宋儒术数之学，其源有二：一则周子之《太极图》，邵子之《先天图》，与《参同契》为一家言，盖方士修炼之书也；一则天地生成之数，司马氏之《潜虚》，及刘氏、蔡氏、《河图》、《洛书》之说本之。

所谓天地生成之数者？其说见于郑氏之《易注》。《易系辞传》曰：“天一，地二。天三，地四。天五，地六。天七，地八。天九，地十。”又曰：“天数五、地数五，五位相得而各有合。天数二十有五、地数三十。凡天地之数，五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”一、三、五、七、九为天数，二、四、六、八、十为地数，所谓天数五，地数五也。一、三、五、七、九相加，为二十有五，二、四、六、八、十相加，为三十，所谓天数二十有五、地数三十也。二十五与三十相加，为五十有五，则《易》所言之凡数也。郑氏《注》曰：“天一生水于北，地二生火于南，天三生木于东，地四生金于西，天五生土于中。阳无耦，阴无妃，未得相成。于是地六成水于北，与天一并；天七成火于南，与地二并；地八成木于东；与天三并；天九成金于西，与地四并；地十成土于中，与天五并。”此所谓五行生成之数。《汉书·五行志》《左氏》昭公九年：“裨灶曰：火，水妃也，妃以五成。”《疏》引《阴阳之书》，言五行妃合；十八年，“梓慎曰：水，火之牡也。”《疏》引《阴阳之书》，言五行嫁娶，说皆略同。后人于郑氏之说，或多驳难，然非此无以释五位相得而各有合也。《月令》言五方，木、火、金、水皆成数，惟土为生数。《太玄玄图篇》云：“一与六共宗，二与七为朋，三与八成友，四与九同道，五与五相守。”说亦大同，惟中央不言五与十而已。司马氏《潜虚》所用，即系此数。

温公《潜虚》，亦从万物之所由来说起。由此推原人性，而得其当然之道。其说曰：“万物皆祖于虚，生于气。气以成体。体以受性。性以辨名。名以立行。行以俟命。故虚者，物之府也。气者，生之户也。体者，质之具也。性者，神之赋也。名者，事之分也。行者，人之务也。命者，时之遇也。”盖亦欲通天人之故者也。（谓万物皆祖于虚，不如张子泯有无为一之当。）

其《气图》：以五行分布五方，用其生数为原、荧、本、卝、基，而以其成数为委、焱、末、刃、冢。以此互相配合，其数五十有五，尽成级数，是为《体图》。《体图》一等象王，二等象公，三等象岳，四等象牧，五等象率，六等象侯，七等象卿，八等象大夫，九等象士，十等象庶人。其说曰：“少以制众，明纲纪也。位愈卑，诎愈多，所以为顺也。”又以五行生成之数递相配，其数亦五十有五，谓之《性图》。（其中以水配水，以火配火，谓之十纯。其余谓之配。）又以一至十之数互相配，各为之名，亦得五十五。其中以五配五曰齐，居中。余则规而圆之，始于元而终于余。是为《名图》。齐包于万物，无位。元，余者，物之终始，无变。余各有初、二、三、四、五、六、上七变。凡三百六十四变。变尸一日。授于余而终之。其说曰：“人之生本于虚。虚然后形。形然后性。性然后动。动然后情。情然后事。事然后德。德然后家。家然后国。国然后政。政然后功。功然后业。业终则反于虚矣。故万物始于元，著于裒，存于齐，消于散，讫于余。五者，形之运也。柔、刚、雍、昧、昭，性之分也。容、言、虑、聆、觌，动之官也。繇、懠，得、罹、耽，情之訹也。歬、却、庸、妥、蠢，事之变也。讱、宜、忱、喆、戛，德之途也。特、偶、昵、续、考，家之纲也。范、徒、丑，隶、林，国之纪也。禋、准、资、宾、或，政之务也。教、乂、绩、育、声，功之具也。兴、痛、泯、造、隆，业之著也。”盖欲以遍象万事也。元、余、齐无变，不占。初、上者，事之终始，亦不占。余五十二名，各以其二、三、四、五、六为占。五行相乘，得二十五；又以三才乘之，得七十五以为策。虚其五而用七十占之。其占，分吉、臧、平、否、凶五者。

温公好《太玄》，留心三十年，集诸说而作注。其作《潜虚》，自云：“《玄》以；隹《易》，《虚》以拟《玄》。”《玄》起冬至，终大雪，盖象物之始终。《虚》亦然。其系元之辞曰：“元，始也。夜半，日之始也。朔，月之始也。冬至，岁之始也。”继之以裒，曰：“裒，聚也。气聚而物，宗族聚而家，圣贤聚而国。”终之以散，继之以余，盖亦象物之始终。其思想，实未能出于《太玄》之外。此等书，殊可不必重作也。

温公《潜虚》，虽不足贵，而其践履，则有卓然不可诬者。温公之学，重在不欺。自谓“生平所为，未尝不可对人言”。弟子刘安世，问：“有一言而可以终身行之者乎？”曰：“其诚乎？”问其目。曰：“自不妄语始。”安世学之，七年而后成，故能屹然山立。论者称涑水门下，忠定（安世谥）得其刚健笃实，范正献（祖禹）得其纯粹云。传温公之数学者，则晁景迂也。

景迂从温公游，又从杨贤宝（康节弟子）传先天之学，姜至之讲《洪范》。温公著《潜虚》，未成而病，命景迂补之；景迂谢不敏。所著书，涉于《易》者甚多，今惟《易玄星纪谱》，尚存《景迂集》中。其书，乃将温公之《太玄历》，康节之《太玄准易图》，据历象合编为谱，以见《易》与《玄》之皆本于天也。

五行生成之数，郑氏以之注《系辞传》天地之数，其注大衍之数亦用之。其注“河出图，洛出书”，则引《春秋纬》云：“河以通乾出天苞，洛以流坤吐地符。河龙图发，洛龟书成。《河图》有九篇，《洛书》有六篇。”初不言九篇、六篇所载为何事。《汉书·五行志》载刘歆之言曰：“虑牺氏继天而王，受《河图》，则而画之，八卦是也。禹治洪水，赐《雒书》，法而陈之，《洪范》是也。”（张衡《东京赋》：“《龙图》授羲，《龟书》畀妣。”）始以《河图》为八卦，《洛书》为五行。（《伪孔传》及《论语集解》引孔氏，亦皆以《河图》为八卦。）然亦仅言八卦五行，出于《图》《书》，而《图》《书》究作何状，则莫能质言。（邢昺《论语疏》：“郑玄以为《河图》《洛书》，龟龙衔负而出。如《中候》所说：龙马衔甲，赤文绿字。甲似龟背，袤广九尺。上有列宿斗正之度，帝王录纪兴亡之数。”云“列宿斗正之度”，似《图》；云“帝王录纪兴亡之数”，则亦似《书》矣。又云：“赤文绿字，甲似龟背”，则龙马所负，亦龟书也。《隋志》：“《河图》二十卷。《河图龙文》一卷。其书出于前汉。有《河图》九篇，《洛书》六篇。自黄帝至周文王所受本文。又别有三十篇，云自初起至于孔子九圣之所增演，以广其意。”其书既亡，无可究诘。《汉书·五行志》，以“初一日”以下六十五字，皆为《洛书》本文；孔以“初一日”等二十七字，系禹加；刘彪、顾焯以为龟背有二十八字，刘炫谓止二十字，亦皆以意言之而已。要之《河图》《洛书》，本神怪之谈，无从征实。必欲凿求，适成其为痴人说梦而已。）至宋时，始有所谓《易龙图》者，托诸陈抟。（见李淑《邯郸书目》。）朱子已明言其伪。清胡渭《易图明辨》，谓其图见于张仲纯《易象图说》者凡四：其第一图，即天数二十有五，地数三十；第二图上为五行生数，下为五行成数；第三图合二者为一；第四图则所谓“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五为腹心，纵横数之皆十五”者也。其数与《大戴记》明堂九室（《大戴记·明堂篇》：“明堂者，古有之也。凡九室。二、九、四；七、五、三；六、一、八。”）及《后汉书。张衡传》注引《易乾凿度》同。案《后汉书·刘瑜传》：瑜上书：“《河图》授嗣，正在九房”，则以此数为《河图》。然九宫之数，合于九畴，故又有以此为《洛书》者。

宋刘牧撰《易数钩隐图》，就《龙图》天地已合之数，虚其中，以上图为两仪，下图为四象，以为《河图》，其有五数及十数者为《洛书》。蔡元定则以第三图为《河图》，第四图为《洛书》。引关朗《易传》为证。《易传》曰：“《河图》之文，七前六后，八左九右。圣人观之以画卦。是故全七之三以为离，奇以为巽。全八之三以为震，奇以为艮。全六之三以为坎，奇以为乾。全九之三以为兑，奇以为坤。正者全其位，隅者尽其量。《洛书》之文，九前一后，三左七右；四前左，二前右，八后左，六后右。后圣稽之为三象：一、四、七为天生之数，二、五、八为地育之数，三、六、九为人资之数。”所谓则图画卦者，与刘牧之《四象生八卦图》合，宋时言《图》《书》者，所由以《图》《书》附合于《易》也。（刘氏曰：“水居坎而生乾，金居兑而生坤，火居离而生巽，木居震而生艮。”谓水数六，除三画为坎，余三画为干；金数九，除三画为兑，余六画为坤；火数七，除三画为离，余四画为巽；木数八，除三画为震，余五画为艮也。乾坤艮男，画数恰合，巧矣。然坎离震兑皆止三画，殊不可通。）关朗易传，乃北宋阮逸所造伪书，见陈无己《后山丛谈》；实本诸刘牧，而又小变其说者，蔡氏为所欺也。

《东都事略·儒学传》谓：“陈抟读《易》，以数学授穆脩，脩以授种放，放授许坚，坚授范谔昌。”朱汉上《经筵表》谓：“陈抟以《先天图》传种放，放传穆脩，脩传李之才，之才传邵雍。（明道志康节墓，亦谓其学得之李挺之，挺之得之穆伯长。）放以《河图》《洛书》传李溉，溉传许坚，坚传范谔昌，谔昌传刘牧。脩以《太极图》传周敦颐，敦颐传程颢、程颐。”晁公武《郡斋读书志》：“《易证坠简》一卷。天禧中，毗陵从事范谔昌撰。自谓其学出于湓浦李处约、庐陵许坚。”处约不知即溉否。然邵之学，出于《先天图》；刘牧之学，出于《河图》《洛书》；周子之学，出于《太极图》，则不可诬也。

一、天地未合之数

二、天地已合之数

三、天地生成之数

四、《洛书》纵横十五之象

南渡以后，精于数学者，莫如蔡西山父子。西山以十为《河图》（五行生成数），九为《洛书》（九官）。又谓“《河图》、《洛书》虚其中为太极。奇耦各居二十（谓一、三、七、九，与二、四、六、八，相加皆为二十），则亦两仪。一、六为水，二、七为火，三、八为木，四、九为金，五、十为土，固《洪范》之五行，而五十有五，又九畴之子目也。（五行五，五事五，八政八，五纪五，皇极一，三德三，稽疑七，庶征十，福极十一。）《洛书》一、二、三、四，而合九、八、七、六，纵横十五，而互为九、八、七、六，则亦四象也。四方之正，以为乾、坤、离、坎，四隅之偏；以为兑、震、巽、艮（此邵子先天方位），则亦八卦也。《洛书》固可以为《易》，《河图》固可以为《范》；且又安知《图》之不为《书》，《书》之不为《图》邪？”又曰：“太极者，象数未形，而其理已具之称；形器已具，而其理无朕之目。在《河图》《洛书》，皆虚中之象也。周子曰‘无极而太极’；邵子曰‘道为太极’，又曰‘心为太极’，此之谓也。太极之判，始生一奇一耦，而为一画者二，是为两仪。其数则阳一而阴二。在《河图》《洛书》，则奇耦是也。周子所谓太极动而生阳；动极而静，静而生阴；静极复动；一动一静，互为其根；分阴分阳，两仪立焉；邵子所谓一分为二者，皆谓此也。两仪之上，各生一奇一耦，而为二画者四，是为四象。其位则太阳一，少阴二，少阳三，太阴四；其数则太阳九，少阴八，少阳七，太阴六。以《河图》言之：则六者，一而得于五者也；七者，二而得于五者也；八者，三而得于五者也；九者，四而得于五者也。以《洛书》言之：则九者，十分一之余也；八者，十分二之余也；七者，十分三之余也；六者，十分四之余也。周子所谓水、火、木、金；邵子所谓二分为四者，皆谓此也。四象之上，各生一奇一耦，而为三画者八，于是三才略具，而有八卦之名矣。其位则乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。在《河图》：则乾、坤、离、坎，分居四实；兑、震、巽、艮，分居四虚。在《洛书》：则乾、坤、离、坎，分居四方；兑、震、巽、艮，分居四隅。《周礼》所谓三易经卦各八；大传所谓八卦成列：邵子所谓四分为八者，皆指此而言也。”（以上皆引《易学启蒙》。此书实西山所撰也。）盖将先天、太极，及宋人所谓《河图》《洛书》者，通合为一矣。

西山于《洪范》之数，未及论著，皆以授九峰。九峰著《洪范皇极》，以九九之数为推。其言曰：“数始于一，参于三，究于九，成于八十一，备于六千五百六十一。八十一者，数之小成也；六千五百六十一者，数之大成也。天地之变化，人事之始终，古今之因革，莫不于是著焉。”又曰：“一变始之始，二变始之中，三变始之终。四变中之始，五变中之中，六变中之终。七变终之始，八变终之中，九变终之终。数以事立，亦以事终。”盖欲以数究万物之变者也。此等说，太觉空漠，无可征验，即无从评论其是非。然《洪范皇极》，颇多微妙之言。今略引数条于下：

九九积数图

《洪范皇极》曰：“有理斯有气，气著而理隐。有气斯有形，形著而气隐。人知形之数，而不知气之数；人知气之数，而不知理之数。知理之数则几矣。动静可求其端，阴阳可求其始。天地可求其初，万物可求其纪。鬼神知其所幽，礼乐知其所著。生知所来，死知所去。《易》曰：‘穷神知化，德之盛也。’”形者，已成之局。气者，形之原因。理又气之原因。数者，事之必然。知理之数，则形气自莫能外矣。故以为穷神知化也。

又曰：“欲知道，不可以不知仁。欲知仁，不可以不知义。欲知义，不可以不知礼。欲知礼，不可以不知数。数者，礼之序也。知序则几矣。”仁义二者，仁为空名，义则所以行仁。礼之于义亦然。数者，礼之所以然也。知数，则所行之礼，皆不差忒；于仁义无遗憾，于道亦无不合矣。此说将仁、义、礼一以贯之，即所以使道与数合而为一也。

又曰：“数运无形而著有形。智者一之，愚者二焉。数之主生，化育流行。数之已定，物正性命。圆行方止，为物终始。随之而无其端也，迎之而无其原也。浑之唯一，析之无极。惟其无极，是以唯一。”此言原因结果之间，所以无毫厘差忒者，以其本是一体。惟本是一体，而分析特人所强为，故毫厘不得差忒。以其析之无穷，而仍毫厘不得差忒。可见其本是一体，而分析特人之所为也。

又曰：“数者，动而之乎静者也。象者，静而之乎动者也。动者，用之所以行。静者，体之所以立。用既为体，体复为用。体用相仍，此天地万物所以化生而无穷也。”此所谓静者，谓人所能认识之现象；动者，现象之所由成也。用既为体，体复为用，言现象皆有其所以然之原因；而此现象，复为他现象之原因也。

又曰：“顺数则知物之所始，逆数则知物之所终。数与物非二体也，始与终非二致也。大而天地，小而毫末；明而礼乐，幽而鬼神。知数即知物也，知始即知终也。九峰所谓数，即宇宙定律之谓。明乎宇宙定律，则于一切事物，无不通贯矣。故曰：‘物有其则，数者尽天下之物则；事有其理，数者尽天下之物理’也。”

以上所引，皆《洪范皇极》中精语。略举数条，不能尽也。然亦可见宋代理学家；其学虽或偏于术数，而其意恒在明理；其途径虽或借资异学，而多特有所见，不为成说所囿。后人訾讆之辞，实不尽可信也。