婺源　江永　撰

律率

从来言律者皆云黄钟九寸既得九寸用三分损一益一以生十一律其法似巧妙一若天地生成有此法与数者洎生至仲吕不能复得黄钟说者曰律吕之数徃而不返夫律吕效法天地者也天地之气今岁节气既终来岁节气即续无丝毫之间断独律吕徃而不返天地岂留其有憾乎有谓仲吕极不生者淮南子刘安之说也有谓仲吕后犹生六十律强立之名自执始至南事者京房之说也有谓仲吕所生为变律且有变律子声者杜佑之说也三家之说皆非是独朱载堉因防氏为量有内方尺而圆其外之文悟出天地以方圆相函而自然之数出其中皆以句股乘除开方之法求之由倍律而正律由正律而半律皆有真率真数疏宻以渐而差每一律与三分损益所得者微强而不甚相逺其相生也可隔八可相连可左旋而顺亦可右旋而逆仲吕与黄钟如母子之相随应钟与黄钟黄钟与大吕如兄弟之相比夫妇之相偶皆一气相聨无丝毫之间断因律管长短推出管体厚薄与空围大小外周内周外径内径平幂积实皆方圆相函自然之真数此数千年未泄之秘载堉始发之虽起伶伦州鸠师旷之徒见之亦当叹其妙絶今载其说更推本于图书发明理数之所以然使此理昭晰无疑千万世言律学者更无可凿智翻案之理惟其算周径幂积所用之宻率犹有未真确者俟律体篇详之

载堉之推律亦因其舅祖何氏辨刘歆班固九寸外加一寸为尺之谬又以十分之法解史记生钟分始知律原从十起先有体而后有用遂因方内圆外之文悟方圆相函之理倍律二尺正律一尺半律五寸皆以十为率也倘一矢口即曰黄钟九寸虽有微妙理数隠于方圆相函之中亦无由生其悟矣

律数精微载堉深通算学故能啓悟乗除开方不惮烦劳推至二十余位皆从艰苦得之宋儒言格物穷理此一项工夫欠缺者多矣

推十二倍律正律之真率

朱载堉曰律家三分损其二三分益其一厯家四分度之一四分日之一与夫方则直五斜七圆则周三径一等率皆举大畧而言之耳非精义也新法算律与方圆皆用句股术其法本诸周礼防氏为量内方尺而圆其外夫内方尺而圆其外则圆径与方斜同知方之斜即知圆之径矣度本起于黄钟之长则黄钟之长即度法一尺命平方一尺为黄钟之率【按防氏之方尺自是周家之尺耳非即黄钟之尺也因一尺之数同故命之以为黄钟之率】东西十寸为句自乘得百寸为句幂【按幂方眼也音覔俗或作幂音莫】南北十寸为股自乘得百寸为股幂相并共得二百寸为幂【按句股求术句股各自乘并之为幂开方得斜】乃置幂为实开平方法除之【按开平方法初商为大平方次商以后迭加两亷一隅以除实】得一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纎二三七三○九五○四八八○一六八九为方之斜即圆之径亦即蕤賔倍律之率【按圆内方尺其幂百寸圆外方二尺其幂四百寸方斜圆径之幂二百得内方之倍外方之半蕤賔为午律犹一岁夏至在前后冬至之间所以应蕤賔者其幂得黄钟倍律之半故也既得蕤賔遂可求南吕得南吕遂可求应钟以应钟为法遂可求诸律其机阕要妙在先得蕤賔自然之理数千古其谁知之】以句十寸乘之【按内方十寸当为根数也】得平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九五○四八八○一六八九为实开平方法除之得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七一七五即南吕倍律之率仍以句十寸乘之【一尺进为百寸】又以股十寸乘之【百寸进为千寸】得立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七一七五为实开立方法除之【按开立方法初商自乘再乘为大立方次商以后与前商乘为平亷又乘为长亷迭加三平亷三长亷一隅以除实】得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五【立方之方根也】即应钟倍律之率【按南吕至应钟隔无射一律以立方积求立方根得之理数甚竒】盖十二律黄钟为始应钟为终终而复始循环无端此自然真理犹贞后元生坤尽复来也是故各律皆以黄钟正数十寸乘之为实皆以应钟倍数十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纎四三五九二九五二六四五六一八二五为法除之即得其次律也安有徃而不返之理哉旧法徃而不返者盖由三分损益算术不精之所致也是故新法不用三分损益别造宻率其详如左

按载堉谓旧法徃而不返由三分损益算术不精之所致愚谓古人亦非算术不精也九九八十一之数始于三管子有起五音凡首先主一而三之四开以合九九之说伶州鸠有纪之以三平之以六成于十二之说老子有道生一一生二二生三三生万物之说汉人有太极元气函三为一之说始动于子参之于丑以至参之于亥为应钟得十七万七千一百四十七之数一若以此为万物终始自然之数矣下生者倍其实三其法上生者四其实三其法黄钟九寸林钟六寸太蔟八寸三律得寸之全无零分汉人遂有黄钟为天统林钟为地统太蔟为人统之说矣其推说愈近理则其信三分损益也愈固恶知此外仍有算律之法哉又以旧法较今法林钟得黄钟三分之二以倍律言之当为一三三三三不尽而新率为一三三四八有竒太蔟得黄钟九分之八倍律当为一七七七七不尽而新率为一七八一七有竒其数与三分损益所得者切近而稍赢安得不以三分损益为自然之数哉至仲吕不能反生黄钟则无如之何矣独淮南子所载诸律之数何承天刘焯算之似欲破三分损益之说载之晋书宋书然而竒零小数半分以下弃之半分已上收之终无确数其黄钟生林钟之法置黄钟八十一分为实以五百乘之得四万○五百分以七百四十九为法除之得五十四分为林钟除实未尽则弃之矣七百四十九者与仲吕正律之长相近以此为法似矣然九之下仍有小数新法黄钟生林钟置黄钟之率十亿为实五亿乘之七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之得林钟则以七四九为法除实求林钟者尚未确是以仲吕终不能反生黄钟皆由方圆相函勾股乘除开方一窍未啓故载堉云新法盖二千余年所未有自我朝始诚然也

又曰造率始于黄钟必先求蕤賔者犹冬夏二至也次求夹钟及南吕者犹春秋二分也太极生两仪两仪生四象此之谓也始于黄钟者履端于始也中于蕤賔者举正于中也终于应钟者归余于终也律与厯一道也黄钟为宫蕤賔为中应钟为和此三律者律吕之纲纪也

按载堉言次求夹钟及南吕本书未言求夹钟之法今补之

法曰求得蕤賔倍律之率以句十寸折牛为五寸乘之得平方积七十寸○七十一分○六厘七十八毫一十一丝八十六忽五四七五二四四○○八四四五为实开平方法除之得八寸四分○八毫九丝六忽四一五二五三七一四五四三○三一一二五即夹钟正律之率倍之一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六二二五一为夹钟倍律之率又或以南吕之平方积倍之二八二八四二七二二四七四六一九○　○九七六○三三七八开平方法除之即夹钟倍律之率【原阙】

积算旁通图【有竒零者无时尽列算多位见开方之妙】

二【本是二尺进作二百寸为实以上文所载应钟倍律之数十寸五分有竒为法除之余律放此】右乃黄钟倍律积算【置黄钟倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得大吕】

一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二八三六二六

右乃大吕倍律积算【置大吕倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得太蔟】

一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四八○四五二

右乃太蔟倍律积算【置太蔟倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得夹钟】

一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○六二二五一

右乃夹钟倍律积算【置夹钟倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得姑洗】

一五八七四○一○五一九六八一九九四七四七五

一七六○

右乃姑洗倍律积算【置姑洗倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得仲吕】

一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七九九二八一

右乃仲吕倍律积算【置仲吕倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得蕤賔】

一四一四二一三五六二三七三○九五○四八八○一六八九

右乃蕤賔倍律积算【置蕤賔倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得林钟】

一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八三○八三二

右乃林钟倍律积算【置林钟倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得夷则】

一二五九九二一○四九八九四八七三一六四七六七二一

右乃夷则倍律积算【置夷则倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得南吕】

一一八九二○七一一五○二七二一○六六七一七五

右乃南吕倍律积算【置南吕倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得无射】

一一二二四六二○四八三○九三七二九八一四三三五三三

右乃无射倍律积算【置无射倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得应钟】

一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五六一八二五

右乃应钟倍律积算【置应钟倍律积算进一位为实以应钟倍律积算为法除之得黄钟】

新造密率二种【倍律命寸为兆正律命寸为亿欲初学者知命法之变通云尔】

黄钟之率二十兆【本是二十寸命作二十兆】

大吕之率十八兆八千七百七十四万八千六百二十五亿三千六百三十三万八千六百九十九

太蔟之率十七兆八千一百七十九万七千四百三十六亿二千八百○六万七千八百六十

夹钟之率十六兆八千一百七十九万二千八百三十亿○五千○七十四万二千九百○八

姑洗之率十五兆八千七百四十万○一千○五十一亿九千六百八十一万九千九百四十七

仲吕之率十四兆九千八百三十万○七千○七十六亿八千七百七十六万八千一百四十九

蕤賔之率十四兆一千四百二十一万三千五百六十二亿三千七百三十万○九千五百○四

林钟之率十三兆三千四百八十三万九千八百五十四亿一千七百万○○三千四百三十六

夷则之率十二兆五千九百九十二万一千○四十九亿八千九百四十八万七千三百一十六

南吕之率十一兆八千九百二十万○七千一百一十五亿○○二十七万二千一百○六

无射之率十一兆二千二百四十六万二千○四十八亿三千○九十三万七千二百九十八

应钟之率十兆○五千九百四十六万三千○九十四亿三千五百九十二万九千五百二十六

黄钟之率十亿【本是十寸命作十亿】

大吕之率九亿四千三百八十七万四千三百一十二太蔟之率八亿九千○八十九万八千七百一十八夹钟之率八亿四千○八十九万六千四百一十五姑洗之率七亿九千三百七十万○○五百二十五仲吕之率七亿四千九百一十五万三千五百三十八蕤賔之率七亿○七百一十万○六千七百八十一林钟之率六亿六千七百四十一万九千九百二十七夷则之率六亿二千九百九十六万○五百二十四南吕之率五亿九千四百六十万○三千五百五十七无射之率五亿六千一百二十三万一千○二十四应钟之率五亿二千九百七十三万一千五百四十七补半律之率【本书未推今推之】

黄钟之率五亿【本是五寸命作五亿】

大吕之率四亿七千一百九十三万七千一百五十六太蔟之率四亿四千五百四十四万九千三百五十九夹钟之率四亿二千○四十四万八千二百○七姑洗之率三亿九千六百八十五万○二百六十二仲吕之率三亿七千四百五十七万六千七百六十九蕤賔之率三亿五千三百五十五万三千三百九十林钟之率三亿三千三百七十万○九千九百六十三夷则之率三亿一千四百九十八万○二百六十二南吕之率二亿九千七百三十万○一千七百七十八无射之率二亿八千○六十一万五千五百一十二应钟之率二亿六千四百八十六万五千七百七十三按诸律之率固皆以应钟之率为法求得之而各律自乘有平幂其倍半有自然相应者开列于后【此律自乘之积非空围之面幂】

黄钟倍律之幂折半为蕤賔倍律之幂　蕤賔倍律之幂折半为黄钟正律之幂　黄钟正律之幂折半为蕤賔正律之幂　蕤賔正律之幂折半为黄钟半律之幂黄钟半律之幂折半为蕤宾半律之幂

右子午对冲之例也

大吕倍律之幂折半为林钟倍律之幂　林钟倍律之幂折半为大吕正律之幂　大吕正律之幂折半为林钟正律之幂　林钟正律之幂折半为大吕半律之幂大吕半律之幂折半为林钟半律之幂

右丑未对冲之例也

太蔟倍律之幂折半为夷则倍律之幂　夷则倍律之幂折半为太蔟正律之幂　太蔟正律之幂折半为夷则正律之幂　夷则正律之幂折半为太蔟半律之幂太蔟半律之幂折半为夷则半律之幂

右寅申对冲之例也

夹钟倍律之幂折半为南吕倍律之幂　南吕倍律之幂折半为夹钟正律之幂　夹钟正律之幂折半为南吕正律之幂　南吕正律之幂折半为夹钟半律之幂夹钟半律之幂折半为南吕半律之幂

右卯酉对冲之例也

姑洗倍律之幂折半为无射倍律之幂　无射倍律之幂折半为姑洗正律之幂　姑洗正律之幂折半为无射正律之幂　无射正律之幂折半为姑洗半律之幂姑洗半律之幂折半为无射半律之幂

右辰戌对冲之例也

仲吕倍律之幂折半为应钟倍律之幂　应钟倍律之幂折半为仲吕正律之幂　仲吕正律之幂折半为应钟正律之幂　应钟正律之幂折半为仲吕半律之幂仲吕半律之幂折半为应钟半律之幂

右已亥对衡之例也

已上六例载堉书所未言今推得之此方圆相函内内倍半自然相应之道也律之空围靣幂积实其例亦如此方与方圆与圆其理同也

方圆相函列律图

自有律书以来未有此图天地之秘宻泄于此图观

按载堉之说非图不显作此图以明之方函圆圆又函方皆自然之理即有一定之数列线为律外十二线为倍律中十二线为正律其半律亦有十二在内线愈密不能图只图其一律之疎密自有差次无忽密忽疎之病律之长短皆两斜线界定非由三分损益观此则新旧二法真伪判然矣

方圆相函外内周径幂积图

考工记防氏为量内方尺而圆其外此图外圆之第二层方之第三层也今各增其内外之方圆迭相函容径与径幂与幂各以倍半相应此律吕长短所由生外内周径面幂实积所由出此天地自然之理数不假人力安排者也

李文贞公光地曰律之以损益相生何也曰凡象数皆起于隂阳象者隂阳相变者也数者竒偶相生者也故方之内圆必得外圆之半其外圆必得内圆之倍圆之内方亦必得外方之半其外方亦必得内方之倍律之上生为下生之倍下生为上生之半其理一也盖方圆函盖竒偶乘负隂阳变化天地生生之道也苟其象之所生同数之所起同则上下无不应也外内无不合也倍半无不和也故司马迁律书谓之同数今西人算学谓之比例易曰同声相应同气相求此之谓也夫金石之铿訇与丝竹之繁细物性迥然殊矣而各以其性为声律则无不相应者岂非同类比例之谓乎

按文贞公深明象数之学以方圆倍半之理推原声律相生倍半相应直抉造化之微此朱载堉所以因防氏之文能别推出密率新法者也然文贞公设问犹言损益相生不云律生于方圆相容之形岂未见载堉之书暗与之相符与今作此图明之方六层圆五层方圆有方圆之倍半平幂有平幂之倍半律之长短围径之大小幂积之多寡其理皆具此图之中要其所以然者河图已以象数示人矣俟象数篇详之

律数相较图

正律数　一较再较　三较

黄钟十

大吕九四三八七四三一二　【五六一二五六八八】　三一五○○九四

太簇八九○八九八七一八　【五二九七五五九四】　二九七三二九一　【一七六八三】

夹钟八四○八九六四一五　【五○○○二三○三】　二八○六四一二　【一六六八七】

姑洗七九三七○○五二五　【四七一九五八九○】　二六四八九○三　【一五七五一】

仲吕七四九一五三五五八　【四四五四六九八七】　二五○○二三○　【一四八六七】

蕤宾七○七一○六七八一　【四二○四六七五七】　二三五九九○三【一四○三二】

林钟六六七四一九九二七　【三九六八六八五四】　二二二七四五一　【一三二四五】

夷则六二九九六○五二四　【三七四五九四○三】　二一○二四二六　【一二五○二】

南吕五九四六○三五五七　【三五三五六九六七】　一九八四四三四　【一一七八九】

无射五六一二三一○二四　【三三三七二五三三】　一八七三○五六　【一一一三七】

应钟五二九七三一五四七　【三一四九九四七七】　一七六七九三○　【一○五一二】

半黄钟五　【二九七三一五四七】

凡数前后相较必以渐而差如八线表度分匀而诸线各有差率是为真数律之渐而短也亦然其以应钟之率为法而除实也则同以其前后相差之数一较再较三较皆以渐可见新法为真数旧法三分损益得之者忽多忽失不以其渐矣【自黄钟至仲吕律分多吕分少自蕤賔至应钟律分少吕分多】

诸律相生

朱载堉曰新法不拘隔八相生而相生有四法或左旋或右旋皆循环无端也以证三分损益徃而不返之误其一黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕南吕生姑洗姑洗生应钟应钟生蕤賔蕤賔生大吕大吕生夷则夷则生夹钟夹钟生无射无射生仲吕仲吕生黄钟长生短五亿乘之短生长十亿乘之皆以七亿四千九百一十五万三千五百三十八除之

按此隔八左旋相生也七亿四千九百一十五万三千五百三十八者仲吕之率也仲吕复生黄钟者也用其率以除实自然循环矣旧法三分损一益一亦是以五以十乘本律而以七十五为法除之七十五者七亿五千万也实少法强是以不能复生黄钟又如晋宋书算淮南子之法以七百四十九为除法七百四十九者七亿四千九百万也法又稍弱是以亦不能循环此新法之所以妙也仲吕之率亦不必以应钟迭求而后得也应钟之率自乘而倍之平方开之即仲吕之率矣

用横黍百分律者黄钟长十寸如法乘除所得亿约为寸

用斜黍九十分律者黄钟长九寸长生短者本律之率折半为实九亿乘之短生长者本律之率为实九亿乘之如法除之所得亿约为寸

用纵黍八十一分律者黄钟长八寸一分长生短者八十一亿乘本律之率折半退位为实短生长者不折半但退位为实如法除之所得亿约为寸

其二黄钟生仲吕仲吕生无射无射生夹钟夹钟生夷则夷则生大吕大吕生蕤賔蕤賔生应钟应钟生姑洗姑洗生南吕南吕生太蔟太蔟生林钟林钟生黄钟长生短五亿乘之短生长十亿乘之皆以六亿六千七百四十一万九千九百二十七除之

按此隔八右旋相生也六亿六千七百四十一万九千九百二十七者林钟之率也末位林钟生黄钟故用林钟之率

其三黄钟生大吕大吕生太蔟太蔟生夹钟夹钟生姑洗姑洗生仲吕仲吕生蕤賔蕤賔生林钟林钟生夷则夷则生南吕南吕生无射无射生应钟应钟生黄钟半律此系长生短皆以五亿乘之皆以五亿二千九百七十三万一千五百四十七除之

按此相连左旋相生也五亿二千九百七十三万一千五百四十七者应钟之率也末位应钟生黄钟半律故用应钟之率

其四黄钟半律生应钟应钟生无射无射生南吕南吕生夷则夷则生林钟林钟生防賔蕤賔生仲吕仲吕生姑洗姑洗生夹钟夹钟生太蔟太蔟生大吕大吕生黄钟此系短生长皆以十亿乘之皆以九亿四千三百八十七万四千二百一十二除之

按此相连右旋相生也九亿四千三百八十七万四千三百一十二者大吕之率也末位大吕生黄钟故用其率

已上四法反覆循环相生可见十二律有一气连贯之妙四法以第一法为要此五声宫徴商羽角之相通旋宫之法所由出也诸律比例相生其理已具洛书第六卷详之

又按隔八相生诸家之説不同有以阳律下生隂吕上生大吕夹钟仲吕用倍数者前汉志之法也蔡氏从之有以黄钟至仲吕为阳皆下生蕤賔至应钟为隂皆上生者淮南子郑康成之法也朱子从之吕不韦之法则黄钟大吕太簇夹钟姑洗仲吕防賔七律皆用半而上生林钟夷则南吕无射应钟五律皆用全而下生其説与诸家大异盖诸家谓黄钟下生林钟者用全律吕氏谓黄钟上生林钟者用半律吕氏之説即管子宫主生徴百有八之理也论声律之体固如诸家之説声律之用当主管吕之説只论长短不论隂阳载堉亦尝称引管子之言矣亦谓长律用半短律用全矣载堉又引朱子语有大隂阳小隂阳之説谓此论精妙非蔡氏所及究之上下相生别有妙理徒以隂阳言者尚未尽其妙也今不録