钦定四库全书

几何论约卷二

柘城杜知耕撰

一题

两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等

解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等

论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等

二题

一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等

三题

一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙

矩内形及甲丙上方形并等

论曰甲己为元线甲乙偕分线甲

丙矩内形甲丁为分线甲丙上方

形丙己为甲丙偕分余线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等

四题

一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等

解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙

两矩内形并等

论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚

庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等

糸凡直角方形之角线形皆直角方形

五题

一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等

解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙

上方形丙辛辛己为两余方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等

六题

一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等

解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等【一卷】

【四三】即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等

七题

一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用

一分线甲丙上两方形并【不论甲丙

为大分为小分】与甲乙偕甲丙矩内形

二及分余线丙乙上方形并等

论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题

一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分余线上方形并与元线偕初分线上方形等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等

论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形

等甲乙偕丙乙上方形即癸己

全形也

九题

一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并

解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分余线

丙丁上两方形并

论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二

皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题

一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并

解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并

论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线

与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣

十一题

一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等

法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分余大线上方形等先

于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求

论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形又与戊甲甲乙

上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线详六巻三十】

十二题

三边钝角形其对钝角边上方形大于余邉上两方形并其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二

解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从余角下一垂线

与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙邉上方

形大于甲乙乙丙两邉上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二

论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等【本卷四】

甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形

及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也

十三题

三邉鋭角形其对鋭角邉上方形小于余邉上两方形并其较为鋭角旁任用一邉偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内形二

解曰甲乙丙鋭角形从甲角向对邉乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对

丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二

论曰乙丙线任分于丁即乙丙及丁丙上两方形并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等【本卷七】又甲丙上方形与甲丁丁丙上两方形并等若甲丙乙丙上两方形并必与乙丙偕丁丙矩内

形二及甲丁乙丁上两方形并等又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形

并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣

十四题

有直线形求作直角方形与之等

法曰甲无法四邉形求作方形与

之等先作乙丁形与甲等而直角

【一巻四五】任以丁丙邉引之至己令丙

己与乙丙等次平分丁己于庚其庚防若在丙则乙丁即是方形若在丙外即以庚为心丁为界作丁辛己半圜末于乙丙线引长抵圜界于辛即丙辛上方形与甲等

论曰自庚作庚辛线庚辛上方形与庚丙丙辛上两方形并等又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形【即乙丁形】并等【本巻五】此二率毎减去同用之庚丙上方形所存乙丁形与丙辛上方形安得不等

増题若先得方形之对角线所长于本形边之较而求本形边其较为甲乙先于甲乙上作甲丙方

形次作乙丁对角线引长至

戊令丁戊与甲乙等即得乙

戊线为所求

论曰依乙戊线作戊庚方形次引乙甲线至己末作戊甲线其己甲丁己戊丁两角必等【两皆直角】同减去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲两角亦等角等则己甲己戊两腰必等故乙己角线大于戊己边之较为甲乙

耕曰前论止言当然而未及所以然今补一论以明之另作辛壬为乙己角线上方形次作癸子丑寅两形皆与庚戊等错综加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形凡两方形并与角线上一方形等【一卷四七増】则丑子一形必与两缺形并等次作辛未为卯午缺形之角线而辛未上方形必亦与两缺形并等则丑子形之未丑邉与辛未线必等夫午未为方邉小于角线之较与上圗甲乙等即与上圗丁戊等未丑与辛未等即与上圗丁乙等故并两线为方边

几何讑约巻二