欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

第一百十四卷目錄

算法部彙考六

算法統宗二〈算義總二〉

曆法典第一百十四卷

算法部彙考六

《算法統宗二》

算義總二

乘法：〈《留頭乘》：〉

按：「因」與乘，一也。單位者謂之「因」，位數多者謂之「乘」，特 以此而異其名耳。

原有「破頭乘」 、《掉尾乘》《隔位乘》，總不如《留頭乘》之妙，故皆不錄。

歌曰

下乘之法此為真，起手先將得二因，三四五來乘遍 了，卻將本位破其身。

用「留頭」乘法，若依盤式，小九數，位次先後不一，難以 挨次。今將暗馬數以別先後，庶不亂矣。〈暗馬式附前用字凡例中〉 假如今有布四百二十五疋，每疋價銀二錢五分，問 共該銀若干？

答曰：「一百零六兩二錢五分。」

法曰：置布為實，以每疋價銀二錢五分為法乘之，合 問定位。法只認疋下一位定錢，依次逆數陞上，合 得也。此所謂因乘俱向下位推。

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

二一添作《五》。〈無除〉　起一下還二　四五除二十， 逢四進二十　二，五除一十　二一添作五，　五五 除二十五。

假如今有豆二十八石六斗，每斗價銀三分四釐五 毫，問共該銀若干？

答曰：「九兩八錢六分七釐。」

法曰：置豆為實，以每斗三分四釐五毫為法乘之，合 問定位同前。

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

逢六進二十　二，四如除八，　二五除一十　三，二 六，十二。　逢六進二十　四，八除三十二，　五八除 四十　三，二六十二，　《四六》除二十四，　五六除三 十。

假如今有銀三十五兩八錢，每銀一兩，糴米二石四 斗六升八合，問該米若干？

答曰：「八十八石三斗五升四合四勺。」

法曰：「置總銀為實，以每兩糴米」數為法乘之，合問 定位同前。

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

逢六進三十　三，四除一十二，　三六除一十八， 三八除二十四，　二一添作五，　四五除二十　五， 六除三十　五，八除四十　二，一添作五。　逢《六進》 三十　四，八除三十二，　六八除四十八，　八八除 六十四。

假如今有米三百四十五石，每石價銀四錢外牙用 三釐，問該銀若干？

答曰：「一百三十九兩零三分五釐。」

法曰：置總米為實，以每石價併牙用共四錢零三釐 為法乘之，合問定位同前

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

四一二十二，　逢四進一十　三，三如除九　四一， 二十二，　逢八進二十　三，四除一十二，　四二添 作五，　三五除一十五。

假如今有田二千三百四十五畝，每畝科糧一斗八 升七合，問該糧米若干？

答曰：「四百三十八石五斗一升五合。」

法曰：置總田為實，以每畝科米一斗八升七合為法， 乘之，合問。

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

逢二進二十　二八除一十六，　二七除一十四； 逢三進三十　三八除二十四，　三七除二十一； 逢四進四十　四八除三十二，　四七除二十八； 逢五進五十　五八除四十　　五，七除三十五。 假如今有直田長三十六步三分，闊七步四分。問該 田積若干？

答曰：「二百六十八步六分二釐。」

法曰：置長為實，以闊七步四分為法乘之，合問定 位法，只認步下一位是法首，步數逆上，合得也。

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

「《七二》下加六」，　逢七進一十　三，四除一十二　；《七 四》五十五，　逢七進一十　四，六除二十四。　「《七二》 下加六」，　逢七進一十　三，四除一十二。

假如今有田長七十五步，闊三十二步，問該積步若 干？

答曰：「二千四百步。」

法曰：置長為實，以闊為法乘之，合問定位法。只認 原實步下一位定法，首位十逆陞合得。

圖

假如今有方田，長、闊各一百二十六步，問該積步若 干？

答曰：「一萬五千八百七十六步。」

法曰：置方面一百二十六步為實，亦置一百二十六 步為法，即自乘之，合問。

圖

還原。〈用歸除法詳後。〉

逢一進一十　一，二如除二，　　一六如除六。　　逢二 進二十　　　二，二如除四，　　二六，除一十二。　逢六進 六　　　　　二六除一十二，　六六除三十六。

歸除

凡二至九位，數多者，用此置物為實，以價或分者為 法，先將法首對實首呼九歸歌，或進或倍，後將法次 位對所歸數呼九九數除之，用乘法還原。

歌曰

惟有《歸除》法更奇。〈算學中惟歸除最妙〉將身歸了，次除之。〈先將本位 呼歸法歸之其次不拘幾位俱呼小九數除之〉有歸若是無除數，〈若本位有子可歸次 位無子可除也〉起一還將原數施。〈如一歸本位起一下位還一如二歸本位起一下位 還二餘倣此〉或遇本歸歸不得{{annotation|，如一歸只一子，二歸只二子，因下位無子可除，故不能歸也。餘倣此。}}「撞歸之法莫教遲。」〈如一歸見一無除加八撞湊作九下位加一如撞歸 訖除數不足照前用起一還原法〉若人識得其中意。〈如學者曉得歸除中間之理深 奧也〉算學雖深可盡知。〈云算者用心習學可以盡識者矣〉

撞歸法

〈一歸〉見「一。」〈原實〉無除作「九。」〈得數〉一、〈餘數後倣此〉 〈二歸〉見二無除作九二。　〈三歸〉見三無除作九三。 〈四歸〉見四無除，作九四。　〈五歸〉見五無除作九五。 〈六歸〉見「六」無除作九六。　〈七歸〉見「七」無除作九七。 〈八歸〉見八無除，作九八。　〈九歸〉見九無除作九九 已有歸。而無除用起一還原法。〈即是起一還將原數施也〉 〈一歸〉起《一》。〈得數〉《下還一》。〈原實〉○〈本位起一下位還一若二歸起一則下位還二餘倣此〉 〈二歸〉《起一》下，還二。　　〈三歸〉《起一》下，還三。

〈四歸〉《起一》下，還四。　　〈五歸〉《起一》下，還五。

〈六歸〉《起一》下，還六。　　〈七歸〉《起一》下，還七。

〈八歸〉《起一》下，還八。　　〈九歸〉《起一》下，還九。

撞歸者，有歸而無除之謂也。予以法實盈虧進退之 理推之，盈則有歸，照法首之數進於上位成十；虧則 無除起一；退於下位，照法首之數還原。先哲有云：「見 一無除作九一」之類，此正謂有歸無除之祕法。知此， 可與論《制算纂法》之深奧矣。

假如今有銀二百四十三兩，《糴米》每斗價銀五分四 釐，問共該米若干？

答曰：「四百五十石。」

法曰：置總銀為實，以每斗價五分四釐為法歸除之， 合問定位法，只認實上原首位起，往後順數至分， 遇法首位是每斗三分則止。前一位得令是斗逆數 陞上合得，後倣此。

圖

還原。〈用乘法。〉

四五得二十，　五五二十五，　四四一十六，　四五 得二十。

假如今有銀二百六十五兩三錢二分，作十二人分 之，問每人該銀若干？

答曰：「二十二兩一錢一分。」

法曰：置銀為實，以十二人為法，歸除之，合問定位， 與前《歸法》同。

圖

還原。〈用乘法。〉

一二如二，　一一如一，　一二如二，　一一如一， 二二如四，　一二如二，　二二如四，　一二如二。 假如今有米一百二十九石九斗六升，作一十九人 分之，問每人該米若干？

答曰：「六石八斗四升。」

法曰：置米為實，以一十九人為法，除之，合問。

圖

還原。〈用乘法。〉

四九三十六，　一四如四，　八九七十二，　一八如 八，　六九五十四，　一六如六。

假如今有銀二十六兩六錢，買豬二十八隻，問每隻 該銀若干？

答曰：「九錢五分。」

法曰：置銀為實，以豬二十八隻為法，除之，合問。

圖

還原。〈用乘法。〉

五八得四十　二，五得一十　八，九七十二，　二九 一十八。

假如今有金二兩八錢三分五釐，作四百零五人分 之，問每人該金若干？

答曰：「七釐。」

法曰：置金為實，以人數為法除之，合問定位，法多實少。先從原實首位起，往前逐位逆數陞上，至呼遇 法首位百則止，向前一位得，令是兩降下，合得。

圖

還原。〈用乘法。〉

五七三十五，　四七二十八。

假如今有米二十二石五斗二升，作五千六百三十 人分問，每人該米若干？

答曰：「四合。」

法曰：置米為實，以人數為法除之，合問定位，法多 實少同前。

圖

還原。〈用乘法。〉

四六二十四，　三四一十二，　四五得二十。

假如今有銀一千零九十七兩二錢五分，作五百七 十人分之，問每人該銀若干？

答曰：「一兩九錢二分五釐。」

法曰：置銀為實，以人數為法除之，合問定位法。先 數原實千，順下至法首百，前位定兩，合得。

圖

還原。〈用乘法。〉

五七三十五，　五五二十五，　二七一十四，　二五 得一，十　七九六十三，　五九四十五，　一七如七。

一五如五

假如今有銀四錢八分，每銀七分五釐換赤金一分， 問該金若干？

答曰：「六分四釐。」

法曰：置總銀為實，以七分五釐為法，除之，合問。

圖

還原。〈用乘法。〉

四五得二十　四，《七》二十八，　《五六》得三十　六，《七》 四十二，

假如今有錢五千六百四十文，買梨一萬六千九百 二十枚，問每錢一文買梨若干？

答曰：「三枚。」

法曰：「置梨為實，以錢數為法除之，合問。」

圖

還原。〈用乘法。〉

三六一十八，　三四一十二，　三五一十五。

假如今有銀五萬五千三百八十五兩，作一千零七 人分之，問每人該銀若干？

答曰：「五十五兩。」

法曰：置銀為實，以人數為法，除之，合問。

圖

還原。〈隔二位乘。〉

五七三十五，　一五如五。　五七三十五，　一五如

五。

加法

凡乘法首位有一數者，用此置所有物為實，以所求 價為法加之。然加法不用首位一數，只以次位餘數 加之。言十就身，加十言如。次位加如，亦從末位算起， 用減法還原。

歌曰

加法仍從下位，先如因位，數或多焉，十歸本位，零居 次，一外添加法更元。

假如今有珍珠二百六十八顆，每顆價銀一兩一錢， 問該銀若干？

答曰：「二百九十四兩八錢。」

法曰：置珠為實，以每顆價除價首一兩，只以次價一 錢為法，從末位加起，次第而上，定位只認顆。本位 定兩，十顆上定十兩，百顆上定百兩。所謂「加減只須 認本位」也。餘倣此。

圖

還原。〈用減法，即定身除也。〉

《一，二減去二》。〈九去二存七〉　一六減去《六》。〈除六下還四〉　一八 減去《八》。〈恰盡〉

假如今有絹九丈八尺，每尺價一錢三分五釐，問共 該銀若干？

答曰：「一十三兩二錢三分。」

《法》曰：置絹為實，以每尺除價首一錢，只以三分五釐 為法，加之定位只認尺本位定錢，丈上定兩，十丈 定十兩，合得。

圖

假如今有羅二百四十六疋，每疋價銀一兩二錢七 分五釐，問該銀若干？

答曰：「三百一十三兩六錢五分。」

法曰：置羅為實，以每疋除價首一兩，只以二錢七分 五釐為法，加之定位，只認疋位上定兩，依次逆陞， 合得。

六七加四十二，　五六加三十　二，六加一十二， 《四七》加二十八，　四五加二十　二，四如加八，　《二 七》加一十四，　《二五》加一十　二，二如加四。

假如今有米四萬六千七百五十一石，每石加耗七 升，問共該米若干？

答曰：正耗共該五萬零零二十三石五斗七升。 法曰：「置正米為實，以耗米七升為法，隔位加之，合問 一七加七。」〈先從石上起呼於隔位升上〉　五七加三十五。〈石上加三斗下 位加五〉　七七加四十九。〈十位加四下位加九九退一成一十〉　六七加 四十二。〈百位加四四下五除一下位加二二起八成一十〉　四七加二十八。 〈千位加二下位加八〉

按：因、乘、加三法，其名雖殊，而理則一。但加法須記實 位，不動本身，學者宜當詳審，不致差誤也。

減法

凡歸除遇法首位有一數者，用此所謂「定身除」者，先 定本身之位，而後減除也。置所有物為實，以所求價 為法，與身數相呼，九九之數言十，就身言如，隔位次 第，如法減而除之。〈先從實首位起用加法還原〉 定位法，因實位本身減去，而無逢進、比歸除而降一 位。今將法首一數除而不用，亦可以抵逢、《進》、陞位也。

歌曰

減法須知先定身，得其身數始為真。法中有一何曾 用，身外除零妙入神。

假如今有銀二百九十四兩八錢買絹，每疋價銀一 兩一錢，問該絹若干？

答曰：「二百六十八疋。」

法曰：置總銀為實，以每疋除價首一兩不用，只以次 位一錢為法，定身減而除之，合問定位。此是求總 之法數，原實順下，至錢則止，前一位是疋也。逆數陞 上，合得。

圖

假如今有米一千零三十八石，作一百七十三人分 之，問每人該米若干？

答曰：「六石。」

法曰：置米為實，以人數除首位百不用，只以七十三人為法，定身除之，合問定位，此是求零之法。先數 原實起，順下至遇法首十數則止，前一位得令是石 也。

圖

假如今有金八十九兩三錢八分，令金戶一百零九 人辦納，問每人各該若干？

答曰：「八錢二分。」

法曰：置金為實，以金戶除百不用。只以九人為法，隔 位定身除之，合問。

圖

求一乘除法

按：古有之大位，因考其法，用倍折之繁難，不如《歸除》 之簡易，故今於此而廢之，使學者專心於乘除、加減 之法，而無他岐之惑焉。

商除

「商除」者，商量而除之也。如定商太過，則總數不足而 無除，如定商不及，則總數有餘，務要酌量彀除方可。 然此一術，亦兼歸除，歸除既通，不必學此。但開方之 法，必用商除，演此而為梯階，其法不可廢也。

歌曰

數中有術號商除，商總分排兩位推。惟有開方須用 此，續商不盡命其餘。

假如今有軍士六百名，分糧三百九十四石二斗，問 每名該若干？

答曰：「六斗五升七合。」

法曰：置糧米於盤中為實，以軍士六百名於右為法， 商除之。初商六十於左位，就以左右相呼，六六除實 三百六十石，餘實三十四石二斗。次商五升於左位 六斗之次，就以次商五升對右六相呼，五六除實三 十石，餘實四石二斗。再商七合於左位五升之下，就 以左七對右六相呼，六七除實四斗二升恰盡。今 列布算式於後。

商除式樣

學者但看《初商》，即看初除，又看次商，又看次除，復看 再商，復看再除，挨次位數，則不亂矣。

圖

假如今有芝麻六十七石，榨得油三千零一十五斤， 問每石該油若干？

答曰：「四十五斤。」

《法》曰：置油數於盤中為實，以麻六十七石於右，為商。 除法初商四十斤於左，就以左右相呼，四六除實二 千四百。又呼，四七除二百八十斤，餘實三百三十五 斤。次商五斤於初，商四十之下位，就以五斤對右六 相呼，五六除三百。又呼，五七除三十五斤，恰盡合得。

約分法

約以分子，通以分母也。法曰：「可半者半之，不可半者 以少減多，更相減損，求其有等。」以等約之，若數如四 分兩之一者，二錢五分也，此為有盡。若數如三分兩 之一者，三錢三分三釐三毫有零也，此所謂不盡。必 須約分之法。

解曰：約分者，謂用除法多有畸零，數之不盡，帶有幾千百分者，以約去其繁而就其簡也，或有不可約者，

法曰：數多為母，數少為子。子母之數兩列，互相減損 至同，就以此數為法，各以法除子母原數，卻無畸零， 所謂「齊不齊而致其齊」也。如人分銀，以至數之不能 盡者，亦有物之不可分者，不能呼數，必以法而約之。

歌曰

數有參差不可齊，須憑《約法》命分之。法為分母實為 子，不與差分一例推。

又歌

約分須分子母名，更相減損至同成就把其同為法 則，除來各數自無零。

假如今有物九十八，除了四十二，問約得若干？ 答曰：「七分之三法曰：數多為母，數少為子。置母九十八，內減去二箇 四十二，餘一十四。另置子四十二，減去二箇一十四， 亦餘一十四，謂之子母相同。就以十四為法，除母九 十八，是七箇一十四。另以十四為法，除子四十二，是 三箇一十四。故曰：「七分中除三，餘倣此。」

假如今有二十一分之一十四，問，約得若干？

答曰：「三分之二。」

法曰：置母二十一，減去子一十四，餘七。另置子一十 四，減去七，亦餘七。就以七為法，除母二十一，得三。又 以法七除子一十四，得二。合問。

假如今有絲二百五十二斤，賣過一百四十四斤，問 約得若干？

答曰：「七分斤之四。」

法曰：置母二百五十二，減去子一百四十四，餘母一 百零八。反將原子一百四十四，減去餘母一百零八， 餘子三十六。又將餘母一百零八，減去餘子二箇三 十六，餘母亦三十六。為之更相減損，就以母子同數 為法，以除原母、原子，各得分數。

假如今有鴨七十二隻，生子六十三箇。問「約得若干？」 答曰：「八分箇之七。」〈即是八隻鴨生七箇子也〉

法曰：列子母數，更相減損，置母七十二，減去子六十 三，餘母九。反將子六十三內減去六箇，餘母九，子亦 餘九。就以九為法，除原母七十二，得八箇九。又以法 九除原子六十三，得七箇九。故命之曰「八分之七」也。

乘分

假如今有一百九十人，支銀一兩、十九分兩之一，問 該銀若干？

答曰：「二百兩。」

法曰：置銀一兩，以分母十九通之，加分子一，共得二 十。又以人一百九十乘，得三千八百為實。卻以支銀 一兩，以分母十九通之，得十九兩為法。除之，合問。

《解題》曰：「十九分兩之一，每人即一兩零五分二釐六毫有零。」

課分

假如今有布二疋，九分疋之五，用過一疋，六分疋之 一，問尚餘若干。

答曰：「餘一疋，又十八分疋之七。」

法曰：置用過布一疋，以分母六通之，加分子一，共得 七。又以原布分母九通之，得六十三。另置原布二疋， 以分母九通之，加分子五，共得二十三疋。又以用過 布分母六通之，得一百三十八，內減去前六十三，餘 七十五為實。以兩分母九六相乘，得五十四為法。除 之，得一疋。餘實二十一，法實皆三，約之，合問。

通分

通分者，通以分母，約以分子也。夫數之有盡者，不必 通也，若畸零之不盡者，使不通之，則何以置位而算 之乎？此通分之法所由立也。假如四分兩之一者，則 二錢五分也，此所謂數之有盡者也。若三分兩之一 者，三錢三分三釐，以至於三，三之無窮，此所謂數之 不盡者也，必須以分通之，乃可算也。不然，則畸零之 不盡，終無可置位矣。

假如今有布四十五疋，每疋價三分兩之二，問共該 銀若干？

答曰：「三十兩。」

法曰：置布四十五疋，以分之，二因之，得九十兩，為實。 卻以分母三為法，歸之合問。

《解題》曰：「三分兩之二，即每疋六錢六分六釐而不能盡，故用約分之法也。」

假如今有米三分石之二，每斗價銀七分二釐，問共 該銀若干？

答曰：「四錢八分。」

法曰：置銀七分二釐，以每石十斗因之，得七錢二分， 又以分子之二因之，得一兩四錢四分為實。卻以分 母三為法，歸之《合問》。〈按此法即異乘同除也〉

假如今有商夥，論本分物俱得八分之七，至銀百兩， 問該若干？

答曰：「八十七兩五錢。」

法曰：置銀一百兩，以子之七因之，如故。仍以分母八 為法，歸之，合得。

假如今有羅六十六疋九分疋之六，每疋價二兩五 錢，問該銀若干？

答曰：「一百六十六兩六錢、三分錢之二。」

《法》曰：置六十六疋，以分母九通之，得五百九十四，加 分子六，共六百。以二兩五錢因之，得一千五百。以分 母九為法，歸之，得一百六十六兩六錢三分錢之二。 假如今有米六分石之二，每斗價四分錢之三，問該 銀若干？

答曰：「二錢五分。」

法曰：置分子石之二錢之三因之，得六兩為實。以分 母六分、四分相乘，得二十四兩為法，除之，得二錢五 分。合問。〈按此法即異乘同除也〉假如今有《緞》四十五疋、每疋價四兩三分兩之二，問 該銀若干？

答曰：「二百一十兩。」

法曰：置每疋價四兩，以分母三兩因之，得一十二兩； 加入分子二兩，共得一十四兩。以乘總緞四十五，得 六百三十兩為實。以分母三兩為法除之，合問。 假如今有豆九石六斗六分斗之四，每石價銀二錢 三分錢之一，問該銀若干？

答曰：「二兩二錢、五分、九分錢之五。」

《法》曰：先置每石價二錢，以分母三因之，得六，加納子 之一，共得七錢。另置豆九石六斗，以分母六因之，得 五七六，加納子之四，共得五十八；以七錢因之，得四 十兩零六錢為實。卻以分母六分、三分相因，得一十 八為法。除之不盡之數，一法實，皆折半而命之。

差分。〈《衰》分意同。〉

差分之法併來分，須要分數一分成，將此一分為之 實，以乘各數自均平。

假如今有東西二鄰共織絲絹，東鄰四斤六兩，西鄰 三斤二兩，共絲七斤八兩，織絹二十一丈八尺，問各 該若干？

答曰：「東鄰一十二丈七尺一寸六分六釐，西鄰九丈 零八寸三分三釐。」

法曰：置總絹二十一丈八尺為實。以共絲七斤八兩， 先將八兩變化為五，就以七斤五為法除之，得二丈 九尺零六分六釐六毫六絲為法。另以東西各絲斤 數不動，將兩減六，東六兩變作三七五，西二兩變作 一二五，併原斤為實乘之，合問。

假如今有「元、亨、利、貞」四人，合本經營，元出本銀二十 兩，《亨》出本銀三十兩，利出本銀四十兩，《貞》出本銀五 十兩，共本一百四十兩，至年終共得利銀七十兩，問 各該利銀若干？

答曰：元該利一十兩，《亨》該利一十五兩，利該利二十 兩，貞該利二十五兩。

法曰：置利銀七十兩為實，以四人共本一百四十兩 為法，除之，得五錢，為每兩之利。就以此為法，以乘各 人原本，合問。

假如今有甲、乙、丙三人合夥同商，因各人本銀不齊， 前後付出：甲於正月付出本七十兩，乙於四月付出 本八十兩，丙於七月付出本九十兩，三人共本二百 四十兩，至年終得利七十兩。問「各該利銀若干？」 答曰：「甲該利二十八兩，乙該利二十四兩，丙該利一 十八兩。」

法曰：置利銀七十兩為實。另置甲本七十兩，以十二 箇月通之，得八百四十兩。又置乙本八十兩，以九箇 月通之，得七百二十兩。再置丙本九十兩，以六箇月 通之，得五百四十兩。三共併，得二千一百兩為法，除 實得三錢三分三釐三毫三絲，此乃是每月每兩之 利也。就以此又為法，以乘甲通八百四十月，得利二 十八兩；又乘乙，通七百二十月，得利二十四兩；再乘 丙，通五百四十兩，得利一十八兩。《合問》。

此是差分「乘而相併，除而又乘」 之法也。

假如今有人借去銀二百六十兩，每年加三起息，今 有十箇月，二十四日問該利銀若干？

答曰：「七十兩零二錢。」

法曰：先將二十四日用《三歸》，得八數，在十月隔空一 位之下，再以十二月除之，得九數，如年以乘原本，得 二百三十四兩為實，以每年加三為法，因之，《合問》。

解曰：凡算年月日期，即與兩求斤法減六同理。每斤一十六兩，減六只作一數，每年十二月，每月三十日，故先用《三歸》如月併月，後用十二除月如年，以乘各人原本合得。餘皆倣此。圖式具左。

定盤算日月為年式

圖

假如今有趙、錢、孫、李四人同商，前後付出本銀：趙一 於甲子年正月初九日付出本銀三十兩；錢二於乙 丑年四月十五日付出本銀五十兩；孫三於丙寅年 八月十八日付出本銀七十兩；李四於丁卯年十月 二十七日付出本銀九十兩。四共得本銀二百四十 兩，至戊長年終，共得利銀一百二十兩，問各該得利 「銀若干？」

答曰：「趙一該得利二十九兩五錢五分○○一絲，錢 二該得利三十六兩七錢一分一釐，孫三該得利三 十二兩八錢○○三毫，李四該得利二十兩零九錢 三分七釐五毫。」

法曰：置利銀一百二十兩為實。另置各人年月日數， 照依前式歸日。如月除月，如年次位之零，併年以乘 原本，合問趙一，計四年十一箇月，二十一日先歸日，後除月。又 原本通得一百四十九兩二錢五分；錢二，計三年零 八箇月，一十五日先歸日，後除月。又原本通得一百 八十五兩四錢一分六釐五毫。孫三，計二年零四箇 月，一十二日先歸日，後除月，又原本通得一百六十 五兩六錢六分六釐六毫。李四計一年零二箇月，零 三日先歸日，後除月，又原本通得一百零五兩七錢 五分。

將四人年月日通得之數共併，得六百零六兩零八 分三釐三毫為法，除實得一錢九分七釐九毫九絲， 即是每年每兩之利也。就以此又為法，以乘各人通 得之數，《合問》。

假如人借去銀，每年每兩加利二錢七分。今有一年 零三箇月，二十日收還銀三百六十二兩四錢七分， 問本利各得若干？

答曰：「本二百六十八兩，利九十四兩四錢七分。」 法曰：置還本利共銀為實，另置年月日數，照依前式， 用三歸二，十日得六六六六於三月之下位。併月再 以十二除之，得三月零五五五於一年之下位，另以 每年利二錢七分乘之，得每兩利三錢五分二釐五 毫，加原本一兩二，共為法，除實，得原本銀二百六十 八兩。再以每兩利三錢五分二釐五毫乘之，得利九 十四兩四錢七分。《合問》。

假如原借本銀一十五兩，每月加利二分五釐，今有 六箇月已還過銀九兩，除作本及利問本利各該若 干，仍存原本若干。

答曰：除原本七兩八錢二分六釐，該利－兩一錢七 分四釐，仍存原本銀七兩一錢七分四釐，仍以原日 起利。

法曰：置還銀九兩為實。另置六箇月，以月利二分五 釐通之，得一錢五分，加原本一兩，本利共一兩一錢 五分為法。除實，得除本銀七兩八錢二分六釐。又以 通利一錢五分乘之，得利銀一兩一錢七分四釐，本 利共合九兩之數。另將原本一十五兩除還原本七 兩八錢二分六釐，餘者仍存數也。

異乘同除

此法雖易知之術，其意至奧。或人用先除後乘之法， 若除之不盡，將何以乘之乎？此異乘同除，實為通變 之法也。

歌曰

《異乘同除》法何如，物賣錢來作例推。先下原錢乘這 物，卻將原物法除之。將錢買物互乘取，百里千斤以 類推。算者留心能善用，一絲一忽不差池。

假如原有米五石八斗四升，賣銀四兩三錢八分，今 只有米一石七斗二升，問該銀若干？

答曰：「一兩二錢九分。」

《法》曰：「置今有米一石七斗二升」，以原賣銀四兩三錢 八分乘之，得七兩五錢三分三釐六毫為實，卻以原 有米五石八斗四升為法，除之，合問。

一法先用除而後乘。先置原價四兩三錢八分，以原 米五石八斗四升為法。除之，得每石價銀七錢五分。 又為法。以乘今米一石七斗二升亦得。

此法雖易知之，恐愚拙者法則難於取價，須用「先乘後除」 ，其法捷玅。

異乘同除互換捷用法圖

異乘同除互換捷用法圖

歌曰

此法有四隅，內有一隅空，異名斜乘了，同名「《兌》位除。」

詳此歌，則知「異名乘」 、「同名除」 也。

假如原有小麥八斗六升，磨麪六十四斤八兩，今有 小麥三十五石四斗八升，問該麪若干？ 答曰：「二千六百六十一斤。」

法曰：置今麥三十五石四斗八升，以磨麪六十四斤 半乘之，得二萬二千八百八十四斤六，為實，以原麥 八斗六升為法，除之，合問。

假如今有夏布四十五疋，欲換棉布，只云：「夏布三疋， 共價二錢，棉布七疋共價七錢五分」，問該換棉布若 干？

答曰：「棉布二十八疋。」

法曰：先置「今有夏布四十五疋」，以原夏布價二錢因 之，得九兩，又以棉布七疋因之，得六十三疋，為實。以 夏布三疋因棉布價七錢五分得二兩二錢五分為 法，除之，得棉布二十八疋。合問：

假如原有麥三斗五升，磨麪二十五斤。今欲用麪一 百七十五斤，問該麥若干？

答曰：「二石四斗五升。」

法曰：「置原麥乘今用麪」為實，以磨麪二十五斤為法 除之，合問假如今有綾一百六十一疋，每七疋價銀五兩，問共 該銀若干？

答曰：「一百一十五兩。」

法曰：置總綾，以五兩因之為實，以七疋為法，歸之合 問。

同乘異除歌

此法買寶石珍珠大小塊顆價用此。果品亦同。

同《乘異除》法可識原物價相乘為實，今物除實求今 價，今價除實求今物。

假如原有小珍珠五十顆重一兩，價銀一十二兩；今 有大珍珠三十顆重一兩，問該銀若干？

答曰：「二十兩。」

《法》曰：置原珠五十，以原價十二乘，得六百兩為實。以 今珠三十顆除之，合問。

異乘同乘法

假如原每人一日織錦八尺二寸五分，今有五十六 人，共織二十七日，問織錦若干？

答曰：「一千二百四十七丈四尺。」

法曰：置五十六人，乘二十七日，得一千五百一十二 工；再以日織八尺二寸五分乘之，得一萬二千四百 七十四尺，合問。

異除同除法理

假如今有客一十五人，住一十二日，共用米三石六 斗，問一客每日用米若干？

答曰：「每日二升。」

法曰：置米三石六斗為實。另以一十五人乘一十二 日，得一百八十人為法，除實得二升，合問。

同乘同除法理

假如原有鵝八隻換雞二十隻；每雞三十隻換鴨九 十隻；每鴨六十隻換羊二隻。今卻有羊五隻換鵝，問 該若干？

答曰：「該鵝二十隻。」

法曰：用異乘、同乘之法，置原鵝八隻，以乘原雞三十 隻，得二百四十隻。又以原鴨六十隻乘之，得鵝一萬 四千四百隻。再以今有羊五隻乘之，得七萬二千隻， 為實。又用異除、同除之法，以所換雞二十隻，乘換 鴨九十隻，得一千八百隻；又以所換羊二隻因之，得 羊三千六百隻為法。除實，得鵝二十隻。《合問》。

指曰：「法應一除一乘，多有不盡之數。今變法總乘為實，總除為法，此術極妙。」

傾煎論色

假如今有「九二成」色銀七兩四錢八分，傾銷足色銀 問該若干？

答曰：「足色銀六兩八錢八分一釐六毫。」

法曰：置銀為實，以九二色為法乘之，合問。

假如今有足色紋銀一十五兩二錢換「九五」色銀，問 該若干？

答曰：「九五色銀一十六兩。」

《法》曰：置紋銀十五兩二錢為實，以九五色為法，除之， 即得。

假如今有「八五色銀五兩六錢」換「九五」色銀，問該若 干？

答曰：「該九五色銀五兩零一分零五毫。」

法曰：置銀五兩六錢，以八五乘之，得四兩七錢六分 為實，以九五為法，除之，合問。

假如今有足色紋銀七兩六錢五分，傾出成色銀九 兩，問色幾何？

答曰：「八五色。」

《法》曰：置紋銀為實，以傾出色銀九兩為法，歸之合問。 假如今有足色紋銀三十五兩二錢，欲傾八八色銀， 問用銅若干？

答曰：「銅四兩八錢。」

法曰：置紋銀為實，以八八色為法除之，得色銀四十 兩，內減原銀，餘四兩八錢，是銅數也。《合問》：

假如有銅七錢五分，今煎作八八色銀。問「紋銀若干？」 答曰：「紋銀五兩五錢。」

法曰：置銅為實，以每兩用銅一錢二分為法除之，得 八八色銀六兩二錢五分，於內減去原銅七錢五分， 餘得紋銀合問。