<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷十一
宣城梅文鼎撰
环中黍尺卷五之六
加减捷法
用加减则乗除省矣今惟用初数则次数亦省又耑求矢度省余则角之锐钝得矢自知边之大小加较即显无诸拟议之烦故称捷法
如法角旁两弧度相加为总相减为存视总弧过象限以总存两余相加不过象限则相减并折半为初数
若总弧过两象限与过象限法同【其余仍相加】过三象限与在象限内同【其余仍相减】若存弧亦过象限则反其加减【总弧过象限或过半周宜相加今反以相减若总弧过于三象限宜相减今反以相加】并以两余同在一半径相减不然则加也
总存两余同在一半径当相减折半图
乙丁丙三角形
丁为钝角
丙卯为总弧其正卯
戊余戊己 庚丙为
存弧其正庚壬余壬巳 两余同在丙已半径宜相减【壬巳余内减戊巳成戊壬】折半为初数丑壬【即甲庚亦即未酉】总存两余分在两半径当相加折半图
乙丁丙形 丁为锐角
庚丙为总弧其正弧庚
壬余壬巳 卯丙为
存弧其正卯戊余
戊已径两余分在丙巳子巳两半径宜相加【以戊巳加壬巳成壬戊】折半为初数丑戊【即甲酉亦即未卯】
三边求角初数恒为法以两矢较乗半径为实法为初数与两矢较若半径与角之矢也
一 初数【即角旁两正相乗半径除之之数今以加减得之】
二 两矢较【或两俱正矢或两俱大矢或存弧用正矢对弧用大矢】
三 半径
四 角之矢【正矢角锐大矢角钝】
角求对边则以初数乗角之矢为实半径为法法为半径与角之矢若初数与两矢较也
一 半径
二 角之矢【或正矢或大矢】
三 初数
四 两矢较【并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为大矢其对弧大不满半径为正矢其对弧小】
乙丁丙形 三边求丁角
小边乙丁【正卯辛】大边丙丁【正壬丙】 初数卯癸【两正相乗半径除之也】
今改用加减
两余相减【余房戊】折半得
丑戊即初数卯癸【与先所得同】
一系 总弧过半周而存弧亦过象限则余相减法为卯癸初数与两矢较牛乙若卯辛正【距等半径】与乙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子
一 初数 卯癸【即丑戊】
二 两矢较 牛乙【即房甲】
三 半径 寅巳
四 角之大矢酉子
若先有丁钝角而求乙丙对边则反用其率
一 半径 寅巳
二 角之大矢酉子
三 初数 卯癸
四 两矢较 牛乙
以所得两矢较加存弧大矢房丙得大矢甲丙
乙丁丙形
三边求丁角
小边乙丁【正乙辛】 大边丙丁【正戊壬】
初数戊癸
今用加减
两余相减【余辰甲】折半得辰
丑即初数戊癸
对弧【乙丙】大矢斗乙
存弧 大矢甲乙【两矢较斗甲】
法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正【距等半径】与丙庚【距等大矢】亦即若寅巳半径与角之大矢酉子
一 初数戊癸【即丑甲】
二 两矢较 斗甲
三 半径 寅巳
四 角之大矢酉子
论曰此移小边于外周如法求之所得并同其故何也先有之角及角旁二边并同则诸数悉同矣然则句股之形不同何也曰前图是用乙丁小弧之正为径分大矢之比例则所用句股是丁丙大弧之正此图是用丁丙大弧正为径分大矢比例则所用句股是乙丁小弧正故句股形异也然句股形既异而所得初数何以复同曰此三率之精意也初数原为两正相乗半径除之之数前图用大弧正偕半径为句与而小弧正用为大矢分径之比例是以大弧正为二率而小弧正为三率也今改用小弧为二率大弧为三率而首率之半径不变则四率所得之初数亦不变也又何疑焉
一系 角旁二弧可任以一弧之正为全径上分大小矢之比例其余一弧之正即用为句股比例不拘大小同异其所得初数并同
又论曰以句股比例言之则戊庚通为【即距等圏全径】戊女倍初数为句【即总存两余相加减之数】一也戊壬正为则戊癸初数为句二也丙庚为【通之大分即距等大矢】则斗甲两矢较为句【即丙房】三也丙壬为【正之分线即距等余】则斗丑为句【对弧余内减次数丑巳得斗丑亦即丙牛】四也戊丙为【正之分线即距等小矢】则午戊为句五也
以全与分之比例言之则戊庚为距等全径与寅子全径相当一也戊壬正为距等半径当寅巳半径二也丙庚如距等大矢当酉子大矢三也丙壬如距等余当酉巳余四也戊丙如距等小矢当寅酉正矢五也一系 初数恒与角旁一弧之正为句股比例其正恒为初数恒为句而其全与分之比例俱等又即与员半径上全与分之比例俱等若倍初数即与全员径上大小矢之比例等
一系 角旁两弧任以一弧之正为径上全与分之比例初数皆能与之等
若先有丁钝角求对边乙丙则更其率
一 半径 巳子
二 丁角大矢酉子
三 初数 丑甲
四 两矢较 斗甲
以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙为对弧大矢内减巳乙半径得斗巳为对弧余捡表得未丙弧度以减半周得对弧丙乙度
乙丁丙形 三边求丁角
乙丁边【九十五度】 丁丙边【一百一十二度】 乙丙对弧【一百一十九度】总弧丙未二百○七度 余辛巳 八九一○一存弧丙戊一十七度 余壬巳 九五六三○两余相加辛壬一八四七三一
初数卯亥【即半辛壬丑辛】九二三六五
对弧大矢癸丙一四八四八一
存弧正矢壬丙 四三七○
两矢较癸壬 一四四一一一
法曰卯亥【即丑辛】与癸壬若
未亥与乙戊亦必若庚巳
与甲子
一 初数 卯亥 九二三六五
二 两矢较癸壬 一四四一一一
三 半径 庚巳 一○○○○○
四 角之矢申子 一五六○二二
四率大于半径为大矢其角钝法当以半径一○○○○○减之余五六○二二为钝角余捡表得余度五十五度五十六分以减半周为丁角度
依法求到丁钝角一百二十四度○四分
论曰试作辰戊线与倍初数辛壬平行而等又引未辛【总弧正】至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸【对弧正】至寅作亥丑线引至斗各成句股形而相似则其比例等一未辰戊大句股 以辰戊倍初数为句未戊通为一乙寅戊次句股 以寅戊两矢较为句乙戊【距等大矢】为一【未卯亥亥斗戊】两小句股并以【卯亥斗戊】初数为句【未亥亥戊】正为辰戊倍初数与寅戊两矢较若未戊通与乙戊距等大矢是以大句股比小句股也
卯亥初数与癸壬两矢较若未亥正与乙戊距等大矢是以小句股比大句股也 用亥斗戊形比乙寅戊其理更着
又未戊通上全与分之比例原与全员径上全与分之比例等故三者之比例可通为一也
【一大句股截数种小句股故又为全与分之比例】
仍用全图取乙丁女形 求丁鋭角
乙丁边【九十五度】 女丁边【六十八度】 女乙对弧【六十一度】
总弧女戊【一百六十三度】余【壬巳】九五六三○
存弧女未【二十七度】 余【辛巳】八九一○一
两余并【辛壬】一八四七三一初数卯亥九二三五六
一 初数 卯亥 九二三六五
二 两矢较癸辛 四○六二○
三 半径 巳庚一○○○○○
四 角之矢申庚 四三九七七 【以减半径得丁角余入表得丁角度】
依法求得丁鋭角五十五度五十六分
辛丁乙形
三边求丁角
辛丁边五十度一十分 乙丁边六十
总弧卯辛一百一十度一十分
余庚丙二四四七五
存弧戊辛九度五十分
余子丙九八五三一
余并子庚一三三○○六
初数子午【即戊癸】六六五○三
辛乙对弧八十度
对弧矢辛酉 八二六三五
存弧矢辛子 一四六九
两矢较子酉 八一一六六
一 初数 子午 六六五○三
二 两矢较 子酉 八一 一六六
三 半径 壬丙一○○○○○
四 丁角大矢壬甲一二二○五○【用余入表得丁外角减半周得丁角度】
依法求到丁钝角一百○二度四十四分
论曰此如以日高度求其地平上所加方位也乙为太阳乙甲其高度其余度丁乙日距天顶也亥乙赤道北纬辛乙为距纬之余即去极纬度也辛壬为极出地度其余辛丁极距天顶也所求丁钝角百○二度太距正北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太阳在正东方过正卯位一十二度太
乙丙辛形 有【辛丙三十三度辛乙百卅二度】 对弧乙丙【百八度】求辛角
总弧【丙壬】一百六十五度
余【己戊】九六五九三
存弧【丙庚】九十九度
余【己甲】一五六四三 两余相减余【戊甲】八○九五○
初数甲丑四○四七五 对弧大矢酉丙一三○九○二
存弧大矢甲丙一一五六四三
两矢较甲酉 一五二五九
一初数甲丑 四○四七五
二两矢较甲酉一五二五九
三半径申巳一○○○○○
四角之矢未申三五三五二
得辛鋭角四十九度二十八分
恒星岁差算例
老人星黄道鹑首宫九度三十五分二十七秒为庚角【康熈
甲申年距厯元戊辰七十七算毎年星行五十一秒
讣行一度○五分二十七秒以加戊辰年经度鹑首
八度三十分得今数】
黄道南纬七十五度 距
黄极一百六十五度为庚
辛边 用巳庚乙三角形
【一角二边】求对弧巳乙【赤纬】
余较丁甲二○六六一
初数甲戊一○三三○
庚角正矢申酉 一三九八
一 半径 申丙一○○○○○ 大矢内减半径二 庚角矢 申酉 一三九八 取余检表得三 初数 甲戊 一○三三○ 三十八度廿三四 两矢较 甲丑 一四四 分半以减半周加存弧大矢巳甲一七八二三四 得星距北极一百得对弧大矢巳丑一七八三七八 四十一度三十六
分半为对弧巳乙
求到甲申年老人星赤纬在赤道南五十一度三十六分半【以校厯元戊辰年纬五十一度三十三分及仪象志康熈壬子年纬五十一度三十五分可以略见恒星赤纬岁差之理】
求巳角【赤经】
巳庚角旁弧二十三度三
十一分半
巳乙角旁弧一百四十一
度三十六分半
庚乙对弧一百六十五度
三边求角
余较子斗 四九五七七
初数午斗 二四七八八
对弧大矢庚亥一九六五九三
存弧大矢庚斗一四七○七六
两矢较亥斗 四九五一七
一 初数 午斗 二四七八八 大矢内减半径得二 两矢较亥斗 四九五一七 余检表得度以三 半径 丙氐一○○○○○ 减半周得已角度四 角大矢亢氐一九九七六一 一百七十六度○二分置三象限以已角度减之得星距春分九十三度五十八分
求到甲申年老人星赤道经度在鹑首宫三度五十八分【以校戊辰年赤经九十三度三十九分及仪象志壬子年赤经九十三度五十一分可以见恒星赤经东移之理】
加减防法补遗
防法以两余相加减以两矢较偹四率其用巳简然有阙余无可加减阙矢度无可较者虽非恒用而时或遇之亦布算者所当知也
一加减变例
凡余必小于半径常法也然或捴弧适足半周则余极大即用半径为捴弧余 法以存弧余加减半径折半为初数【视存弧不过象限则相加存弧过象限则相减】又若角旁两弧同数则无存弧而余反大即用半径为存弧余 法以捴弧余加减半径折半为初数【视捴过象限或过半周则相加捴弧在象限内或过三象限则相减】
以上用半径为余者六
凡加减取初数必用两余常法也然或搃弧适足一象限或三象限或存弧适足一象限皆无余法即用一余折半为初数不湏加减【搃弧无余即单用存弧余存弧无余即单用搃弧余】
又或捴弧【适足象限或三象限】无余而两弧又同数【准前论即以半径为存弧余】或存弧【适足象限】无余而搃弧又适足半周【即以半径为搃弧余】
二者并以半径之半为初数不湏加减
以上无加减者六
一两矢较变例
凡两矢相较常法也然或其弧满象限则即以半径为矢【对弧满象限则以半径为对弧矢与存弧矢相较存弧满象限亦然亦即以半径与对弧矢相较】 防法视对弧存弧但有一弧满象限即命其又一弧之余为两矢较不更求矢【对弧满象限即用存弧余存弧满象限即用对弧余并即命为两矢较与上法同】
凡以矢较加存弧矢成对弧矢【正矢则对弧小大矢则对弧大】常法也然或有相加后适足半径者其对弧必足象限又有四率中无两矢较者以无存弧矢故也【凖前论角旁两弧同度无存弧则亦无存弧矢之可较】法即以对弧矢为用不必更求矢较 若角求对边其所得第四率即对弧矢若三边求角其所用苐三率亦对弧矢【余详后例】
设角旁两弧同度总弧在象限以内 求对角之边丙乙丁形
乙角一百一十度余三四二○二 乙丙 乙丁并三十度
两余相减 五○○○○ 丙庚
半之为初数 二五○○○ 丙癸
一 半径 寅已 一○○○○○
二 初数 丙癸 二五○○○
三 【乙角大矢】 寅午 一三四二○二
四 【对弧矢】 丙甲 三三五五○【四率本为两矢较因无存弧矢故即为对弧之矢
对弧余】 甲巳 六六四五○
求到对弧丁丙四十八度二十二分
论曰以半径为存弧余何也弧大者余小弧小者余大今存弧既相减而至于无则小之至也故其余亦大之至而成半径也 四率即为对弧矢何也弧大矢亦大弧小矢亦小既无存弧则亦无矢矣无矢则无可较故四率即对弧矢也 然则其比例奈何曰半径寅已与大矢寅午若正子丙与距等大矢丁丙亦即若初数丙癸与对弧矢丙甲
若三边求角则反其率
一初数 二半径 三对弧矢 四乙角矢
若捴弧过三象限其法亦同
前图丁丑丙形
丑角同乙角
其所用四率以得对弧丁丙并同上法
若三边求角则反其率
一初数 二半径 三对弧矢 四丑角矢
一系 两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用设总弧满半周而较弧亦过象限 求对角之边前图卯丑丁形
丑角 七十度余 三四二○二 午已丑丁 一百五十度
丑卯 三十度
相减 五○○○○庚丙
初数 二五○○○庚癸
存弧大矢一五○○○○庚卯
丑角矢 六五七九八午酉
一 半径 酉巳 一○○○○○二 初数 丙癸【即庚癸】 二五○○○
三 丑角矢 午酉 六五七九八
四 两矢较 庚甲 一六四四九
加存弧大矢庚卯 一五○○○○
得对弧大矢甲卯 一六六四四九
求到对弧卯丁一百三十一度三十八分
设三小边同数
求角
丙乙丁形
三边并三十度
求乙角
相减 五○○○○ 丙庚
初数 二五○○○ 丙癸
对弧【丁丙】三十度余 八六六○三 甲巳
矢 一三三九七 丙甲
一 初数 丙癸 二五○○○
二 半径 寅己 一○○○○○
三 对弧矢丙甲 一三三九七
四 乙角矢寅午 五三五八八
余午巳 四六四一二
求到乙角六十二度二十分 丁丙二角同
论曰此亦因存弧无矢故以对弧矢为三率也其比例为初数丙癸与对弧矢丙甲若乙丙正丙辰与丙丁距等矢则亦若寅巳半径与乙角矢寅午
一系 凡三边等者三角亦等
前图丁丑丙形 二大边同度一小边为大边减半周之余三边求角
其对弧丁丙亦三十度所用四率并同上法所得丑角六十二度二十分亦同乙角惟余两角【丁丙】并一百一十七度四十分皆为丑角减半周之余
若先有角求对边则反其率
又于前图取丁丑戊形
丑丁 一百五十度
丑戊 三十度
其对弧戊丁【一百五十度】为丑戊【三十度】减半周之余故所用四率亦同但所得矢度为丑外角之矢当以其度减半周得丑角【一百一十七度四十分】戊角同丑角丁角【六十二度二十分】即丑外角一系凡二边同度其余一边又为减半周之余与三边同度者同法但知一角即知余角其一角不同者亦为相同两角之外角
设角旁两弧同数而捴弧
足一象限求对角之边
子乙丙形
乙角一百度余 一七
三六五
初数 五○○○○ 丙辛【即半径之半】
一 半径 壬巳 一○○○○○
二 初数 丙辛 五○○○○
三 乙角大矢壬丑 一 一七三六五
四 对弧矢 丙癸 五八六八二
余癸巳 四一三一八
求到对弧子丙六十五度三十六分
论曰半半径为初数何也凖前论半径即存弧余而捴弧无余无可相减故即半之为初数 问捴弧何以无余曰弧大者余小捴弧满象限则大之极也故无余 其比例可得言乎曰壬巳与壬丑若丙甲与丙子则亦若丙辛与丙癸 若所设为子戊丙形戊角同乙角一百度
【戊子戊丙】同为一百三十五度 捴二百七十度【满三象限】亦
无余亦如上法以半半径为初数依上四率求到对戊角之子丙弧六十五度三十六分
若三边求角则反其率
一初数 二半径 三对弧矢 四角之矢
设角旁两弧之捴满半周而存弧亦满象限 求对角之弧 用前图子戊卯形
戊角 八十○度余 一七三六五
子戊一百三十五度
卯戊 四十五度
余无减半半径为初数五○○○○ 己辛即庚甲存弧满象限半径为正矢一○○○○○ 即卯巳半径
一 半径 辰巳 一○○○○○
二 初数 己辛 五○○○○
三 戊角矢辰丑 八二六三五
四 两矢较己癸 四一三一七 即对弧卯子余对弧大矢卯癸 一四一三一七 【以两矢较加存弧矢得对弧大矢】求到对弧卯子一百一十四度二十四分
论曰捴弧以半径为余何也凡过弧大者余大过弧满半周则大之至也故其余亦最大而即为半径也 然则存弧又能以半径为矢何也弧大者矢大存弧既满象限故其矢亦满半径矣
问两矢较巳癸即对弧之余也何以又得为两矢较曰他存弧之矢有大小而不得正为半径故其与对弧矢相较亦有大小而不得正为余今矢既为半径较必余矣
若三边求角则反其率
一 初数 巳辛 其比例为巳辛与巳癸若丁甲二 半径 辰巳 与丁子则亦若辰巳与辰丑三 两矢较己癸
四 戊角矢辰丑
设对弧满象限 三边求角
乙丙甲形
对弧乙甲九十度 无余
求丙角
相加辰癸 一三五六二一
初数午癸 六七八一○
对弧满象限矢即半径已甲一○○○○○
用防法即以存弧余癸已为矢较
一 初数 午癸 六七八一○
二 半径 巳戊 一○○○○○
三 矢较 巳癸 四二二六二 即存弧余四 丙角矢 庚戊 六二九○四
求到丙角六十八度一十四分
其比例为初数午癸与余巳癸若正壬辛与距等矢乙辛也亦必若半径己戊与角之矢庚戊
若先有丙角求对弧则反其率
一半径【戊巳】 二初数【午癸】 三丙角矢【戊庚】 四两矢较【巳癸】以所得四率与存弧矢甲癸【五七七三八】相加适足半径【成巳甲】命对弧乙甲适足九十度 防法视所得四率矢较与存弧余同数即知对弧为象限不必更问存弧之矢
设角旁两弧同数捴弧过象限
求对角之弧
辛乙丙形
乙角七十三度余二九二三七
相加折半为初数 八二一三九 癸丙
一 半径 己戊一○○○○○
二 初数 癸丙 八二一三九
三 乙角矢甲戊 七○七六三
四 对弧矢丁丙 五八一二四
余丁巳 四一八七六
求到对弧辛丙六十五度一十五分
若三边求角则反其率
一初数【癸丙】 二半径【巳戊】 三对弧矢【丁丙】四乙角矢【甲戊】
设角旁弧同数捴弧过半周其算并同
前图辛丑丙形
辛丑 丙丑并一百十五度
捴弧丙丑壬二百三十度余 六四二七九 庚巳丑角同乙角
其所用四率求对弧及三边求角并如上法
设捴弧满半周而存弧不过象限 求对弧
前图辛乙卯形
乙角 一百○七度余 二九二三七 甲巳乙卯 一百十五度
乙辛 六十五度
相加半之为初数 八二一三九 癸庚即子辰
一 半径 寅巳 一○○○○○
二 初数 庚癸 八二三一九
三 乙角大矢寅甲 一二九二三七
四 两矢较 庚丁 一○六一五三 即辛未加存弧正矢庚卯 三五七二一
得对弧大矢丁卯 一四一八七四
求到对弧卯辛一百一十四度四十五分
加减又法【解恒星暦指第四题三率法与加减防法同理】
弧三角有一角及角旁二边求对角之弧
法曰以角旁大弧之余度与小弧相加求其止为先得 次以角旁两弧相加视其度若适足九十度即半先得为次得【此大弧之余弧与小弧等】
若角旁两弧捴大于象限【此大弧之余弧小于小弧】则以大弧之余弧减小弧而求其以加先得然后半之为次得若两弧捴不及象限【此大弧之余弧大于小弧】则以小弧减大弧之余弧而求其以减先得然后半之为次得又以角之矢为后得
以后得乗次得为实半径为法除之得数为他一率 全数
二率 次得【即初数】
三率 后得【即角之矢】
四率 他【即两矢较】
并以他与先得相减为所求对角弧之余若他大于先得即以先得减他【不问何但以小减大右法不载测量全义而附见厯指人自江南来得小儿以燕家信以此为问谓与环中黍尺有合也乃为摘録以疏其义】
论曰此亦加减代乗除之一种也加减法以捴弧存弧之余相加减以取初数此则不用存弧而用存弧之余度【以余度取正即存弧之余故也】又不正用存弧之余度而用大弧之余度【以大弧之余度加小弧即存弧之余度故也】至其加减又不用捴弧而用大弧余度与小弧相减之较弧【以此较弧之正即捴弧之余故也】取径迂回而理数脗合非两法相提并论不足以明其立法之意也举例如后
乙丙丁形【有乙角及角旁二边】求对弧丁丙【以加减防法求得诸数与恒星厯指法相参论之
乙丙小弧乙丁大弧】正【甲丙辰庚】
【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】
【余并癸壬初数 癸甲 即辰寅】
【丁丙对庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】
【两矢较卯癸一 半径 酉巳】
【二 角之矢 酉午三 初数 甲癸即辰寅
四 两矢较 卯癸 即丁子末以卯癸加癸丙得卯丙为对
弧矢乃查其度得对弧丁丙】
右加减法也
今改用恒星厯指之法 先以酉庚为角旁大弧【乙丁】之余弧【乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉即乙丁之余】又以牛酉当角旁小弧乙丙【乙酉与牛丙皆象限内减同用之丙酉同乙丙】二者相加成牛庚取其正戊庚是为先得次视角旁两弧【乙丙乙丁】之捴【丙戊】大于象限【丙辛】法当以大弧余度去减小弧得较【于同小弧之午酉内减同大弧余度之氐酉其较牛氐与牛房等】而取其【牛氐较与牛房等则氐井与房井等而即与危戍等是危戌即牛氐较之也】以加先得【以危戍加戌庚成危庚】然后半之【危庚半之于未成未庚】为次得
又以乙角之矢【午酉】为后得与次得【未庚】相乗为实半径为法除之得他【亥庚】
未以他【亥庚】减先得【戌庚】其余亥戌为对弧【丁丙】之余【查表得对弧】
论曰牛庚之正戍庚与癸巳平行而等即存弧之余也【牛庚为小弧与大弧余度之并实即存弧丙庚之余度故戌庚即同癸巳】次得未庚与甲癸平行而等即初数也【以危戍加戌庚而成危庚犹捴存两余相加成癸壬也危庚既同癸壬则其半未庚亦同甲癸】他庚亥与卯癸平行而等即两矢较也末以他与先得相减而得对弧余犹以两矢较与存弧之矢相加而得对弧之矢也【两矢较即两余较也故加之得矢者减之即得余】然则此两法者固异名而同实矣又论曰加减本法用大弧小弧之捴与较取其余以相加减今此法则用大弧余度与小弧之捴与较而取其正以相加减【如牛庚是大弧余度与小弧之捴牛氐是大弧余度与小弧之较】用若相反而得数并同者何也曰余弧与正弧互为消长其数相待是故大弧之余度大于小弧则捴弧不及象限矣大弧之余度小于小弧则捴弧过象限矣捴弧过象限宜相加此条是也捴弧不及象限宜相减后条是也宜加宜减之数无一不同得数安得而不同【得数谓初数也在此法则为次得】
又论曰此法之于加减法犹甲数乙数之于初数次数也初数次数用余甲数乙数用正加减法用余此法用正所以然者皆以角旁之弧半用余度也【甲数乙数法内一弧用本度一弧用余度此法小弧用本度大弧用余度】一加减法乃有四用其省乗除并同而繁简殊矣
乙丙丁形
有乙角及角旁二边
求对弧丁丙
【乙丙小弧乙丁大弧】正【申丙辰庚】
【捴存】弧【戊丙庚丙】余【壬巳癸巳】
【余较壬癸初数癸甲】
【丁丙对弧庚丙存弧】正矢【卯丙癸丙】
【两矢较卯癸一 半径 酉巳】
【二 角大矢 酉午三 初数 甲癸】
【四 两矢较 卯癸】
【末以卯癸加癸丙成卯丙为对弧矢查其余得对弧丁丙】
右加减法也
今依恒星法改用大弧之余度【庚酉即午丁】与小弧【牛酉即乙丙】相加【成牛庚即存弧丙庚之余度】求其正为先得【戍庚同巳癸即存弧之余】次视两弧之捴【戊丙】不及象限法当以小弧减大弧余度【取氐酉如酉庚以牛酉减之】得较【氐牛与牛房等】取其正【女房即女氐亦即戍危】以减先得【戍危减戌庚余危庚与癸壬等】然后半之【危庚半之于虚成庚虚与甲癸等】为次得又以【乙】钝角大矢【午酉】为后得与次得相乗为实半径为法除之得他【亢庚与卯癸等】末以他【亢庚】减先得【戍庚】其余戍亢【即卯巳】为对弧余查表得对弧丁丙
一率 半径 酉巳
二率 次得庚虚【即初数甲癸】
三率 后得午酉【即角大矢】
四率 他 亢庚【即两矢较卯癸】
乙丙丁形【有丙角及角旁二边】求对弧丁乙
法以【丁丙】大弧之余【午丁即酉甲】与小弧【乙丙即戊酉】相加【成甲戊】求
其正【庚甲】为先得次视两弧
之总【丑乙】适足象限即半先得
为次得【癸甲或癸庚】又以角之大矢【午酉】为
后得乘之【午酉乘癸甲】半径【酉巳】除之
得他【卯甲即壬未】以减先得【甲庚】得
对弧余【卯庚即壬巳】查表度得对弧【丁乙】
解曰此因大弧之余酉甲与小弧戊酉同数则无加减故即半先得为次得也在加减法则为总弧无余而即半存弧余为初数
丙戊丁形【有戊角及角旁二边】求对弧丁丙
如法以大边【丙戊】之余【卯丙即癸庚】与小弧【丁戊即癸辛】相加【成辛庚】取
其正【庚乙】为先得次眎角
旁两弧之捴【辰丁】大于象限法
当以癸庚减癸辛得较子辛
【即辛井】而取其正【子斗即井斗亦即乙】
【甲】以加先得【乙庚】而半之【甲庚之半为甲丑】为次得又以角之大矢【卯癸】为后得以乗次得为实半径为法除之得他【牛庚】末以他【牛庚】与先得【庚乙】相减得【牛乙即壬巳】为对弧之余查余度以减半周得对弧丁丙
解曰此为他大于先得故反减也在加减法则所得为对弧大矢与存弧小矢之较而两矢较即两余并也故减存弧余得对弧余
补求经度法
法用角旁两弧【大弧用余度小弧用本度】相加得数取正为先得又相减得较取正以与先得相加减【角旁两弧大于象限则相加若小于象限则相减】而半之为次得【若角旁两弧并之足一象限则径以先得半之为次得不须加减】用为首率 次以对角弧之余与先得相加减得他为次率【对弧大于象限相加小于象限则相减】 半径为三率 求得角之矢为四率【正矢为鋭角大矢为钝角】
假如丙戊丁形有三边求戊角【借用前图】
一 次得 甲丑【乃先得甲庚之半】即庚丑
二 他 壬酉【即牛庚乃对弧余加先得因对弧大故相加】
三 半径 巳癸
四 钝角大矢卯癸【卯癸大矢内减巳癸半径为余查表得度以减半同为戊钝角之度】论曰角求对边者求纬度也三边求角者求经度也二者之分祗在四率中互换无他缪巧厯指注云求纬用正求经用切线殊不可晓及查其后条用例亦无用切线之法殆有缺误厯书中如此者甚多故在善读耳加减通法
加减代乗除之法以算三边求角及二边一角求对角之边皆斜弧三角之难者也其算最难而其法益简故凡算例中两正相乗者即可以加减代之则虽正弧诸法实多所通故谓之通法
法曰凡四率中有以两正相乗为实半径为法者皆可以初数取之 有以两余相乗为实半径为法者皆可以次数取之 有以余与正相乗为实半径为法者皆可以甲乙数取之
假如正弧形有角有角旁弧而求对角之弧【此如有春分角有黄道而求距度】本法当以角之正与角旁弧之正相乗为实半径为法除之也今以初数取之即命为所求度正
设黄道三十度求黄赤距度
【春分角二十三度三十一分半黄道 三十○度】
【捴弧 五十三度三十一分半存弧 六度二十八分半】余【五九四四七九九三六二】用初数为正检表得度 【相减三九九一五折半一九九五七即初数】
求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒
又设黄道七十五度求黄赤距度
【春分角二十三度三十一分半黄道 七十五度】
【捴存】弧 【九十八度三十一分半五十一度二十八分半】余【一四八二四六二二八五】用初数为正检表得度 【相加七七一○九折半三八五五四】
求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒
又如句股方锥法有大距有黄道而求距纬本以大距正黄道余相乗半径除之也今以甲数取之设黄道六十度求距纬【句股方锥黄道以距二至起算下同】
【黄赤大距二十三度三十一分半黄道 六十○度】
【捴弧 八十三度三十一分半存弧 三十六度二十八分半】正【九九三六二五五四四七】用甲数为正检表得度 【相减三九九一五半之一九九五七为甲数】
求到距纬一十一度三十○分四十二秒
设黄道一十五度求距纬
【黄赤大距二十三度三十一分半黄道 一十五度】
【捴存】弧 【三十八度三十一分半八度三十一分半】正【六二二八五一四八二四】用甲数为正查表得度 【相加七七一○九半之三八五五四为甲数】
求得距纬二十二度四十分三十九秒
又如次形法本以一正与一余相乗半径除之得所求之余今以初数取之
设甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙边而求乙角本法为半径与丙角正若甲丙余与乙角余今以初数即命为乙角余 【丙角度 甲丙余度】相【并减】为【捴存】弧各取其
余如法相加减而半之成初数即命为乙角余本法用正与余相乗而亦以初数取之何也曰甲丙余实次形丁丙正也故仍用初数
假如斜弧形作垂弧法本为半径与角之正若角旁弧之正与垂弧之正也今以初数即命为垂弧正设丁乙丙形有乙鋭角有丁乙边求作丁甲垂弧 【乙角度乙丁弧】相【并减】为【捴存】弧而取其余如法相加减而半之成初数即命为丁甲垂
弧正
设丁乙丙形乙为钝角而先有丁乙边其法亦同 【乙外角丁乙边】相【并减】为【捴存】弧而各取其余如上法取初数命为甲丁垂弧正
又如弧角比例法本为角之正与对角边之正若又一角之正与其对边之正今以初数进五位即为两正相乗之实可以省乗
设乙甲丙形有丙角甲角有乙甲边求乙丙边本以甲角正与乙甲正相乗为实丙角正为法除之得乙丙正今以甲角度与乙甲弧相并减为捴存弧如法取初数进五位为实以丙角正除之亦得乙丙正【若有乙丙边求丙角则以乙丙边正为法除之即得丙角之正】
又如垂弧防法本以两余相乗为实又以余为法除之而得所求之余今以次数进五位为两余相乗之实即可省乗
设甲丁亥钝角形有亥甲边有亥丁边有引长之丁巳边而求甲丁边本法为亥巳边之余与亥甲边之余若丁巳边之余与甲丁边之余也 今以次数代乗
【亥甲丁巳】二弧相并为捴弧相减为存弧
而各取其余如法相加减而半之
为次数下加五○即同亥甲与丁巳
两余相乗之实但以亥巳边之余
为法除之即得甲丁边之余
进五○何也曰初数者两正相乗半径除之之数故必进五位即同两正相乗之实矣 次数进位之理仿此论之
补加减防法
设壬丙甲弧三角形
甲壬边适足九十度 丙甲边八十三度 对弧壬丙五十九度
求甲角
法曰角旁有一边
适足九十度则总
存两余同数当
以余即命为初
数 依法求得五
十八度四十四分
为甲角
存矢 申丙 七四五
矢较 戊申 四七七五一
一 初数 九九二五五已申
二 矢较 四七七五一戊申
三 半径一○○○○○己癸 查表得五十八度四十四分四 【角之矢】 四八一○九壬癸
余 五一八九一壬巳
论曰此即算带食法也凡算带食其差角必在地平壬甲九十度即高弧全数丙甲八十三度月距北极也癸丙七度黄赤距度也壬丙对弧极距天顶也其余己戊即极出地正所求甲角月出地平时地经赤道差也
防法以黄赤距度余与极出地正相减余进五位为实仍以距度余除之得差角矢
解防法曰极出地正即对弧余黄赤距度余即存弧余两余之较即矢较也
又解曰巳乙即己申亦即未丙并小弧甲丙正也【即存弧癸丙之余】未丙与戌丙若己癸与壬癸全与分之比例也又解曰初数是两正相乗半径除之之数今甲壬边之正即半径故省乗除竟以甲丙正为初数又设壬甲辛钝角形【即用前图】 壬甲邉适足九十度 辛甲邉九十七度 对邉辛壬一百二十一度 求甲角依法求得甲钝角一百二十一度一十六分
对弧辛壬一百卄一度余巳戊 五一五○四对弧大矢 戊辛 一五一五○四存弧 矢 癸乙同酉辛 七四五【亦同丁庚】两矢 较 戊酉同辰辛一五○七五九【亦同丁壬】
一 初数 【丁巳同午辛】 九九二五五
二 矢较 【丁壬同辰辛】一五○七五九
三 半径 己庚一○○○○○
四 角大矢 壬庚一五一八九○
余 己壬 五一八九○
查表得五十八度四十四分以去减半周得甲角一百二十一度一十六分
论曰縂弧过象限及过半周宜以余相加折半成初数今两余相同而径用为初数亦折半之理也向作加减法补遗自谓巳尽其变不知仍有此法故特记之
因算带食得此其用防法更奇甚矣学问之无穷也壬甲丙鋭角形壬甲邉适足九十度 丙甲邉六十七度对弧壬丙五十度 求甲角
依法求得甲角四十五度四十二分
○五【即为初数】
壬丙对弧五十○度余六
四二七九 巳戊
对弧矢三五七二一 戊丙
存弧矢 七九五○ 乙癸【即申丙】
矢较 二七七七一 申戊
一 初数 九二○五 申巳
二 矢较 二七七一 申戊
三 半径 一○○○○○ 己癸
四 角之矢 三○一六九 壬癸
余 六九八三一 壬巳
查表得四十五度四十二分
因前图丙癸度小故复作此以明之
算甲余角
又于本图取辛甲壬钝角形 壬甲九十度 辛甲一百一十三度 壬丙五十度 求甲钝角 依法求到甲钝角度一百三十四度一十八分
壬辛对弧一百三十○度余巳戊六四二七九
大矢 辛戊 一六四二七九
存弧矢 申丙【即乙癸】 七九五○【亦即酉辛】矢较 酉戊 一五六三二九
一初数 九二○五○酉巳【即丁巳】 二矢较一五【六三二九】酉戊三半径一○○○○○庚巳 四【角大矢】一六【九八三○】庚壬
余六九【八三○】
查表得四十五度四十二分以减半周得甲钝角一百三十四度一十八分
论曰试作庚亥线与辛丙径平行又引对弧坎戊正至亥成庚亥壬句股形即庚干巳亦同角之小句股形而庚亥同酉戊两矢较也庚干同酉巳初数也则初数【庚干小股】与两矢较【庚亥大股】若半径【庚巳小】与角之大矢【庚壬大】凡角旁弧适足九十度则縂存两余弧同数法即以余命为初数
日月食带食出入地平用此算其地经赤道差甚防
补甲数乙数法
丁辛乙斜弧三角形
辛丁弧五十度一十分 辛乙弧八十度 丁乙
对弧六十度 又若辛乙弧八十度
求辛角 辛丁【余弧】三十九度【五十】分
辛乙【余弧】一十度 縂弧一百十九度【五十】分辛丁弧五十度一十分 较弧 四十度一十分
两正总【一五一二四九】半之为甲数【七五六二四】两正较【二二二四七】半之为乙数【一一一二三】丁乙对弧余【五○○○○】内减乙数余【三八
八七七】为二率
一 甲数 七五六二四
二 三八八七七
三 半径一○○○○○
四 【辛角余】 五一四○八
查表得五十九度○四分为辛角
若前形有辛角而求丁乙对弧
一 半径一○○○○○
二 【辛角余】 五一四○八
三 甲数 七五六二四
四 三八八七七
以加乙数 一一一二三
成对弧余五○○○○
查表得六十度
此因角旁余弧小于正弧故乙数亦小于甲数而以所得四率加乙数为对弧余
丙乙丁形 乙钝角一百一十度 【乙丙乙丁】二弧并三十度求丁丙对弧
乙丙余弧六十度
乙丁弧 三十度
縂弧 九十度正一○○○○○
较弧 三十度正 五○○○○
相加 一五○○○○
半之为乙数七五○○○
相减 五○○○○
半之为甲数二五○○○
一 半径一○○○○○
二 【乙角余】 三四二○二
三 甲数 二五○○○
四 八五五○
以减乙数 七五○○○
得对弧余六六四五○
查表得四十八度二十一分
此因角旁乙丙余弧大于乙丁正弧故乙数大于甲数而以所得四率反减乙数为对弧余
前例转求乙钝角 【乙丙乙丁】二弧并三十度 丁丙对弧四十八度二十一分
求乙角
一 甲数 二五○○○ 二【对弧余减乙数之余】八五五○三 半径一○○○○○ 四钝角余三四二○二查表得七十度以减半周得一百一十度为乙角
縂论曰甲数乙数原以角旁两弧之正错乗而得今改用加减故角旁两弧一用正一用余然有时余弧大于正弧者角旁两弧之合数必过象限也有时余弧小于正弧者角旁两弧之合必不及象限也若角旁两弧之合适足象限则余弧必与正弧等而无较弧
又设子乙丙形 乙钝角一百度 【乙丙乙子】二弧并四十五度
求对角
乙丙余弧四十五度
乙子 弧四十五度
【半之为甲数】五○○○○ 则无可加亦【亦为乙数】五○○○○ 无可减故皆
用縂弧正
折半为甲数
亦为乙数
一 半径一○○○○○
二 【钝角余】 一七三六五
三 甲数 五○○○○
四 八六八二
加乙数共 五八六八二【命为对弧矢】
得对弧【余】 四一三一八
查表得对弧子丙六十五度三十六分
若前例三邉求乙角
乃置对弧六十五度三十六分之余四一三一八求其矢得五八六八二
丙减乙数五○○○○
仍余八六八二为二率
一 甲数 五○○○○
二 八六八二
三 半径一○○○○○
四 【钝角余】 一七三六四
查表得八十度以减半周得一百度为乙角之度补先数后数法
前式丙乙丁形 乙角一百一十度 【乙丙乙丁】并三十度求丁丙对弧
一 半径方 一○○○○○○○○○○
二 正方 二五○○○○○○○○
三 乙角【大矢】 一三四二○二
四 两矢较 三三五五○
对弧余 六六四五○
查表亦得四十八度二十一分
此因角旁两弧同度则无较弧之矢故径以所得矢较命为对弧之矢
前式子乙丙形 乙角一百度 【乙丙乙子】二弧并四十五度求对弧
一 半径方 一○○○○○○○○○○
二 正方 五○○○○○○○○○
三 角大矢 一一七三六五
四 矢较 五八六八二【因无较弧矢故即为对弧矢】对弧余 四一三一八
查表亦得对弧子丙六十五度三十六分
若先有对弧子丙而求乙角
一 正方 五○○○○○○○○○
二 半径方 一○○○○○○○○○○
三 对弧矢 五八六八二【因无较弧矢故即以对弧矢为矢较】四 角大矢 一一七三六五
余 一七三六五
查表得八十度以减半周得乙钝角一百度
又设乙角六十度
角旁【乙丙乙子】二弧并四十五度 求子丙对弧
一 半径方一○○○○○○○○○○二 正方 五○○○○○○○○○三 鋭角矢 五○○○○
四 矢较 二五○○○ 【无较弧即用为对弧矢】对弧余 七五○○○
查表得对弧五十三度○八分
厯算全书卷十一