<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷三十三
宣城梅文鼎撰
筹算六之七
开方捷法
勿庵氏曰亷隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹之下而合商之则亷隅合为一法而用加捷矣存前法者所以着其理用捷法者所以善其事
平方
法曰如前列实从单位作防每隅位防之以求初商【初商列位有常法进法俱如前】既得初商即倍根数为亷法【亦同前法】以亷法数用筹【亷法几位用筹几根】列于平方筹之上为亷隅共法【或省曰次商法】合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者或略少者减实以得次商【以本行内方根命之】
三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上为亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之实而得三商四商以上仿此求之
解曰隅者小平方也故可以平方筹为法 亷之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于亷之下则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法
【何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方亷法是初商倍数其位同初商故大于隅一位】
凡初商减积尽最上一防故最上一防者初商之实也次商减积尽第二防故第二防以上次商之实也三商减积尽第三防故第三防以上三商之实也推之第四防为四商之实第五防为五商之实【以上并同】
审空位法曰若次商之实小于亷隅共法之第一行【凡筹第一行最小数也】则知次商是空位也【不能成一数故空】即作圈于初商下以为次商 乃于亷法筹下平方筹上加一空位筹为亷隅共法以求三商【若空位多者另有简法见后】三商实小有空位并同
假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺问每面若干
列位 作防
如图防在次位以二千四百
万为初商实
视平方筹有小于二四者是
一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺【有四防故初商是千而有次商】
次以初商四千尺倍之得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法
以第二防余实八百九十九万为次商实视筹第九行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一万尺
【此所减首位不空故对位书之】
次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八两筹列平方筹上为廉隅共法 以第三防上余实九八九九为三商之实
合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减余
实八十九万○一百
尺
【首位不空故亦对位书之】
次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法
以第四防上余
积九九八九九
为四商之实
合视筹第九行
积八九九○一
小于实商九尺
减余实八万九
千九百○一尺
不尽九千九百九十八尺
开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数得九千九百九十九为命分
凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八
右例可明四以上用常法之理葢积所少者不过万分之一不能成五数之方而其法迥异
加空筹式
假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六问每面若干
列位 作防
如图防在次位以一千六百万
为初商实
视平方筹有一六与实同其方
四商四千尺减积一千六百万尺【凡余实必在商数下一位起倘空位则作圈补之后仿此】 次以初商四千尺倍得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法【筹见前例】
以第二防上余实○七七为次商实
筹最小数是○八一【第一行数】大于实
不及减是商数无百也
乃于初商四千下作一圈以为次
商【减去实中○位】 次如上图加一空位筹于次商亷法之下平方筹之上为三商亷隅共法
以第三防上七七七二为三商实
视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七十二万八千一百
次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉法
去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉隅共法
以第四防上四九一一六为四商之实
合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一百一十六尺恰尽
凡开得平方四千○九十六尺
假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每面若干
列位
作防
如后图防在首位以○九亿步为初商实
视平方筹有○九与实同商
三万步【五防故初商万】减积九亿步
次以初商三万步倍之得六
万步用第六筹加平方筹上为次商法【即廉隅共法】 以第二防上为次商之实视实三位俱空无减知商数有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位则于原实内销一圈【凡续商之实必下于前商之实一位故虽○位必减去之以清出续商之实】而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇觉碎杂故改用又法
又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上皆连作圈而径求后商如此余实有三圈皆无积可减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作圏合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销去三圈如后图
此即次商三商四
商合图也
次加三空筹于平亷【第六筹】之下平方之上为五商亷隅共法 径以第五防上一八○○○九为五商实
视筹第三行数与余实合商三尺
除积一八○○○九恰尽
凡开得平方三万○○○三步
又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干列位 作防
如图防在次位以二千五
百万尺为初商实
视平方筹有二五与实同
其方五商五千尺减积二千五百万尺
次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为廉法【凡商得五数则原带有空位】列平方筹上为次商法 实多空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此以上俱无商数也于是于初商五千下作两圏如后图
此次商三商合图也【原实上减两圏商数下加两圏】
如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之上为四商法
以○七○○四九为四商实【次商三商之两防已销故径用第四防】
视筹第七行相合商七尺减实
恰尽
凡开得平方五千○○七尺
又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干列位
作防 如图防在次位以五十六万为初商实
视平方第七行是四九小
于实商七百尺除实四十
九万
次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平方筹上为次商法 以第二防上○七三五为次商实
合视第五
行是○七
二五小于
实商五十
尺减去余
积○七万
二千五百
尺
次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三防上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺乃于商数未作一圏以为三商其不尽之数以法命之
凡亷隅共法筹第一行数即命分
也葢能满此数即成一单数矣
凡开得平方七百五十○尺又一
千五百○一之一千○○○约为
三之二弱
立方
法曰如前列实隔两位作防以求初商既得初商即以初商数自乘而三之为平亷法【即方法】以平亷法用筹列于立方筹之上【借立方筹为隅法也】为平亷小隅共法别以初商数三之而进一位为长亷法【即亷法】以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长亷数下加一空筹以合进一位之数】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】为次商之法即截取初商下一位至第二防止为次商之实法除实得次商【视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积用其根数为次商】次以次商之自乘数【即大筹立积下所带平方积数】与长亷法相乘【以平方数寻长亷筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商总积以此总积减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而止【因亷积或大有不及减者】
三商者合初商次商数自乘而三之为平亷法以其数用筹列方筹上为平亷小隅共法
别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位筹列立方筹下为长亷法
截取次商下一位至第三防为三商之实共法为法除之以得三商【其积为共积】 次以三商自乘数与长亷法相乘得数加入共积为三商总积 减实【又一法长亷法不必加空位筹得于得数下加一圏即进位也】
四商以上仿此
解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平亷之数每大于隅二位今以立方筹为隅列于平亷下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平亷小隅可合为一法 长亷之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘之又长亷之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也
【何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也曰平亷者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十则百数矣隅积者次商本位也故平亷与隅如百与单相去二位也若长亷只是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也】
凡初商积尽于上一防故上一防为初商实次商积尽于第二防故第二防以上为次商实推之三防为三商实四防为四商实以上并同
审空位法曰若次商之实小于平亷小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长亷积则次商是空位也即作圏于初商下以为次商乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长亷法下又加一空位筹【并原有一空位筹共两空位筹】为三商长亷法【又法长亷不必加空筹但于得数下加两圏】 若商数有两空位者平亷小隅筹下加四空位筹长亷积下加三圏
解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单而平亷者初商之自乘百乘百成万故平亷与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也【平亷原大二位加二空筹则大四位矣】初商与三商既如百与单则长亷与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也
初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法今各存一例于后
假如有立方积六百八十五万九千尺问每面若干列位 作防
如图防在首位以○○六百
万为初商实
视立方筹有小于○○六者
○○一也其立方一商一百尺【三防故初商百】减积一百万尺次截取第二防上五八五九为次商实
以初商一百尺自乘得一万尺而三因之得三万尺为平廉法用第三筹列立方筹上为平廉小隅共法
别以初商一百尺三而进位得三百○十尺为长廉法
列立方筹下视平隅共法筹第九行是三四二九小于实商九十尺
次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○以加共积得五百八十五万九千为次商九十尺之积除实尽
次商十宜有三商而除实已尽是方面无单数也凡开得立方每面一百九十○尺
假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七万○五百九十二尺问方若干
列位
作防
如图防在第三位以一
千二百八十亿为初商
实
视立方筹内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺【四防故初商千】减积一千二百五十亿
次截取第二防上○三六三四为次商实
以初商五千自乘得二千五百万而三之得七千五百万为平廉法用七五两筹列立方筹上为平廉小隅共法别以初商五千尺三而进位得一万五千○百尺为长亷法用筹列立方筹下
视共法筹第一行是○
七五○一大于实不及
减知次商百位空也于
初商下作一圏为次商【原实上减一圏】
乃截第三防三六三四六七○为三商实
次于平亷筹下立方筹上加两空位筹为平亷小隅共法
于长亷筹下又加一空位筹【原有一空位筹共二空位】为长亷法
视共法筹第四行
是三○○○○六
四小于实用为共
积商四十尺 以长廉法与四行之平方一六相乘得二四○○○为长廉积加入共积得三○二四○六四减积三十○亿二千四百○六万四千尺次以商数五千○四十自乘得二千五百四十○万一千六百尺而三之得七千六百二十○万四千八百尺为平廉法列立方筹上为平隅共法别以商数五千○四十尺三而进位得一万五千一百二十○尺为长廉法列立方筹下
乃截第四防
六一○六○
六五九二为
四商之实
视共法筹第
八行六○九
六三八九
一二小于实
商八尺以长亷法与第八行平方六四相乘得九六七六八○为长亷积以加共积得六一○六○六五九二除实尽
凡开得立方每面五千○四十八尺
右加两空筹例
假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四万三千○二十七尺问每面若干
列位 作防
如图防在第三位以七
千二百九十亿为初商
实 视立方筹方九之
积七二九与实同商九千尺减积七千二百九十亿【四防故初商千】次截第二防○○○七二九为次商实以初商九千尺自乘八千一百万尺而三之得二亿四千三百万尺为平亷法列立方筹上为平亷小隅共法别以初商九千尺三而进位得二万七千○百尺为长亷法列立方筹下 视共法筹第一行是○二四三○一大于实不及减知次商百位空也于初商九千尺下作一圏为次商【原实上减去一圏】乃于平亷筹下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法于长亷筹下又加一空筹得二七○○为长亷法 截取第三防○○七二九二四三为三商实 视共法筹第一行是○二四三○○○一大于实仍不及减知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圏为三商【原实上又减去一圏又法实多空不必挨商但寻至不空之界如○七乃与平亷相应即于○七之上初商之下作连圏为次商三商而于原实中销两圏】
此次商三商合图也
乃于平亷筹下立方筹
上又加两空筹【共四空筹】为
平亷小隅共法 其长亷筹下又加一空筹【共三空筹】得二七○○○为长亷法【或不必加筹只于得数下加三圏亦同】
截取第四防○七二九二四三○二七为四商实
视共法筹第三行是○七二
九○○○○二七小于实商
三尺 以长亷法与第三行
平方○九相乘得二四三○
○○为长亷积以加共积得
○七二九二四三○二七除实尽
凡开得立方每面九千○○三尺
右加四空筹例
开方分秒法【筹算七】
勿庵氏曰命分古法也然但可以存其不尽之数而已若还原则有不合故有分秒法以御之也虽亦终不能尽然最小之分即无关于大数视命分之法不啻加宻矣
平方
法曰凡开平方有余实不能成一数不可开矣若必欲开其分秒则于余实下加二圏【原实一化为一百分】如法开之所得根数是一十分内之几分也或加四圏【原实一化为一万分】如法开之所得根数是一百分内之几分也或加六圏【原实一化为一百万分】如法开之所得根数是一千分内之几分也如此递加两圏则多开得一位乃至加十圏【原实一化为百亿分】其根数则十万分内之几万几千几百几十几分也
假如平方积八步开得二步除实四步余四步不尽分秒几何
法于余实下添两圏则余实四步
化为四百○○分为次商之实
依捷法以初商二步倍作四步为
亷法列平方筹上为亷隅共法简
筹第八行积三八四小于余实次商八分除实三百八十四分开得平方每面二步八分不尽一十六分再开之
又于余实下加两圏则余实一十六分化为一千六百○○秒为三商之实
依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第二行积一一二四小于余实商作二秒除实一千一百二十四秒共开得平方每面二步八分二秒不尽四百七十六秒
此单下开两位式也所不尽之数不过百分之四若欲再开亦可得其忽防如后式
还原以二步八二用筹为法又以二步八二列为实而自相乘之得七万九千五百二十四分加不尽之分四百七十六共八万乃以一万分为一步之法除之【当退四位】仍得八步合原数
解曰此以一步化为百分故其积万分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化为一百分则是横一百分直一百分而其积一万分为一步
假如平方九十步开得九步除实八十一步余实○九步不尽【小分几何】
法于余实九步下加八圏则余实九步化为九亿共作五防而以第二防○九亿○○分为次商之实依捷法以初商九步倍作一十八步为亷法列平方
筹上为亷隅共法简筹第
四行○七三六略小于余
实商四千分除实七亿三
千六百万分余一亿六千
四百○○万分为第三商
之实【第三防也】
又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十八步八为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一○四略小于余实商八除实一亿五千一百○四万余一千二百九十六万分○○为第四次商之实【第四防也】
又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八步九六为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第六行一一三七九六略小于实商六除实一千一百三十七万九千六百分余一百五十八万○四百○○分为第五次商之实【第五防也】
又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九七二为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一七八二四略小于实商八除实一百五十一万七千八百二十四分余六万二千五百七十六分不尽凡开得平方每面九步四千八百六十八分【亦可名为四分八秒六忽八防】不尽一○○○○○○○○之○○○○六二五七六【即一万分之六分有奇】
虽不尽不过万分之一不足为损益可弃不用还原以九步四八六八用筹为法又为实自乘得八十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分加入不尽之分六万二千五百七十六共九十亿以一亿分为一步之法除之【当退八位】仍得九十步合原数解曰此以一步化为一万分故其自乘之积一亿何也自乘者横一步直一步之积也今既以一万分为步则是横一万分直一万分而其积一亿为一步
若依命分法则还原不合
如前例 原实八步开得方二步除实四步不尽四步法当倍每方二步作四步又加隅一步为命分命为二步又五分步之四意若曰若得五步则商三步矣今只四步是五分内止得四分也然还原有不合何也
以算明之
用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自
乘得二十五分为法【每步通作
五分横一步直一步则共得二十五分也】除之
得七步又二十五分之二十一以较原实少二十五之四
以图明之
每步作五分其羃积二十五分方二
步积四步共一百分又五之四以乘
方二步得四十分倍之为亷积八十
分又五之四自乘得隅积一十六分
共九十六分以合原余积四步该一百分少二十五分之四
以此观之实数每缩虚数常盈故命分之法不可以还原 其故何也曰隅差也何以谓之隅差曰平方之有奇零其在两亷者实其在隅者虚何也亷之虚者一面而隅之虚者两面也即如二步五之四谓五分内虚一分故不能成一歩也然试观于图两亷之四步皆虚一分【横四分直五分积二十分以二十五分计之是为于五分之中虚一分】而隅之一步虚一分有零【横四分直亦四分积一十六分虚九分以二十五分计之是为五分之中虚二分弱】则是边数二步五之数者其积不及五之四也今余积四步者实数也其边数常盈于五之四有奇也而命之曰五之四宜其不及矣然则古何以设此法曰古率常寛以为所差者防故命之也不但此也古率圆一围三方五斜七今考之皆有防差故曰寛也
愚常考定开平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而纳其子【即得分】为全数以全数自相乘得数为通积另置分毋以分子减之余数以乘分子而加之为实乃以分毋自乘为法除之即适还原数 如上方二步五之四以分毋五通二步得十纳子四共十四自乘得方积一百九十六分另以分子四减分毋五余一以转乘分子四得四即隅差也以隅差加入方积共二百分为实乃以分毋五自乘得二十五为法以除实得八步合原积
又如后例 原实九十步开得九步除实八十一步不尽九步法当倍每方九步作十八步又加隅一共十九步为命分命为九步又十九分步之九意若曰若得十九歩则加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然还原亦不合
以算明之
用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三万二千四百为实以命分十九自乘得三百六十一为法【每步十九分横十九分直十九分共得三百六十一分也】除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以较原实之九十步计少三百六十一分之九十分
若依隅差之分以得分九减命分十九余十转乘得分得九十分为隅差以加自乘通积三万二千四百共得三万二千四百九十为实乃以命分自乘三百六十一为法除之恰得九十步合原积
以图明之
甲戊丁庚形者方九步九分
之总形也通为一百八十分
积三万二千四百分以三百
六十一为步除之较原实少
九十分
内分甲丙乙巳形为初商方九步之形其积八千一歩戊乙形庚乙形次商亷积之形也长九步【通为一百七十一分】濶九分积一千五百三十九分两亷共计三千○七十八分
丁乙者小隅者横直各九分以较亷积中每一步之形【如丑乙】欠一丁癸形即隅差也
以积考之亷九步每步濶九分长一步【通为十九分】积一百七十一分隅濶九分长亦九分积八十一分少九十分为隅差
立方
法曰凡立方有余实不能成一数不可开矣若必欲知其分秒则于余实下加三圏【原实一化为一千分】如法开之所得根数是一十分之几分也若加六圏【原实一化为一百万分】所得根数是一百分之几分也若加九圏【原实一化为十亿】则根数是一千分之几分也若加十二圏【原实一化为万亿】则根数是一万分之几分也
解曰平方筹两位故两位作防而其化小分亦以两位为率葢积多两位则根数可多一位也【亷一位隅一位故两位】立方筹三位故三位作防而其化小分亦以三位为率葢积多三位则根数可多一位也【平亷一位长亷一位隅一位故三位】
假如立方积一十七步开得立方二步除八步余实九
步不尽法于余实下
加十二圈则余实九
步化为九万亿分【増
四防可加开四位】
依捷法截第二防○九○○○为次商之实 以初商二自乘【四】而三之得一十二步为平亷法列立方筹上为平隅共法 以初商【二】三而进位得【六○】为长亷法列立方筹下 简共法筹第五行积【○六一二五】小于实商五分【六行七行亦小于实因无长亷积故不用】
乃以第五行平方【二五】与长亷法相乘得【一五○○】为长亷积以加共积共得【○七六二五】是为次商五分之积以除实余一三七五以俟三商
又截取第三防一三七五○○○为三商之实 以初商次商共二步五分自乘得【六二五】而三之得【一八七五】为平亷法列立方筹上为平隅共法 以初商次商【二步五分】三而进位得【七五○】为长亷法列立方筹第七行【一三一二八四三】共法【八四三】小于实商七秒 乃以第七行平方【四九】与长亷法相乘得【三六七五○】为长亷积以加共积共得【一三四九五九三】为三商七秒之积以除实余○二五四○七以续商
又截取第四防○二五四○七○○○为四商之实以商数【二五七】自乘得【六六○四九】而三之得【一九八一四七】为平亷法列立方筹上为平隅共法 以商数【二五七】进位而三之得【七七一○】为长亷法列立方筹下简共法筹第一行【○一九八一四七○一】小于实商一忽
乃以第一行平方【一】乘长亷得【七七一○】为长亷积以加共积得【一九八二二四一一】为商一忽之积以除实余○五五八四五八九以末商
通第五防○五五八四五八九○○○为末商之实以商数【二五七一】自乘得【六六一○○四一】而三
之得【一九八三○一二三】为平亷法列立方筹上为平隅共法 以商数【二五七一】进位而三之得【七七一三○】为长亷法列立方筹下简共法筹第二行【○三九六六○二四六○八】小于实商二防
乃以第二行平方【○四】乘长亷法得【三○八五二○】为长亷积以加共积得【○三九六六三三三一二八】为末商二防之积以减实余一六一八二五五八七二不尽
凡开得立方每面二步五分七秒一忽二防【不尽之数不能成一防弃不用】
还原以二步五七一二用筹为法别以二步五七一二列为实以法乘实得六六一一○六九四四
再乘之得一十六万九千九百八十三亿八千一百七十四万四千一百二十八分
乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千八百七十二分加入再乘积共得一十七万亿以一万亿为一步之法【以一步为万分横一万直一万商一万共一万亿】除之得一十七步合原数
若依命分法则还原不合
如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除积九步余九步法当以立方二步自乘得四步而三之得十二步为平亷又以立方二步三之得六步为长亷又加【一步】为隅共【一十九步】为命分命为立方二步又十九分步之九意若曰余积若满十九步则加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今仅得九分也然还原则有不合
以算明之
用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九共【四十七分】此即所云二步又十九分之九乃立方一面之数也以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○万三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之积为法以除实得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】较原实一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】
其故何也曰长亷小隅之差也何以言之曰立方之有奇零其在平亷者实其在长亷小隅者虚何也平亷之虚者一面而长亷虚两面小隅虚三面故也今以十九分为一步其立方积【六千八百五十九分】为步法以十九分除之得每【三百六十一】为分法平亷每步【横十九分直十九分高九分积三千二百四十九】分法除之得九是为十九分之九适合命分之数也
若长亷【横九分直十九分高九分积一千五百三十九分】分法除之得四分有奇而已以较平亷九分之积【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三长亷共【六步】共少【一万○二百六十分】步法除之得一步又三千四百○一分为长亷差
若小隅【横直高各九分积七百二十九分】分法除之得二分有奇而已
以较平亷九分之积【三千二百四十九】少二千五百二十分为隅差
合亷隅两差计之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一
以图明之
丑寅为立方一步之形每步通为十九分横直高各十九分积六千八百五十九分是为步法
以十九分除步法得三百六十一分是为分法
亷隅总图【见左】
甲乙丙三平亷也纵横各方二步通为三十八分厚九分积一万二千九百九十六分三亷共三万八千
九百八十八分丁戊巳三长亷
也各长二步通为三十八分厚
濶各九分积三千○七十八分
三亷共九千二百三十四分
庚小隅也长濶高皆九分积七
百二十九分
三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内
正方形纵横各二步通为三十八分 积五万四千八百七十二分
总形方二步九分通为四十七分高如之 积一十○万三千八百二十三分 以步法除之得一十五步有奇不满原实一步又五千九百二十一分
平亷方二步其容四步即辛壬癸
子之分形也每步纵横皆一步通
为十九分厚皆九分积三千二百
四十九【辛一形积如此壬癸子者同】 以分除之适得九分
长亷长二步【如丑寅合形】通为三十八
分厚九分皆与平亷同所不同者
平亷濶十九分而长亷濶只九分
故长亷二步尚不及平亷一步之积以积计之每长亷一步【如丑形】积一千五百三十九分较平亷每步之积【如丑夘合形】少一千七百一十分【如丑之虚分夘】三长亷计六步共少一万○二百六十分是为长亷之差
小隅横直高皆九分【如未形】于平亷
一步之积不及四之一以积计之
小隅之积七百二十九较平亷一
步之积【如未申合形】少二千五百二十分【如未之虚分申】是为小隅之差 合二差共一步五千九百二十一分今考定开立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母【即命分】通其整而纳以分子【即得分】为立方全数以全数自乘再乘得数为立方通积另置命分【母数】与得分【子数】各自乘得数以相减用其余数以乘得分得数为隅差又置命分与得分相减用其余数转与得分相乘以乘命分得数是为长亷每步虚数又以长亷法乘之得数为长亷差合二差数以加通积为实以命分自乘再乘得数为法除之即适还原数如所设立方积十七步开得立方二步又十九分
之九法以分母【十九】通立方二步而以分【子九分】纳之共【四十七分】为立方全数以全数自乘再乘得【一十○万三千八百二十三】为通积另置命分【十九】自乘得【三百六十一】内减分子【九】自乘【八十一】余【二百八十分】以分子【九】乘之得【二千五百二十分】为隅差又置命分【一十九】内减得分【九】余十分转乘得分【九】得【九十分】以乘命分【十九】得【一千七百一十分】为长亷每步虚数又以长亷法【六步】乘之得【一万○二百六十分】为长亷差合二差共一万二千七百八十分以加通积共得一十一万六千六百○三分为实以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积
厯算全书卷三十三
笔算自序
或问笔算西人之法耳子何规规焉曰非也自图书启而文字兴参两倚数毕天下之能事六书九数皆原于易非二事也古人算具以筹策纵横布列略如筮法之挂扐其字象形为祘是故其纵立者一而一其上横者一而五珠盘之位实此权舆夫用蓍在立卦之后则筹策之算必不在文字先矣是故筹策之未立形声防画自足以用而筹策之所得又将纪之简策以诏方来书与数之相须较然眀也近数百年间再变而为珠盘踵事生新以趋简易然观九章中盈朒方程必列副位厥用仍资笔札其源流不可想见与故谓笔算为西人独智者非也曰今所传同文算指西镜録等书亦唐九执厯元明间回囘土盘之遗耳与中算固各有本末矣曰是则然矣然安知九执以前不更有始之始者乎西人之言厯也自多禄某以来二千年屡变而宻溯而上之亦不能言其始于何人其为算也亦若是己矣夫古者圣人声教洋溢无所不通南车记里之规随重译而四逹我则失之彼则存之乌乎识其然乌乎识其不然耶且夫治理者以理为归治数者以数为断数与理协中西非殊是故礼可以求诸野官可以问诸郯必以其西也而摈之取善之道不如是隘也况求之于古抑实有相通之故乎曰然则子何以易衡而直曰旁行者西国之书也天方国字自右而左欧逻巴字自左而右皆衡列为行彼中文字尽然也彼之文字既衡故笔算亦横取其便于彼用耳非求异于我也吾之文字既直故笔算宜直亦取其便于用耳非矜胜于彼也又何惑焉问者以为然遂书其语为序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰
发凡
笔算之便与筹算同然筹仍资笔而笔则无假于筹于文人之用尤便【笔算无歌括最便学习又无妨酬应乆可覆核皆与筹算同详筹算书】
笔算易横为直以便中土盖直下而书者中土圣人之旧而吾人所习也与筹算易直为横其理正同
笔乗原法以法实相叠殊混人目今所更定者一纵一横法实各居其所而纵横相遇处得数生焉不惟便用而已其所以然之理亦按图可知
笔除原法得数与原实相离定位易淆今所更定者法实与得数两两相对算理井然定位尤简
【所谓原法者并据同文算指乃西土之旧式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥后有西镜録等书稍稍讲明定位之用盖亦酌取中法而为之然于古人实如法而一之防似犹有隔兹以法上得零之诀定之庶令学者一望而知所兾高贤有以教之幸甚】