钦定四库全书
九章算术卷九 晋 刘 徽 注
唐 李淳风 注释
句股以御高深广远
今有句三尺股四尺问为弦几何答曰五尺
今有弦五尺句三尺问为股几何答曰四尺
今有股四尺弦五尺问为句几何答曰三尺
句股
短面曰句长面曰股相与结角曰弦句其股短股短其弦将以施于诸率故先具此术以见其源也
术曰句股各自乘并而开方除之即得
句自乘为朱方股自乘为青方令出入相补各从其类因就其余不移动也合成弦方之幂【案注内以朱青分句股之方幂则知旧有图而缺今补图于後】开方除之即弦也
又股自乘以减弦自乘其余开方除之即句
淳风等按此术以句股幂合成弦幂句方于内则句短于股今股自乘以减弦自乘余者即句幂也故开方除之即句也
又句自乘以减弦自乘其余开除之即股
句股幂合以成弦幂令去其一则余在者皆可得而知之
<子部,天文算法类,算书之属,九章算术,卷九>
今有圆材径二尺五寸欲为方版今厚七寸问广几何答曰二尺四寸
术曰令径二尺五寸自乘以七寸自乘减之其余开方除之即广
此以圆径二尺五寸为弦版厚七寸为句所求广为股也
今有木长二丈围之三尺葛生其下缠木七周上与木齐问各长几何答曰二丈九尺
术曰以七周乘三围为股木长为句为之求弦弦者葛之长
?围广求从为木长者【案此句有舛误当云?围广木长求葛之长】其形万卷里袤以笔官青线宛转有似葛之缠木解而观之则每周之间自有相间成句股弦则其间葛青七弦周乘三围并合衆句以为一句木长而股短术云木长谓之股言之倒【案此数句讹舛不可通当云则其间木长股围为之为句葛长为弦弦七周乘三围是并合衆句以为一句则句长而股短故术以木长谓之句围之谓之股言之倒互】句互与股求弦亦无围二十五青弦之自乘幂出上第一围【案此亦讹舛当云句与股求弦亦如前图句三自乘为味幂股四自乘为青幂合朱青得二十五为弦五自乘幂出上第一围】句股幂合为弦幂明矣然二幂之数谓倒在于弦幂之中而已可更相里者则成方幂其居表者老成矩幂二表里形讹而数均又按此图句幂之矩青卷白表是其幂以股弦差为广股弦并为袤而股幂方其里股幂之矩青卷白表是其幂以句弦差为广句弦并为袤而句幂方其里是其幂之与并用除之短长互相乘也【案此上亦多讹舛又非本术所该特因论句幂股幂合为弦幂旁推交相言之据君卿注周赵髀算经云凡并句股之实即成弦实或矩于外或方于内形诡而量均体殊而数齐句实之矩以股弦差为广股弦并为袤而股实方其里股实之矩以句弦差为广句弦并为袤而句实方其里君卿汉人此注盖用其说而传写失真加以後人窜改遂不可通其图已见上】
今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴岸适与岸齐问水深葭长各几何答曰水深一丈二尺葭长一丈三尺
术曰半池方自乘
此以池方半之得五尺为句水深为股葭长为弦以句弦见股故令自乘先矩见幂也【案此注有脱误当云以句及股弦差求弦股故令句自乘先见矩幂也】
以出水一尺自乘减之
出水者股胘差减此差幂于矩幂则除之【案此三字舛误当云余为倍股弦差乘股为之矩幂】
余倍出水除之即得水深
差为矩广之幂【案此句有脱误当云倍差为矩幂之广】水深是股令此幂得出水一尺为长故为矩而得葭长也【案此二字有脱误当云欲先见葭长者出水一尺自乘以加于半池方自乘尺数倍出水除之即得令此幂得出水一尺为袤故为矩而得葭长也】
加出水数得葭长
淳风等按此葭本出水一尺既见水深故加出水尺数而得葭长也
今有立木系索其末委地三尺引索却行本去八尺而索尽问索长几何答曰一丈二尺六分尺之一
术曰以去本自乘
此以去本八尺为句所求索者弦也引而索尽开门去阃者句及股弦差同一术【案此句有脱误当云与阃者去阃者句及股弦差求股弦同一术】去本自乘者先张矩幂
今如委数而一
委地者股弦差也以除矩幂即是股胘并也
所得加委地数而半之即索长
子不可半者倍其母加差者并而成长故又半之其减差者并而半之也【案此注脱误不可通据句自乘之矩幂如股弦差而一得股弦并加差为两弦减差为两股当云加差于并则成两索长故又半之其减差于并而半之得木长也】
今有垣高一丈倚木于垣上与垣齐引木却行一尺其木至地问木长几何答曰五丈五寸
术曰以垣高一十尺自乘如却行尺数而一所得以加郤行尺数而半之即木长数
此以垣高一丈为句所求倚木者为弦引却行一尺为股弦差为术之意与系索问同也
今有圆材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一寸鐻道长一尺问径几何答曰材径二尺六寸
术曰半鐻道自乘
此术以鐻道一尺为句材径为弦鐻深一寸为股弦差之一半鐻长是半也【案此五字舛误当云故鐻长亦半之也】
淳风等按下鐻深得一寸为半股弦差注云为股弦差者鐻道也【案此言下鐻道得一寸为半股弦差即注所谓鐻深一寸为股弦差之一半也更缀注云为股弦差者鐻道五寸字舛误不可通据割圆术鐻深寸即一可为股弦差半鐻道五寸为句材半径为弦若以此言之尤合术意】
如深寸而一以深寸增之即材径
亦以半增之如上术去本当半之今此皆同半差不复半也
今有开门去阃一尺不合二寸开门广几何答曰一尺一寸
术曰以去阃一尺自乘所得以不合二寸半之而一所得增不合之半即得门广
此去阃一尺为句门广为股不合二寸以半之得一寸为股弦差求弦故当半之今次以两弦为广数【案次字误当云今即以两弦为广数】故不复半之也
今有户高多于广六尺八寸两隅相去适一丈问户高广各几何答曰广二尺八寸高九尺六寸
术曰令一丈自乘为实半相多令自乘倍之减实半其余以开方除之所得减相多之半即户广加相多之半即户高
今户广为句高为股两隅相去一丈为弦高多于广六尺八寸为句股差按图为位弦幂适满万守倍之减句股差幂开方除之其所得即高广并数以差减并而求之即广户加相多之数即户高也今此术先求其半一丈自乘为朱幂四黄幂一半差自乘又倍之为朱幂【案此处脱误当云为黄幂四分之二减实】半其余有朱幂二黄幂四半一丈【案此亦讹当云黄幂四分之一】其于大方弃四分之二故开方除之即户广并数半并数【案此亦讹当云弃四分之三适得四分之一故开方除之得高广并数之半】减差半得广加得户高又按此圆幂【案圆字误当作图据注文知旧有图而缺今补图于後】句股相并而加其差幂亦减弦幂为积盖先见其弦然後知其句与股【案此亦讹舛据句股并自乘加差幂为两弦幂半之开方得弦今倍弦幂减差幂求句盖并盖先见其弦然後知其句股也】今适自等乘亦各为方先见其弦然而後知其句与股适等者今自乘亦今为弦幂【案此亦讹舛据句股适等者并而自乘即为两弦幂皆各为方先见其弦然後知其句与股者倍弦幂即为句股适等者并两自乘之幂】令半相多而自乘倍之亦为弦幂而差数复先此各自乘之而与相乘数各为门实【案此亦讹舛不可通据半相多自乘倍之又半句股并自乘亦倍之合为弦幂其无差数者句股各自乘并之为实与句股相乘倍之为实皆开方得弦弦幂半之为实开方即得句幂】及股长句股同源而分流焉假令句股各五弦幂五十开方除之得七尺有余一不尽假令弦十其幂有百半之为句股弦三幂各得五十【案此句舛误当云为句股二幂各得五十】当亦不可开故曰圆三径一方五斜七虽不正得尽理亦可言相近耳其句股合而自相之乘幂者令自乘为四幂以减之开方除之其余为句股差加于合而半为股减差于合而半之为句【案此亦讹舛当云其句股合而自乘之幂令弦自乘而之为两弦幂以减之其余开方除之为句弦差于合而合而半之为股减差于合而半之为句】股弦即高广袤其出此图也其倍弦为广袤今矩句即为幂得广即句股差 【此亦讹舛据赵君卿注周髀算经云其倍弦为广袤合而令句股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差以差减合半其余为广减广于弦即所求也此注似用其说而传写舛误後人又妄加改窜遂不可通就君卿说考之倍弦自乘得弦实四内有句实股实各四减四句实余即四股实开之得倍股减四股实余即四句实开之淂倍句所谓开其余所得为差也减即四于倍弦半其余为股弦差减倍句于倍弦半其余为句弦差所谓以差减合半其余为广也减股弦差于弦即股减句弦差于弦即句所谓减广于弦即所求也凡股弦差为广股弦并为袤其幂即向幂句弦差为广句弦并为袤其幂即股幂合广袤皆成倍弦故曰倍弦为广袤合而倍句倍股即广袤差此云广即句股差其谬甚矣】其倍句之幂倍为从法开之亦句股差其余以句股幂减半其余差为从法开法除之即句也【案此亦讹舛据赵君卿云减矩句之实于弦实开其余即股倍股在两边为从法开矩句之角即股弦差减矩股之实于弦实开其余即句倍句在两边为从法开矩服之角即句弦差此注亦用其说而残缺失次遂不可通
<子部,天文算法类,算书之属,九章算术,卷九>】
今有竹高一尺末折抵地去本三尺问折者高几何答曰尺四二十分尺之一十一
术曰以去本自乘
以去三尺为句折之余高为股以先令自乘之幂【案此句有脱误当云末折折地为弦以句及股弦并求朕故先令句自乘见矩幂】
令如高而一
凡为高一丈为股弦并之【案此句有舛误当云竹高一丈为股弦并】以除此幂得差
所得以减竹高而半余即折者之高也
此术与系索之类更相反覆也亦可如上术令自乘为朕弦并幂【案此句脱一高字当云令高自乘为股弦并幂】去本自乘为矩幂减之余为实倍高为法则得折之高数也
今有二人同所立甲行率七乙行率三乙东行甲南行十步而斜东北与乙会问甲乙行各几何答曰乙东行一十步半甲斜行一十四步半及之
术曰令七自乘三亦自乘并而半之以为甲斜行率斜行率减于七自乘余为南行率以三乘七为乙东乙率【案此问甲行率七者设句弦并七也乙南率者三设股三也术令七自乘三亦自乘并而半之以为甲斜行率者句股并自乘加股自乘半之即弦乘句弦并所得数以为弦率斜行率减于七自乘余为南行率者句弦并自乘减弦乘句弦并余即句乘句弦并所得数以为句率弦率句率皆句弦并乘出之率故所设股三亦以乘句弦并七及为股率句率二十股率二十一弦率三十九则句之十步股必十步股必十步半步半矣】此以南行为句东行为股斜行为弦并句率七 【并句二字误当云句弦并七】欲行者当以为幂【案此亦讹舛当云欲知弦者当以股自乘为幂】如并而一所淂为句弦差加半之半为率以率减余为句率【案此亦讹舛当云加差于并而半之为弦以弦减差余为句】如是或有分当通而约之及定术以可使为分母【案此亦说误当云乃定术以句弦并为分母差为分子】故令句自乘为朱黄相连之方弦并股自乘为青矩之矩以句弦并为袤差为广今有相引之直加损同上【案上当作之】其图大体【案图原本讹作图今改正】以两弦为袤句股为广【案此句误当云句股并为广】引黄断其半为弦率七自乘者句弦并之率故弦减之余为句率同立处是中停也列用率【案此三字原本讹在上断其半为弦率之下今订正】皆句弦并为率故亦以句率同其袤也【案此亦说误当云皆句弦并为袤弦与句各为之广故亦以股率同其袤也】
置南行十步以甲斜行率乘之副置十步以乙东行率乘之各自为实实如南行率而一各淂行数
南行十步者所见有句求见弦股故以弦股率如句率而一
今有向五步股十五步问句中容方几何答曰方三步十一七分步之九
术曰并句股为法句股相乘为实实如法而一得方【案方字下原本衍一步二字乃後人妄加今删正】
句股相乘为朱黄幂青各二【案此及下注旧皆有图而缺今各补图于後】令黄袤于隅朱青各以其类令从以两径共幂共成修之幂【案此有讹舛据後容圆术注云可用画于小纸分裁正之会令颠倒相补各各以类合成修幂则此亦谓令黄幂连于下隅朱青各以其类移而相补共成修幂也】方中黄【案此三字下有脱文当云中方黄为幂】并句股为袤故并句股为法幂圆方在句中【案圆字误当作图】则方之两亷各自成小股袤【案此句误当云各自成小句股】而其相与之势不失本率也句中之小股股面之半为中率【案此亦讹舛当是言句面之小股股面之小句从连相连合而成中方】合股为中方率并句股焉【案此四字之下有脱文当云并句股为广率】据见句五步而今有之得中方也复令句为中率以句股为率【案此二句有脱误当云复令句为中方率以并句股为袤率】据股十二步而今有之则中方又何如【案此句舛误当云则中方又可知】此则虽不效而法实有法由生矣【案此亦舛误据上以粟米章今有术及衰分章列衰之意解此术大小句股互求并句股即所有率中方率即所求率见句见股即所有数于事虽不同而意相仿效实术所生由也注意当是如此】不容圆率而似今有衰分言之【案此二句舛误当云下容下容而以今有衰分言之】可以见之也
令有句八步股十五步一问句中容圆径几何答曰六步
术曰八步为句十五步为股为之求弦三位并之为法以句乘股倍之为实实如法得径【案径字下原本衍一步二字乃後人妄加今删正】
句股相乘为圆本体朱青黄幂各二之则田为各四【案此注讹舛当云句股相乘为图之本体朱青黄幂各二则倍之为各四】可用画于小纸分裁邪正之会令倒颠相补各以类合成修幂圆径为广并句股弦为袤故并句股弦以为法又以圆大体言之【案圆字误当作图】股中青必令立规于横广句股又邪三径均而复连规【案此亦舛误据容圆之径即减弦于句朕并之余也取半径规之又以半径减句股其余并之适为弦如是截句股弦各为二三半径均而复连于规之中央注意盖以此为言而殊缺失次遂不可通】从横量度句股必合而成小方矣又画中弦以规除会则句股之面中央小句股弦【案此亦讹舛当是言又画中弦以观其会则句股之中成小句股弦者四】句之小股面面中句【案此二句误当作句面之小股股面之小句】皆小方之面皆圆径之半其数故可衰以句股弦为列衰副并为法以小句乘未并者各自为实实如法而一得句面之小股可知也以股乘列衰为实则得股面之小句可知【案以小句乘未并者至此讹舛不可通或後人妄加改窜又援衰分章之文入于此遂漫无办处当是言令股为列衰以见句乘之为实实如法而一则句面之小股可知也今句为列衰以见股乘之为实实如法而一则股面之小句可可此在粟米章即今有实以所求率乘所有数所有率除之古算家谓之异乘同除注以解大小句股互乘句率股率为所有率及所求率见句或见股为所有数不可以见句乘句率见股乘股率也】言虽异矣及其所以成法之实则同归矣则圆径又可以句乘之差并【案此句亦讹舛当云则又可以句弦差减句为圆径】句弦差减股为圆径【案此下有脱文当补云句弦差股弦差并之以减弦余为圆径】又弦减句股并余为圆径以句弦差乘股弦差而倍之开方除之亦圆径也
今有邑方二百步各中开门出东门一十五步有木问出南门几何步而见木答曰六百六十六步太半步术曰出东门步数为法
以句率为法也
半邑方自乘为实实如法得一【案原本此句之下衍步字及後人妄加今删正】此以出门十五步为句率东门南至隅一百步为股率南门东至隅一百步为见句步欲以见句求股以为出南门数正合半邑方自乘者股率当乘见句此二者数同也
今有邑东西七里南门九里各中开门出东门一十五里有木问出南门几何步而见木答曰三百一十五步术曰东门南至隅数步以乘南门东至隅步数为实以木去门步数为法实如法而一
此以东门南至隅四里半为句率出东门一十五里为股率南门东至隅三里半为见股所问出南门即见股之句为术之意与上同也
今有一方不知大小各中开门出北门三十步有木出西门七百五十步见木问邑方几何答曰一里
术曰令两出门步数相乘因而四之为实开方除之即得邑方
按半邑方令半方自乘出门除之即步【案此注不分晓应有说误据前出东门术半邑方自乘出东门步数除之即出南门步数似似之以互相证明】今之出相乘【案今之二字误当云今两出门相乘】故为半方邑自乘居一隅之积分因而四之即得四隅之积分故为实开方除即邑方也
今有邑方不知大小各出开门出北门二十步有木出南门一十四步折而西行一千七百七十五步见木门邑方几何答曰二百五十步
术曰出以北门步数乘西行步数倍之为实
此以折而西行为股自木至邑一十四步为句【案邑下脱南字当云自木至邑南十四步为句】以为北门二十步为率为丈【弦字当云为南率】北门至西隅为单望半广数【案单望二字误当云为弦率即半广数】故以出北门乘至南行股以半率乘句之幂【案此二句讹舛当云故以出北门句率乘西行股得半广股率乘句之幂】然北门居半以西行故又倍之合东尽之也【案此亦讹舛当云然此幂居半以西故又倍之合半以东也】
并出南门步数为从法开方除之即邑方
此术之幂东西南北邑自木尽邑南四十步之幂【案此三句讹舛当云东西南北邑南北自木尽邑南十四步】各南北步为广邑方为袤故连两广为法从并【案此八字讹舛当云故建并两广为从法】以为隅外之幂也
今有邑方一十里各中开门甲乙俱从邑中央而出乙东出甲南出出门不知步数邪向东门磨邑适与乙会率甲行五乙行三问甲乙行各几何答曰甲出南门八百步邪东北行四八八百八十七步半及乙乙东行四千三百一十二步半
术曰令五自乘三亦自乘并而半之为邪行率邪行率减于五自乘者余为南行率三三乘五为乙东行率求三率之意与上甲乙同
置邑方半之以南行率乘之如东行率而一即得出南门步数
今半方南门东隅五里半邑者谓为小股也求以为出南门步数【案此注有脱误当云邑半方自南门至东隅五里以为小股求出南门步数为小股之句以东行为股率南行为句率】故置邑方半之以南行句率乘之如股率而一
以增邑方半即南行
半邑者谓从邑心中停也
置南行步求弦者以邪行率乘之求东者以东行率乘之各自为实实如法而率得一【案原本讹作实如法南行率得一步据前甲乙术云实如南行率而一各得行数则此文法字步字乃後人妄增今删正】
此术与上甲乙同
今有木去人不知远近立四表相去各一丈令左两表与所望参相直从後右表望之入前右表三寸问木去人几何答曰三十三丈三寸三尺少半寸
术曰令一丈自乘实如法三寸为法实如法而一此以入前右表三寸为句率右两表相去一尺为股率左右两表相去一丈为见句所问木去人者见句之股以右行【案此三字乃衍文当删】股率当乘见句此二率俱一丈故曰自乘之以三寸为实实如法得一
今有山居木西不知其高山去木五十三里木高九丈五尺【案原本讹作九尺五寸今改正】人立木东三里望木末适与山峯斜平人目高七尺问山高几何答曰一百六十四丈九尺六寸太半寸
术曰置木高减人目高七尺
此以木高减人目高七尺余有八丈八尺为句率去人目三里为股率山去木五十三里为见股以木高为见股求句加人目之高【案此二句讹舛当云以句率乘见股如股率而一得句加木之高】故为山高也
余以乘五十三里为实以人去木三里为实法如法而一所得加木高即山高
此术句股之义【案丄节注文似应接此句之下衍注端一此字】
今有井径五尺不知其深立五尺木于井上从木末望水岸入径四寸问井深几何答曰五丈七尺五寸术曰置井径五尺以入径四寸减之余以乘立木五尺为实以入径四寸为法得一法得一【案此句之下原本衍寸字乃後人妄加今删正】
此以入径四寸为句率立木五尺为股率井径四尺六寸为见句问井深者见句之股也
今有户不知高广竿不知长短横之不出四尺从之不出二尺邪之适出问户高广袤各几何答曰广六尺高八尺袤一丈
术曰从横不出相乘倍而开方除之所得加从不出即户广
此以户广为句户高为股户袤为弦凡句之在股【案此句有讹舛当云凡并句股之幂即为弦幂】或矩于表或方于里连之者举表矩而端之又句句方里令为青矩之表未满黄方满此方则两端之邪【案邪字误当作亷】重于隅中各以股弦差为广句弦并为袤【案并字误当作差又据注文旧有图而缺今补图于後】故两端差相乘又倍之则成黄方之幂开方除之得黄方之面其外之幂知亦以股弦差为广故以股弦差加则为句也
加横不出即户高两不出加之得户袤
九章算术卷九