钦定四库全书
几何论约巻三
柘城杜知耕撰
一题
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
垂线平分于己即己为圜心
糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
二题
圜界任取两防以直线相聨则直线全在圜内
三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
线为两平分不得俱为两平分
五题
两圜相交必不同心
六题
两圜内相切必不同心
七题
圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一防为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
八题
圜外任取一防从防任出几线其至规内则过心线最大余线愈离心愈小其至规外则过心线最小余线愈近径愈小而诸线中止两线等
解曰乙己壬圜之外从甲防任出几线其一过心为甲壬余为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于离心之甲庚甲庚又大于甲
己三言规外之甲乙为乙壬径余
者最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
九题
圜内从一防至界作三线以上皆等此防必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
十题
两圜相交止于两防
十一题
两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
抵圜界必至甲
十二题
两圜外相切以直线聨两心必过切界
十三题
圜相切不论内外止以一防
十四题
圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心逺近亦等又言两
线距心逺近等则两线亦等
十五题
径为圜内之大线其余线近心大于逺心
解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊逺心线为丙丁题言甲己最大
乙戊近心大于丙丁逺心
十六题
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线鋭角
论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
糸戊甲线必切圜以一防
増题有两种几何一大一小以小率半増之逓増至于无穷以大率半减之逓减至于无穷其元大者恒大元小者恒小如戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大别以庚癸庚子分壬庚
辛角愈分愈小然直线角恒大切邉角恒小乃至终古不得相比
又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论若用以律本题即不可得故今斥为不公论如甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向己其所经丁
戊己及中间逐线所经无数凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角终无相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论
十七题
设一防一圜求从防作切线
法曰甲防求作直线切乙丙圜其心丁先从甲作甲丁直线截圜界于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁线而截乙丙圜于丙末作甲丙线为所求
论曰甲丙丁与戊丁乙两角形各等戊乙丁既直角则甲丙偕丙丁半径亦直角故甲丙为切线十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线
十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线内
二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言
乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰从甲作甲戊线其甲丁乙形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等【一巻五】而乙丁戊外角与相对两内角并等【一巻三二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰丁甲丙形两腰等则两角亦等而乙丁丙外角与甲丙两内角并等是乙丁
丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角之外而甲乙截丁丙者曰乙甲丙负圜角乙丁丙分圜角自甲作甲戊过心线依前论推显戊丁丙分圜角倍
大于戊甲丙负圜角又戊丁乙分圜角倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角于戊甲丙角减戊甲乙角所余乙丁丙分圜角必倍大于乙甲丙负圜角
増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或大于半圜则心外余地亦倍大于同底之负圜角
论曰作甲戊过心线即心外余地
分为乙丁戊戊丁丙依前论推显
此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊
于丁甲乙丙圜分丙任作
丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
论曰若函心大分所作如第一图则依丁丙作丁戊丙分圜角此角既倍大于甲角又倍大于乙角是甲乙两角自相等或半圜分所作如第二圗则依二十题増言心外余地倍大于同底各负圜角即各角自相等或不函心小分所作如第三图则作戊丙戊丁两线再作乙庚甲己两过心线丁戊己己戊丙两角并既倍大于丁甲丙角而丁戊庚庚戊丙两角并又倍大于丁乙丙角则甲乙两角必自相等
二十二题
圜内切界四边形毎相对两角并与两直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有
甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙
丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等【本卷二一】依显丙甲丁丙乙丁两角亦等【以同负丙乙甲丁圜分故】则甲乙丁丙乙丁两角并【即一甲乙丙角】与甲丙丁丙甲丁两角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲两角并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等【一巻三一】则甲乙丙丙丁甲两角并亦与两直角等依显乙丙丁丁甲乙两角并亦与两直角等二十三题
一直线上作两圜分不得相似而不相等
二十四题
相等两直线上作相似两圜分必等
二十五题
有圜分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线视丁乙甲角或大或小或等于丁甲乙角若等即丁为圜心
何也两角等则对等角之乙丁丁甲两邉必等又丁丙元与甲丁等是从丁出三线至圜界皆等故丁为圜心
次法曰若丁乙甲角大于丁甲乙角当为圜之小分即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引
乙丁线与甲戊线遇于戊即戊为圜心
论曰试作戊丙线成甲丁戊丙丁戊相等两角形而甲戊戊丙两线必等又戊乙甲戊甲乙两角等而对等角之戊乙戊甲两线必亦等今戊甲戊乙戊丙三线至界皆等故戊为圜心
后法曰若丁乙甲角小于丁甲乙角甲乙丙当为圜之大分即作乙甲戊角与丁乙
甲角等而甲戊遇丁乙线于戊即戊为圜心论曰试作戊丙线依前推知甲戊与戊丙等又与戊乙等是从戊至界三线皆等而戊为圜心増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两线聨之各平分于丁于戊从丁戊各作垂线相遇于己即己
为圜心
用法圜界上任取四防各为心相向作界线两两相交为戊己庚辛各作直线交于
壬即壬为心
二十六题
等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心
为庚为辛有甲庚丙丁辛己两乗
圜角等或甲乙丙丁戊己两乗圜角等题言所乗之甲丙丁己两圜分亦等【乗圜角之在心即分圜角在界即负圜角随类异名】
二十七题
等圜之角所乗圜分等则其角或在心或在界俱等増题从此推显有甲丁乙丙两直线不相交而在一圜之内若甲乙与丁丙两圜分等则甲丁乙丙两线必平行若两线平行则甲乙
丁丙两圜分必等
二十八题
等圜内两直线等所割圜分大与大小与小各等
二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
三十题
有圜分求两平分之
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次平分于丁作乙丁垂线即
分圜分为两平分
三十一题
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙角为直角二言负大分之乙甲丙
角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚【谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角】大圜分角大于直角后言丙乙辛【谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角】小圜分角小于直角
耕曰试作乙壬过心线其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙负圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬负圜角甲丁壬壬丁丙两角并与两直角等则甲乙壬壬乙丙两角并必为一直角矣【本巻二十】
次论曰试作甲壬线成乙甲壬角与甲乙丙直角等而乙甲丙为其分故小于直角
三论曰甲乙戊丙四边形在圜内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙必大于直角
四论曰甲乙丙直角为丙乙庚大圜分角之分则丙乙庚角大于直角
后论曰试引甲乙线至已成丙乙巳直角而丙乙辛角为其分故小于直角
一糸凡角形之内一角与两角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等而甲丙乙内角又与外角等【一巻三二】
非直角而何
二糸大分之角大于直角小分之角小于直角终无等于直角
三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙
己戊两负圜角题言甲丙戊角与丙己戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰甲丙戊乙丙戊两皆直角【一巻十八】而丙己戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本卷】故交互相等
后论割圜线不过心者曰试作丙庚过心线次作戊庚线相聨丙戊庚为直角【以负半圜】
【故】即戊丙庚戊庚丙两角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各减同用之戊丙庚角即所存甲丙戊与戊庚丙等也而丙己戊与丙庚戊元等【以所负之圜分等故】故甲丙戊与丙己戊交互相等又丙丁戊巳四边形之丙丁戊丙己戊两对角并等两直角【本巻二二】而甲丙戊乙丙戊两交角并亦等两直角【一巻十三】此二率各减一相等之甲丙戊丙己戊则所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
三十三题
一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜角与丙等或直或鋭或钝若直角即
平分甲乙于丁以丁为心甲为界作半圜内作乙戊甲即直角【本巻三一】
次法曰若设丙鋭角先依甲乙线作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲
丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与戊甲线遇于己即以己为心甲为界作甲庚乙圜圜内依甲乙线作甲庚乙鋭角即与丙等论曰甲戊线过己心又为丁甲之垂线丁甲线必切圜于甲【本巻十六之糸】则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等
后法曰若设辛钝角依甲乙线作壬甲乙钝角与辛等余仿次法作甲癸乙钝角与辛等
三十四题
设圜求割一分而负圜分角与所设角等
法曰设甲乙丙圜求割一分作负圜角与丁等先作戊己线切圜于甲次作己
甲乙角与丁等末依甲乙线作甲丙乙角与丁等论曰己甲乙与甲丙乙两角交互相等【本巻三二】三十五题
圜内两直线交而相分各两分线矩内形等
解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心
交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内形等若俱过心其各分四线等即两矩内形亦等
先论曰圜内线独丙丁过心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊试从心作己乙线其丙丁线既平分于己又任分于戊即丙戊
偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等【一巻四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊两线等故】 也
次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即平分甲乙线于庚次从心作己庚己乙两线即己庚为甲乙之垂线其丙戊偕戊丁矩内形及己
戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】己戊上方形与己庚庚戊上两方形并等【一巻四七】己乙上方形与巳庚庚乙上两方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上两方形并与己庚庚乙上两方形并等次毎减同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等【二巻五】此相等两率毎减同用之庚戊上方形则所余两矩内形等矣
后论曰甲乙丙丁两线俱不过心
相交于戊或一线平分如上图或
俱任分如下图皆自戊作庚辛过心线依上论推显甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁两矩内形皆与庚戊偕戊辛矩内形等即两矩内形自相等
三十六题
圜外任取一防从防出两线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内形与切圜线上方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
先论丁甲过心者曰试作乙戊为乙丁之垂线其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并与戊丁上方形等【二巻六】又戊丁上方形与戊乙丁乙上两方形并等【一巻四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并与戊乙丁乙上两方形并等毎减同用之戊乙上方形则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
后论丁甲不过心者曰试平分甲
丙于己次从戊心作戊己戊丙戊
丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线戊己为甲丙之垂线其甲丙线既平分于己又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并与己丁上方形等【二巻六】次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形并与己丁戊己上两方形并等夫己戊丙己上两方形并与戊丙上方形等又戊己己丁上两方形并与戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
与戊丁上方形等又戊丁上方形
与丁乙及等戊乙之戊丙上两方
形并等每减同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎
一糸若从圜外一防任作几线各全线偕规外线
矩内形俱等
论曰各矩内形俱与乙丁线上方形等即
各矩内形自相等
二糸从圜外丁防作丁甲丁乙两切圜线两线必相等
论曰两线俱与丙丁偕丁戊矩内形等即两线自相等
三糸从圜外一防止可作两直线切圜
三十七题
圜外任于一防出两直线一至规外一割圜止规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内形与至规外之线上方形等则止规外之线必切线
解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内
而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等题言丁乙必切圜线【同前题反言之】
几何论约巻三