钦定四库全书

几何论约巻六之首

柘城杜知耕撰

界説六则

一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形如两角形之甲乙丙三角与丁戊己三角俱等其甲角旁之

甲乙与甲丙若丁角旁之丁戊与丁己余两等角旁之各两线其比例俱等则两角形为相似之形依显平边角形皆相似之形

二界两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形如两方形之甲乙与戊己若己庚与乙丙而彼此互为前后率则此两形为互相视之形依显两角形之壬子与丑寅若丑卯与壬癸则两

形亦为互相视之形

三界理分中末线一线两分之其全与大分之比例若大分与小分【此线为用甚广至量体尤所必需古人目为神分线也】

四界度各形之髙皆以垂线之亘为度如甲乙丙角形作甲丁垂线即甲丁为甲乙丙角形之髙度

五界比例以比例相结以各比例不同理而相聚为一比例则用相结之法借象之术合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为相结如甲乙丙三几何甲二倍于乙乙三倍于丙而求甲与丙之比例则以二倍乗三倍得甲六倍

于丙也若丙为第一甲为第三亦以二乗三得丙反六倍于甲也若四率则先以前三率之两比例结为一比例复与第三比例相结也若五率则以第一第二第三率之两比例相结以第三第四第五率之两比例相结又以此所结之两比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此曷谓借象如前所説三几何二比例皆以中率为关纽畧如连比例之同用一中率也有不同理二比例而异中率者是不同理之断比例也无法可结当别立三几何二比例而同中率【以中率当第二又当第三】乗除相结依仿求之如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前之前四为后之后三与二为前之后后之前所谓异中率也欲乗除相结无法可通矣用是别立三几何则三其八得二十四为前三其三得九为前之后即以九为后之前以求九与何数若二与四得十八为后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八也三比例以上仿此逓结之

六界平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线如甲丁形不满甲乙线而丙乙半线上无形即作甲己满甲乙线上方

形则甲丁为依甲乙线之有阙方形而丙己为甲丁之阙形又甲丙线上作甲己形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之?余方形而丙己形为甲己之余形