义上，加一意义，此岂不可说为综合的?由此以观吾人之于二说其为加二等于四者，于三说其为大于二者，亦同是一综合的历程。其次，复当知吾人亦非必须于数学命题被证明为真之后，然后方思得一数学命题为真，或方思得一数学命题与另一数学命题之同时为真。吾人之由思一数学命题为真，更思另一数学命题之亦为真时，此中之思想历程，亦可只为综合的，而非分析的。譬如吾人谓二等于四减二，二等于六减四，此二命题同时为真。然此二命题，初不能互分析出。因“四减二”与“六减四”，乃不同之概念。于此二命题初同时为真，吾人亦初不必本数学中公理法，如由六、四、二等之定义及其他数学规则等，加以证明，然后知之。吾人所以知此二命题之同时为真，可唯以吾人于六有减四之运作，及于四有减二之运作，皆见其结果为二；以知之。吾人于是可由其一之真，以推另一之真，谓六减四等于四减二。此纯为逻辑之推论，亦为纯分析的推论。因此同时为真之义中，即有六减四等于四减二之义故。但在吾人未说其同时为真之前，而由四减二等于二，思及六减四等于二之时，则由四减二之思想历程，至于六减四之思想历程，却必为综合的。唯对六有减四之运作或演算，与对四有减二之运作与演算后，其结果皆是二，二等于二，由二可分析出二；而后吾人可说六减四等于四减二，而此六减四之等于四减二，乃可说是分析的。由此以观此整个之由六减四至四减二，至知其皆等于二，二等于二之一历程，即为先有综合后有分析之一历程，不能说其只为一分析的历程。在知其为分析的时，可说于“六减四”等于“四减二”，有证明；在未知其为分析的时，则无证明。然在无证明之时，“六减四”与“四减二”，已有同一之数值，“六减四等于四减二”已为真。此中吾人之由“六减四”，思及“四减二”，即综合的思有同一之数值之“二种数之连结关系”。此“六减四”与“四减二”之二种数之连结关系，并不同类。然依此二种数之连结关系，以有二分别的演算之后，知其数值皆为二，二等于二，则为同类。而此一整个之历程，即是由先思其中之“六减四”与“四减二”之不同类，更由演算以见其值之同类之历程也。

循此上之说，以观数学之命题之次第出现于人心，即不能说其自始即是出现为一分析命题，而可出现为同时并真之诸命题。吾人之由一命题，以思与之并真之其他命题，其数可无定限。如吾人可由“四减二”，而知其与“六减四”、“八减六”、“一加一”、“四之平方根”、“八之立方根”……等，其数值皆是二，而人说此等等之值为二之诸数学命题，即同时并真。而此“二”即分别为此诸数学命题得同时并真之共同根据。然吾人于此，却不必先有其证明。此证明，初唯由吾人之先回思：此二为一加一所构成，四为二加一加一所构成，此六为四加一加一所构成，四又同为二之乘方所构成，八为二之立方所构成；既知此不同之构成数之方式，可有种种不同数之出现，与不同数之诸关系之出现；更逆此构成之历程，而由此诸关系，各观其反关系，更顺此诸反关系而演算，方可知：四减二、六减四、四之开方、八之开立方，皆等于二，遂可谓“说此等等之值为二”之诸数学命题皆真。此不同之构成数之方式，为综合的。则逆此中之构成历程，而由其中之关系，见其反关系，而有之不同之演算方式，皆为综合的。今吾人构成数之方式，若再加一个，则演算之方式，亦可再加一个。若对吾人之综合的构成数之方式，不能加以限定，则对所增加演算之方式，亦不能加以限定。在综合的构成数之方式有限定处，吾人可反省出其如何构成，而知其构成之规则与基本的概念或名项之定义、基本的公理，则此所构成之一切数，与数学命题，皆可以此规则概念公理等，加以证明。凡用不同方式构成之种种数，若吾人能分别知其规则、概念名项之定义、公理，则可知其规则、概念、名项之定义、公理，之是否相类，并知此所构成之种种数，当如何加以演算，方可有共同之值；而后人于说其值之共同与否之命题，乃皆可加以证明，并证明其为由此诸公理、概念、名项之定义、规则中所可分析出者。此即数学中之公理法之所以可用。凡用公理法所证明之数学命题，亦皆可说为分析的。然一切公理法所设定之公理，必为有特定内容者，其涵义亦为有特定内容，而有其所不涵之义与排斥之义者。则此一定之公理等，所能推出之全部数学命题之系统，即仍为限于一定范围，而对此范围外之命题，则不能有所说者。若欲有所说，则须本于此公理等原所不涵之义及排斥之义，而造成系统内之矛盾。吾人即不能用此公理法，以谓任何由公理法所决定之系统之外，无其他真的数学命题。实则，自人之综合的构成数之方式，可无限定，其演算之方式，亦可无限定处看，则其次第依加一而构成之数之“数的关系”，而增加之演算方式，所成之数学公式、数学命题，即只能为一次第之综合的历程。而此中次第构成之数学公式、数学命题，亦即必有具数学的真理，而非先根据已有公理等，加以推演出或加以证明；而唯是由人之直观一数学关系之存有而构成，亦唯由人依之而演算之结果，为某一数值，而后知此公式命题之对此值为真者。数学之世界之所以可有不断之创造性的发现，恒正赖于此。如人由知二等于一加一，至知二为四之平方根与八之立方根，即对数之真理多一创造性的发现，多一综合性之思维。凡知一数为与其他数有某一关系之数，至知此同一之数又为一与其他一数，有另一关系之数，而知分别由其不同关系，以形成真的数学命题，皆是对数之真理之创造性所发见，或一综合性之思维也。

吾人若了解吾人对一数与其他数之关系之外，更可由综合的思维，以创造地发见此同一之数与另一数之另一关系，则此同一之数所有之此二关系，即不同类，而二关系中皆有此数，则为同类。数学中之创造的发见，即皆为由同类之数，以发见其不同类之关系，而由不同类之关系中，发见有同类之数之事。人在数学中，恒有只见关系之不同类，而不知其有同类之数之情形，亦有见同类之数，而不知其可入于与他数之不同类之关系之情形。故人恒于此持举某一数，而问：其与在何种之不同关系下之某其他数，可经由某一之演算方式，以见其为同类，而等待此不同关系下之其他数之呈现于人心。此正有类似于人之对现实事物，虚举虚持一数，以等待可用此数于其上之现实事物，而不知此事物之情形。但又略不同。此乃是虚举虚持一数，以等待其可能与之成为同类之某其他数，而不知此数为何之情形。此即形成一数学中之问题之情形。如吾人问：任何偶数，是否皆可分为二素数之和?此一数学之问题，即问任何偶数，是否皆有二素数之和，与之同值，而在有此同值上，与之为同类。又如问：是否有一奇数为一完全数（perfect number?）所谓完全数，即数为其一切除数之和者。如六之除数有一、二、三，而六为一、二、三之数之和，故六为完全数。又二十八之除数，有一、二、四、七、十四，而二十八亦适为此诸数之和。故二十八为一完全数。然二十八是偶数。 [5] 今问是否有一奇数，亦为一完全数?则初为人所不知，而亦只为一数学之问题。然此问题，亦即问：除偶数之为之完全数者之外，是否有奇数亦为完全数，而与偶数之为完全数者，为同类?凡此问一类之数，是否其外更有与之相类之数，皆为只直接分析此一类之数之意义，所不能加以答复，而必待人之求于其外之综合性的思维者也。

吾人以上之论数学，在根本义上实极简单，即人若纯自其数学命题已证明者上看，则对此一切已证明之数学命题之如何证明，加以反省，人皆可为之造一公理系统；而以此一切命题，皆本此诸公理、概念或符号之定义与推论原则，所演绎出之分析命题。但以数学中之命题，有未被证明而仍为真者。而人之知其为真之时，亦初非必然已有其证明者。则数学之命题，不能说为皆由此公理法，所已决定其真或假，亦非可只视之为由公理、概念符号之定义等所演绎出之分析命题。而当自吾人之可由一真数学命题，以更求知与之同为真、非由之直接推出者之命题，即见此数学中真命题之次第发见，依于一综合性的思维，亦不断有综合的真命题之形成者。至于人在数学之思维中，于一真命题，更求其证明之事，亦即不外求得与此一真命题同时为真之其他命题之结合，以见其有同一之真值，而在有同一之真值上为同类之事。今克就一真命题得证明之处以观，则凡得证明之命题，即皆如由为其前提之原始之公理等演绎出之分析命题者。于是此数学之心灵之由知数学之诸真理，更求其证明之历程，即为一“由综合不同类之命题，更求见其为同类，而为可互相分析而出之命题”之历程，而其所运之境，即为以综合与分析，交相为用，以于数学命题之不类者中，观照其相类者而成之境。而对此境中之命题，若只以之为综合命题，由直观而得，与只以之为分析命题，由逻辑之推演而出，或于其中只见有一一不相类之命题，与一一皆为同类之命题，即皆为一偏之论，而未见此数学命题之世界，为观照心所运之不类而类之境者也。

七 几何学与观照凌虚境

几何学别于数学。数学之基础在一般之自然数，几何学之基础在一般之形量。形量有范围，即有区域，区域之方向，为形向。人之知构造自然数之系列，更于一一时间之段落地位中，应用一一数于所经验之事物，与此事物之次第生起，皆是在一次第之时间历程中。人之知一物有形量，除于时间中知之外，更可同时直观一形量之全体，于空间之某一地位之中。然数之构造与应用，在时间历程中，无碍于此所构造出之数，可遍用于一切时间空间中呈现之事物，而有其超时间亦超空间的普遍意义，以为人之观照心之直接所对，而不见“数”之在时空；亦如人之直觉一形量之全体，初乃于空间之某一地位中直觉之，无碍于此所直觉之形量，可遍用于一切空间时间中呈现之事物，而有超空间，亦超时间之普遍意义，以为人之观照心之直接所对，而不见此形量之在某时空。几何学之不能说只为一空间之学，亦如数学之不能说为一时间之学，而当说为：由物在空间中邻次呈现，而人知构造种种形量，将此种种形量，自物与空间游离脱开，而四无依傍，以更观照形量间之关系之学。如数学之为由事物在时间相继呈现，而人知构造种种数，将此种种数，自事物与时间游离脱开，而观照数与数关系之学。故此中之观照心，皆在时空之上一层位运行，亦皆在吾人所谓感觉互摄境之上一层位运行，其应用此所知之数之关系与形量关系，于时空中之事物，则为其居上层位，以通至其下层位中事物之事。吾人固不可以有此事，而自下观上，以谓数学、几何学为时空之学，然亦不碍吾人之说此数学几何学之观照心灵，乃依时序、空位等，以形成其观照之所对，而更观照其关系所成之学也。

在人观照形量关系时，此形量之大小关系，似与数之多少关系相类。形量之可伸缩，如数之可加减；形量之可分合，如数之可乘除；形量之可相等，亦如数之可相等。形量之有其大小相等之关系，可容人知其关系，以定出几何公式、几何学命题，而可本之以对形量有伸缩分合之运作，以化一形量为另一形量；亦如数间之有多少相等之关系，以定出数学公式、数学命题，而可本之以对数有加减乘除之运作，以化一数为另一数。任何形量自身，至少可说是一形量；则此数之一，即可用于形量。由此而吾人如对一有大小之形量，设定另一形量为一单位，而以之计算此形量中所包涵之诸单位，即其中所包涵之诸一；则一形量之大小，即皆可以数之多少，加以表示。然任一形量中所涵之单位形量，又皆可伸缩，而变大变小，则当此单位变更之时，吾人以较少之数说之者，皆可以较多之数说之，以较多之数说之者，亦可以较少之数说之。由形量之单位之大小可伸缩，则对任一形量，皆可设定一单位，以计量之，使此形量等于一定数之某单位。任何一定之数，亦皆可由人所设定之形量单位之伸缩，而成一可以应用于任一形量之数，而任一形量，即皆可分为任何数之诸形量单位。如一形量等于一，此一形量，同时可以任何数除此一，所成之分数，表其一单位之量；而此一形量，即等于此诸单位之量之和，亦即等于再以此分数中之分母，乘此分数所成之乘积。由此而吾人可说任一形量，皆可以任何数计量之，而应用任何数以说之。此中之任何数，各为一定数，而彼此不同类。然在其可应用于一形量处，则又为同类。在单位不同之情形下，以一数分别用于不同之形量，而见此不同形量，皆可以此数计量之，而应用于其上以说之之时；则此诸形量，在形量上为不同类，而在其可以此数说之之时，即亦为同类。由此形量与数之交相为用，而一形量，即可化一切不同类之数，为同表此一形量之数之类；一数，亦可化一切不同类之形量，为同可以此一数表之形量之类。形量与数，即互为一“使不类者表现为相类者，亦使相类者表现为不相类者”，而“使类者兼为不类，不类者兼为类”之一原理。若有数而无形量，或有形量而无数；则一切数虽可由其自身之加减乘除，以由不类而类，然却不能有此由一切数之同可用以表一形量，所看出之一切数为同类；形量自身虽可由分合伸缩而成同类，亦无此由一数之可用于一切形量，所看出之一切形量之为同类。故此数与形量之交相为用，即在天地间增加一于不类见类，使类表现于不类之原理者也。

形量虽皆有数，数亦皆可用于形量，以有“形量之数”之概念；然形量之概念本身，毕竟与数之概念不同其类。数以多少关系为本，形量以大小关系为本。人说多少时，可进而知多者大，少者小，此乃化数为量之后之事。如不化数为量，不说此多者大与少者小亦可。人说大小时，亦可进而知大者多，小者少。此乃以数定量之后之事。若不以数定量，则不说此大者多，小者少亦可。人于一形量，设定一更小之单位，计其单位之数，而以数定量，乃是于一整体无内在分别之形量，造成一分别。则反之，而忘此中之单位之数，还只观之为一量，即由分别，再至无分别。故于大小说多少，即将无内在之数之分别之一大一小者之中，更起一数之分别；将多少化为大小，即将有内在之数之分别之一多一少者，化为无此数之分别者。形量不以数定之时，虽无内在分别，然一一形量之大小不同，仍有此大小所成之外在之分别。此大小等分别，在不凭数以设想之之时，即只为大者能包涵小，亦能掩盖小者，而小者不能包涵大者，掩盖大者之别。二物之大小之量，能互相包涵，亦互相掩盖者，则称为有同大同小之量或等量者。此形量，在不以数加以分别时，仍可自有其大小等之分别，即见数之分别，为人所泯除之时，形量之分别，仍不可泯除。人超越数之世界之分别之后，仍有一形量之分别所呈之世界分别在。在此义上，则形量之分别，乃较数之分别，为高一层次之分别，而更难于加以超越者。人之欲超越此形量之分别，若只取化形量为数之途，则为落到下一层之数学的几何学或量度的几何学之思想。纯由形量自身看其分别如何可由形量之伸缩分合，而成为等量，以通贯各不同之形量，而于其分别中见无分别，则为纯粹之几何学或描述之几何学，与投影之几何学之思想。此形量之世界之可视为上一层位之世界，更可由以数定量之量度几何学中，恒发现有不能以确定之有理数计之形量而说。如直角三角形之勾方加股方等于弦方。此中如设定弦方之量为四，勾方股方之量各为二。则勾股之边之长，不能以有理数计量，只能说其为 之无理数。此无理数所规定之量，则为不能确定的计算出者，此中之勾股之边，自各是一形量。其形量之乘方之和等于弦方。此乃一形量自身间之相等之关系，而可由几何学以证明其必然如此者。此中，若吾人根本不欲以数定勾股二边之长，则无此无理数之出现。吾人若分别就勾或股之量，可以任何之数定之而观，亦非必以无理数定其边之长。如吾人亦可设定勾股之边之长各为二，则二为有理数。然当吾人以勾股边之长为二时，勾方股方各为四，则弦方为八，而弦之长为8，又为无理数。人仍不能逃此一无理数之应用。此则由于在数之世界中，一数之乘方加另一数之乘方之和，不必为一确定的有理数之乘方，而此和，即无确定的有理数，为其方根；而一数之有有理数为方根者，再视之为二数之和，此二数亦不必皆有有理数为其方根之故。此乃由数之构造之原理，原非皆本于数之自乘之乘方之原理而构成，而兼依于加一数于一数或二数相乘而构成，即不能无此无理数之故。此可参考上节所说。然此无理数在数之世界中，亦有其一大小之关系。故人亦可以不同之无理数，表示不同之大小之量。故勾股之量为以 表之者，其量乃小于以 表之者。然过此以往，则无理数毕竟不能以之定一形量中之单位之数，而对人之定单位之数之目标，乃无所用者也。

此无理数，虽不能用以定一形量中之单位之数，然任何形量，可以无理数表示者，亦皆可变换其定量之单位，以有理数表示之，而可见此以无理数表示者，之等值于一以不同之单位定量，而以有理数表示之量。则数之世界中，虽有无理数，而量之世界中，则无一量之自身，可称为属于一无理数之无理量。纯自量之世界看，则一切量若不以无理数或有理数表示，其自身间，自仍有其大小或相等之关系，可由其量之相包涵与否之关系，而直接加以规定者。此即见量之世界，如浮升于数之世界之上一层位，而独立存在，以为一纯粹之几何学或投影几何学之所对。

此纯粹之几何学，可只以观种种形量之大小相等之关系为事，而构造出纯粹之形量概念，如点、线、面、体、三角形、圆形、方形、球形、立方体等，而见其相互之包涵与否等关系。依此等关系，对形量加以伸缩分合之几何学之运作，则为使各不同之形量，由不相类化为相类，由有分别以成无分别；或由相类而化为不相类，以由无分别而有分别；以使“一切形量出入于类与不类，分别与无分别之间，亦使一切不类而相分别者，皆由一无分别而相类之中而出，再还入其中”之枢纽。此正如在数学中之加减乘除之运作，为使一切数化为等值，更可由移项而相减，以等于零，而于此零中出入之枢纽。依此对形量之伸缩分合，以看一几何学心灵所运行之世界，即亦可说为一观照之境，而非可视同现实存在事物之境，亦非纯为人之主观自由构造之境，复非自为一超越的实在之境，再非只为一由几何学之概念或名项之定义公理，或推论规则，所合成之一几何学的公理法，所演绎出之一几何学的分析命题之系统矣。

此几何学心灵运行之境，非可视同现实存在事物之境，可证之于几何学中之形量，皆可用于任何现实事物，或无现实事物之处。人亦可思一形量，而虚提虚举此形量，以观照一切具此形量之事物，以至形成一以此形量之概念，观整个宇宙之哲学，如以直线进行或圆周进行观宇宙之哲学；而几何学中之概念内容，更明非必现实事物之所实有。几何学中之点线面体之概念，可纯由吾人之几何学的心灵，由任一设定之有量之形为起点，而依一定规则，向不同方向之空间伸展或缩进而形成。如由一点直向一方向前伸，而成直线；环绕而成圆，再将一直线向另一方向，平等横伸成面；纵伸此面成体，再缩此体成面，缩面成线，缩线成点。此皆人之所不难设想而理解之构成几何学概念之历程也。

然人之先胶执于现实事物之形量，以观此诸几何学概念之形成者，恒欲于现实事物之形量中，求此诸概念如何自其所观得之现实事物之形量中，次第抽象构造而出，则可有种种之问题。如先谓现实事物，皆是一有形体者，则面线点皆只是由形体中抽象而出者。然人如何可由一有体之形体，抽象出一无体之面、无宽之线、无长之点?自有体之形体之物抽出者，岂不可仍只有一有形体者?又吾人如何可想像无体之面、无宽之线、无长之点之存有，亦是问题。于是有哲学家谓此纯面线点，只是一极限之概念。此一极限处之面线点等，只是吾人可次第向之接近，而永不能接触者。如数学中之谓在有无穷次序之实数之全部系列之中，无论吾人如何向其极限进行，以求一与此极限之数差别更小之数，总有一与此极限之数，差别更小之正数。如前一数在此数之系列中之次序，可以n表之，即总有大于n之n次序之数，其与此极限之数之差别更小者。由此而人可说：对任一无论如何小的为正数之实数e言，皆有一大于此一正数之次序之整数n之次序n之实数，属于此系列之一项，可名为a n 者，其与极限之数之差别，更小于此e者，为极限之定义 [6] 。由此而人可说，面是吾人在体之一度量上，次第缩减，所辐辏之一极限，线或点为在其二度量，或三度量上次第缩减之一极限，而实皆永不能达之一极限，即皆唯是一虚构，以表此诸极限者。在实际世界中，固无无高之面，无无高与宽之线，亦无无长宽高之点也。然此说唯由人之必由有形体之现实事物之思维，以理解此几何学中之概念而形成。其意唯在对此诸概念，由其与现实事物之形体之关系处而了解。故转使人觉多曲折而难于了解。实则此诸概念，皆可循上文所提及之意，谓由人之几何学的心灵，以任一形量为一运动之始点，以形成。此任一形量为一运动之始点，即是点。其向一方向而伸，即成一直线，再将此直线，向另一或二方向而伸，即成面、成体；可伸者，即可缩，而再复其原。则体自可缩为面、为线、为点，而此点即原初之伸之始点。此始点，初可正为一有形量之物。然此中之线面体等，乃依于人之以此有形量之物，向一方向或二方向或三方向，而伸之所成，则初不关此有形量之物之自身。此中之线、面、体，即所以表此伸之为向一方向，或二或三方向等，而非表此为始点之有形量之物。则其由伸而缩，所缩者亦是此诸方向之伸，而缩回至一点，无向任何方向之伸，即无向任何方向伸而成之长宽高之量，而只有无长宽高之量之无量之量。此一点之无量之量，可称为一量，如零数之可称为一数。此一点之量之可称为无一切量，亦如零数之可说为其中无一切数。吾人之理解零之数，乃透过其中无其他数而理解，吾人之理解点之量，亦透过其中无其他形量而理解。然若自始无数之成，更观其被减而消除，则亦无零。若自始无形量之伸，而更观其被缩而消除，亦无长高宽之量之点。在此义上，零即为通过数，而消除数之数，而无数者，点即为通过形量，而消除形量之量，而无量者。故吾人可由零以观照其所以成零之故，在数之被消除；亦如吾人之可由点以观照其所以成点之故，在形量之被消除。零可为观一切数之相消除之一观点，如点之可为观一切形量之相消除之一观点。以零定事物之数，则事物之为零类者，非事物；以点定事物之量，则事物之只为一点者，亦非事物。存在之事物之量之不得为点，亦如存在之事物之数，不得为零。此亦同时证明此点与零之非具体事物，而只存于观照此零与点，或以之为观点，以观一切形量与数之相消除之心灵中者也。

此几何学中之概念如点线面体等，固由人心之构造而出。然既构造出，其间又有一定之必然关系，为一切人心或有心能观照之者，所同可次第知者。此必然关系，即有其客观意义。故人之循此点线面体之关系，有此客观必然意义看时，即可视此点线面体与其关系，合成一超越实在的形量关系之世界。然此说之不能立，亦正如数学中之超越实在论之不能立。因此点线面体与其关系，可为有心而能观照之者，所共次第知，而对之为客观必然，并不能证明其能离此次第知之之心灵，而独立为实在。其客观必然，亦唯对此知之之心灵之主体，为客观必然。至于其所以不能自成一客观实在之形量关系之世界之故，亦可自此中之形量关系，其非相等者，必有一互为对反关系相等者，则可互相包涵，亦互相掩盖，而相消除处说。盖凡有互为对反之关系之形量，人皆可循其一关系之反关系，对之加以伸缩分合，而还至一形量，以消除其与他形量之此关系。任一形量与其自身之形量相等者，则皆可以其自身之量减其自身之量，而使之成无量之一点。此正如数之不相等者，必有反关系，其相等者可由相等而相减以等于零。一数与他数有对反关系者，皆可循此反关系，以对他数加减乘除，以还至一数之自身；更以此数自减其自身，以等于零。零可说为数而无数者，点可说为量而无量者。无数，则无数之关系之独立实在，无量，则亦无一切量之关系之独立实在，而皆不可自成为一超越的客观实在矣。

复次，几何学亦不可只视为本几何学之概念、名项之定义、公理、推论规则，所成之公理法，所演绎出之一几何学命题或几何学公式之系列，亦不可说几何学命题皆分析命题。此概念、名项、公理、规则，乃人本其已有之几何学公式或几何学命题，而更反省其所自形成时之所发现。既发现之之后，更本之推演，自可再得此诸公式命题，而见其为分析的。然几何学之思维，初自为一“发现一形量与其他形量之关系，而见在不同关系下之不同形量，可由其伸缩分合，以成同一形量”之综合的历程。谓一形量与其他形量，有某关系，必对此一形量，加以一“关系于他形量”的宾词。此即对此形量之意义，有一增加的了解，而形成一对此形量之综合的命题。人谓一形量同时与其他形量有不同关系，即可同时循此不同关系，以同时建立不同的几何学公式或几何学命题，而使人可由其一之真，以见及另一之真，亦为一综合之历程。如吾人由直角三角形之弦之平方，而知其等于勾之平方加股之平方之量，显然为一综合的历程。此直角三角形中之勾股定理，在几何学中有种种之证明法。此证明之事，似皆为就已有之前提而分析出之事。然吾人亦非必须经此分析，然后能知此弦方与勾股方之和，有此等量关系。此等量关系，可初只由直觉之综合而得。此如二对角之相等，非必须由吾人之知此二对角皆为平角之减一角而成，方知其相等，乃人为原可直觉其对称而知其相等者。在直角三角形之形成中看，吾人可说直角三角形之弦，即由勾之线之一端，向股之线所定之股方向，运动伸展以达股之线之一端而成。吾人又可先设定勾股弦之线，各与其平方同时展现，则当人初只见有勾之线时，只有此勾之平方之展现。唯当此勾之线之一端，向股之线所定方向，运动伸展而渐成弦时，乃有此弦之平方之渐展现。然此弦乃由人依勾之线，向股之线运动伸展而成。勾有此向股之线之运动，股之线亦即渐展现于人前，而此股之线之平方，即与此弦之平方之展现，同时展现。当人转而将此弦循股所定之方向，再缩回其运动，以再同化于勾时，此股与股之平方又全隐；则证由弦之再同化于勾，而弦之平方同化于勾之平方时，其所缩减之量，同于股之平方之量；而弦之平方之量，即必当为勾之平方之量，加股之平方之量。此则不待证明，而人亦可直观弦方等于勾方加股方之一道。而实则人如自始无此类之直观，则何以会忽然念及此弦方之有等于勾方股方之可能，而更求证明之事，即不可理解。而人在几何学中之有种种创造性的发见之公式，亦皆当初是由人之有综合性的直观一形量之可能与其他不同形量，有等量或其他关系，而后此公式之发见为可能。此则皆不能依于人之就其原所知之形量及其公式，直加分析，或本之演绎，而可有者也。

然几何学之诸公式虽由综合性的直观而后发见，然亦不碍此几何学之诸公式形成之后，人可反省出其所由成之根据，其所本之概念，名项之定义、公理、推论规则等，而以公理法加以演绎，以使之成为一分析命题之系统，如数学中之命题之皆可由公理法，以使之成由数学之公理等演绎出之分析命题之系统。然人在几何学中，可有不同之概念与公理等之设定，而有不同之几何学，如欧氏非欧氏等，亦如数学中之亦可依不同之公理等，而有不同之数学系统。不同之公理等所定之不同数学系统，可由其公理等之原始意义之同异，而加以关联，以见不同数学系统中之公式之相对应而皆真。几何学中之不同之几何学，亦可由其公理等之原始意义之同异，而加以关联，以见不同类几何学中之公式之相对应而皆真。不同之数学系统，与不同之几何系统中之公式命题，即未尝不可互相转换，以见其有不同类之意义，而亦可有同类之意义之处。然人可依不同公理等，而有不同之数学几何学之系统，更可观其类与不类，则又见人之数学几何学之心灵，能综合地并观此不同公理等，与其所形成不同的数学几何学之系统，而位居于其上一层位；亦见任何由公理法所定之数学几何学之系统，皆不能谓其系统之外，无数学几何学之真理。然人无论如何造不同之数学系统，根柢上终不能离数之关系。人无论如何造不同之几何学系统，其根柢上不能离形量之关系。一切数之不同，皆可由加减乘除之运作，使之同；一切形量之不同，亦皆可由伸缩分合之运作，使之同。在此点上，一切数学系统即为彼此同类，一切几何学系统，亦彼此同类。在不同类之数或不同类之形量，皆可由人之运作，而使之同类一点上，数与量亦为同类也。在数学中有由减而成之负数，在几何学中有由缩而成之负量。在数学中有负数之平方根之虚数，在几何学中则凡在一坐标中，其为负号所规定之诸方向中之平方，其根之量，即皆可称为一虚量。数学中有函数。当一数为其他变数之函数时，可随此其他变数，以有不同之值，而其值可无定。而在几何学中，则有投影几何学。在投影几何学中，当一形量对一变化之形量投影，则其影亦有种种不同之形量而不定。吾人能加负数于正数，以观其数之和，即如于数减数之可归于无数之零。吾人如加相当之负量于正量，以观形量之和，即如于量减量之可归于无量之点。于一切可能有之正数，加可能有之相当的负数，则一切数归于无数之零。于一切可能有之正量，加可能有之相当的负量，则一切形量归于一无量之点。由数之可随他数，而变为任何数，一形量亦可由投影，而显为任何形量，则见一切数之可化归于一类之数，一类之数可化归于一切类之数；及一切形量可化归于一类之形量，一类之形量之可化归于一切类之形量。如人之以方形绘于眼镜之上，而一切形量投其影于眼者无不方，以圆形绘于眼镜之上，则此投影又无不圆。而就一切形量皆可由伸缩分合，使之成方、成圆而观，则任一方或任一圆之连于“对其外之一切形量之可能有之伸缩分合之事”，即可尽天下之形量，而化同之于此一方或此一圆而无余。若再缩此一方或此一圆于一点，则此一点，即虚涵一切形量之负量于其中，而可由之以观照一切形量之虚涵于此一点之中。此皆见几何学中之可化一切形量，以成为一与人心遥相距相望之观照凌虚境者也。