钦定四库全书
九章算术卷二 晋 刘 徽 注
唐 李淳风 注释
粟米以御交质变易
凡此诸率相与大通其时相求各如本率可约者约之别术然也
粟率五十
粝米三十
粺米二十七
糳米二十四
御米二十一 【诗大雅郑笺云米之率粝十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法粟率五十粝米三十粺二十七凿二十四御二十一言粟五升爲粝米三升已下则米渐细故数益少今考凿糳古多通用】小?十三半
大?五十四
粝饭七十五
粺饭五十四
糳饭四十八
御饭四十二
菽荅麻麦各四十五
稻六十
豉六十三
飧九十
熟菽一百三半
糱一百七十五
今有 【今有即下文称所有率是也】
此都术也凡九数以爲篇名可以广施诸率所谓告往而知来举一隅而三隅反者也诚能分诡数之纷杂通彼此之否塞因物成率审辨名分平其偏颇齐其参差则终无不归于此术也
术曰以所有数乘所求率爲实以所有率爲法
少者多之始一者数之母故爲率者必等之於一据粟率五粝率三是粟五而爲一粝米三而爲一也欲化粟爲米者粝当先本是一【案下举粟率五令五为一则此不得云粝当先本是一粝字应改作粟】一者谓以五约之令五而为一也讫乃以三乘之令一而爲三如是则率至于一 【至字误上云爲率者必等之于一至乃等字之误】以五为三矣然先除後乘或有余分故术反之又究言之知粟五升爲粝米三升以分言之知粟一斗为粝米五分斗之三以五为母三为子以粟求粝米者乘其母报除也【案此句有脱误当云以子乘其母报除也】然则所求之率常为母也
淳风等按宜云所求之率常为子所有之率常为母今乃云所求之率常为母知脱错也
实如法而一
今有粟一斗欲爲粝米问得几何答曰爲粝米六升术曰以粟求粝米三之五而一
淳风等按都术以所求率乘所有数以所有率为法此术以粟求米故粟爲所有数三是米率故三为所求率五为粟率故五为所有率粟率五十米率三十退位求之故惟云三五也
今有粟二斗一升欲爲粺米问得几何答曰爲粺米一斗一升五十分升之十七
术曰以粟求粺米二十七之五十而一
淳风等按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也
今有粟四斗五升欲为糳米问得几何答曰为糳米二斗一升五分升之三
术曰以粟求糳米十二之二十五而一
淳风等按糳米之率二十有四以为率太繁故因而半之半所求之率以乘所有之数所求之率既减半所有之率亦减半是故十二乘之二十五而一也
今有粟七斗九升欲为御米问得几何答曰为御米三斗三升五十分升之九
术曰以粟求御米二十一之五十而一
今有粟一斗欲为小?问得几何答曰爲小?二升一十分升之七
术曰以粟求小?二十七之百而一
淳风等按小?之率十三有半半者二为母以二通之得二十七为所求率又以母二通其粟率得一百为所有率凡本率有分者须即乘除也他皆仿此
今有粟九斗八升欲为大?问得几何答曰为大?一十斗五升二十五分升之二十一
术曰以粟求大?二十七之二十五而一
淳风等按大?之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二率
今有粟二斗三升欲为粝饭问得几何答曰爲粝饭三斗四升半
术曰以粟求粝饭三之二而一
淳风等按饭之率七十有五粟求粝饭合此此数乘之今以等数二十有五约其二率所求之率得三所有之率得二故以三乘二除
今有粟三斗六升欲为粺饭问得几何答曰为粺饭三斗八升二十五分升之二十二
术曰以粟求粺饭二十七之二十五而一
淳风等按此术与大?多同
今有粟八斗六升欲为糳饭问得几何答曰为糳饭八斗二升二十五分升之一十四
术曰以粟求糳饭二十四之二十五而一
淳风等按糳饭率四十八此亦半二率而乘除
今有粟九斗八升欲为御饭问得几何答曰为御饭八斗二升二十五分升之八
术曰以粟求御饭二十一之二十五而一
淳风等按此术半率亦与糳饭多同
今有粟三斗少半升欲为菽问得几何答曰为菽二斗七升一十分升之三
今有粟四斗一升太半升欲为荅问得几何答曰为荅三斗七升半
今有粟五斗太半升欲为麻问得几何答曰为麻四斗五升五分升之三
今有粟一十斗八升五分升之二欲为麦问得几何答曰为麦九斗七升二十五分升之一十四
术曰以粟求菽荅麻麦皆九之十而一
淳风等按四术率竝四十五【案竝原本讹作并今改正】皆是为粟所求俱合以此率乘其本粟术欲从省先以等数五约之所求之率得九所有之率得十故九乘十除义由于此
今有粟七斗五升七分升之四欲为稻问得几何答曰为稻九斗三十五分斗之二十四
术曰以粟求稻六之五而一
淳风等按稻率六十六约二率而乘除
今有粟七斗八升欲为豉问得几何答曰为豉九斗八升二十五分升之七
术曰粟求豉六十三之五十而一
今有粟五斗五升欲为飧问得几何答曰为飧九斗九升
术曰以粟求飧九之五而一
淳风等按飧率九十退位与求稻多同
今有粟四斗欲为熟菽问得几何答曰为熟菽八斗二升五分升之四
术以粟求熟菽二百七之百而一
淳风等按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乘所有之率随而俱长故以二百七之百而一
今有粟二斗欲为糱问得几何答曰为糱七斗
术曰以粟求糱七之二而一
淳风等按糱率一百七十有五合以此数乘其本粟术欲从省先以等数二十五约之所求之率得七所有之率得二故七乘二除
今有粝米十五斗五升五分升之二欲为粟问得几何答曰为粟二十五斗九斗
术曰以粝米求粟五之三而一
淳风等按上术以粟求米故粟为所有数三为所求率五为所有率今此以米求粟故米为所有数五为所求率三为所有率准都术求之各合其数以下所有反求多同皆准此
今有粺米二斗欲为粟问得几何答曰为粟斗斗七升二十七分升之一
术曰以粺米求粟五十之二十七而一
今有糳米斗求半升欲为粟问得几何答曰为粟二斗三升三十六分升之七
术曰以糳米求粟二十五之十二而一
今有御米十四斗欲为粟问得几何答曰为粟三十三斗三升少半升
术曰以御米求粟五十之二十一而一【案原本作二十二而一今改正】今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲为粟问得几何答曰为粟一十斗五升九分升之七
术曰以稻求粟五之六而一
今有粝米一十九斗二升七分升之一欲为粺米问得几何答曰为粺米一十七斗二升一十四分升之一十三
术曰以粝米求粺九之十而一
淳风等按粺米率二十七合以此数乘粝米术欲从省先以等数三约之所求之率得九所有之率得十故九乘而十除
今有粝米六斗四升五分升之三欲为粝饭问得几何答曰为粝饭一十六斗一升半
术曰以粝米求粝饭五之二而一
淳风等按粝饭之率七十有五宜以本粝饭乘以率数【案此句舛误当云宜以本粝米乘此率】术欲从省先以等数十五约之所求之率得五所有之率得二故五乘二除义由於此
今有粝饭七斗六升七分升之四欲为飧问得几何答曰为飧九斗一升三十五分升之三十一
术曰以粝饭求飧六之五而一
淳风等按飧率九十为粝饭所求宜以飧乘此率【案此句误当云宜以粝饭乘此率】术欲从省先以等数十五约之所求之率得六所有之率得五以此故六乘五除也
今有菽一斗欲为熟菽问得几何答曰为熟菽二斗三升
术曰以菽求熟菽二十三之十而一
淳风等按熟菽之率一百三半 【率原本讹作粟今改正】因其有半各以母二通之宜以熟菽数乘此率【案此句误当云宜以菽数乘此率衍熟字】术欲从省先以等数九约之所求之率得一十一半所有之率得五也
今有菽二斗欲为豉问得几何答曰为豉二斗八升术曰以菽求豉七之五而一
淳风等按豉率六十三为菽所求宜以豉乘此率【此句误当云宜以菽乘此率】术欲从省先以等数九约之所求之率得七而所有之率得五也
今有麦八斗六升七分升之三欲为小?问得几何答曰为小?二斗五升一十四分升之一十三
术曰以麦小?三之十而一
淳风等按小?之率十三半宜以母二通之以乘本麦之数术欲从省先以等数九约之所求之率得三所有之率得十也
今有麦一斗欲为大?问得几何答曰为大?一斗二升
术曰以麦求大?六之五而一
淳风等按大?之率五十有四合以大?数乘此率【此句误当云合以麦数乘此率】术欲从省先以等数九约之所求
之率得六所有之率得五也
今有出钱一百六十买瓴甓十八枚
瓴甓甎也
问枚几何答曰一枚八钱九分钱之八
今有出钱一万三千五百买竹二千三百五十个问个几何答曰一个五钱四十七分钱之三十五
经率术曰以所买率为法所出钱数为实实如法得一此术犹经分
淳风等按今有之义以所求率乘所有数合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实【案此句原本脱乘字今补】但以一乘不长故不复乘是以径将所买之率与所出之钱为法实也又按此今有之义出钱为所有数一枚为所求率所买为所有率而今有之即得所求数【案原本讹作即得所求率今改正】一乘不长故不复乘是以径将所买之率为法以所出之钱为实实如法得一枚钱不尽者等数而命分
今有出钱五千七百八十五买漆一斛六斗七升太半升欲斗率之问斗几何答曰一斗三百四十五钱五百二分钱之一十五
今有出钱七百二十买缣一匹二丈一尺欲丈率之问丈几何答曰一丈一百一十八钱六十一分钱之二今有出钱二千三百七十买布九匹二丈七尺欲匹率之问匹几何答曰一匹二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四
今有出钱一万三千六百七十买丝一石二钧一十七斤欲石率之问石几何答曰一石八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八
术曰以所求率乘钱数为实以所买率为法实如法得一
淳风等按今有之义钱为所求率物为所有数故以乘钱又以分母乘之为实实如法而一有分者通之所买通分内子为所有率故以为法得钱【案此已上舛误不可通考书内列数问淳风等多据首一问为言此当云今有之义一斗为所求率出钱为所有数故以一斗乘钱数有分者通之又以分母乘之为实所买通分内子为所有率故以为法实如法而一得钱】数不尽而命分者因法为母实余为子实见不满故以命之
今有出钱五百七十六买竹七十八个欲其大小率之问各几何答曰其四十八个个七钱其三十个个八钱今有出钱一千一百二十买丝一石二钧十八斤欲其贵贱斤率之问各几何答曰其二钧八斤斤五钱其一石一十斤斤六钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱石率之问各几何答曰其一钧九两一十二铢石八千五十一钱其一石一钧二十七斤九两一十七铢石八千五十二钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱钧率之问各几何答曰其七斤一十两九铢钧二千一十二钱其一石二钧二十斤八两二十铢钧二千一十三钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱斤率之问各几何答曰其一石二钧七斤十两四铢斤六十七钱其二十斤九两一铢斤六十八钱
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱两率之问各几何答曰其一石一钧一十七斤一十四两一铢两四钱其一钧一十斤五两四铢两五钱
其率术曰各置所买石钧斤两以为法以所率乘钱数为实实如法而一不满法者反以实减法法贱实贵其求石钧斤两以积铢各除法实各得其积数余各为铢其率如欲令差分按出钱五百七十六买竹七十八个以除钱得七实余三十是以三十个复可增一钱然则实余之数即是贵者之数故曰实贵也本以七十八个为法今以贵者减之则其余悉是贱者之数故曰法贱也其求石钧斤两以积铢各除法实各得其积数余各为铢者谓石钧斤两积铢除实又以石钧斤两积铢除法余各为铢即合所问
今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱铢率之问各几何答曰其一钧二十斤六两十一铢五铢一钱其一石一钧七斤一十二两一十八铢六铢一钱
今有出钱六百二十买羽二千一百翭
翭羽本也数羽称其本犹数草木称其根株
欲其贵贱率之问各几何答曰其一千一百四十翭三翭一贱其九百六十翭四翭一钱
今有出钱九百八十买矢干五千八百二十枚欲其贵贱率之问各几何答曰其三百枚五枚一钱其五千五百二十枚六枚一钱
反其率术曰以钱数为法所率为实实如法而一不满法者反以实减法法少实多二物各以所得多少之数乘法实即物数
按其率出钱六百二十买羽一千二百翭反之当二百四十钱一钱四翭其三百八十钱一钱三翭【案以上舛误不可通参考上注当云按其率钱多物少反之钱少物多出钱六百二十买羽二千一百翭当以除羽得三实余二百四十是为三翭复可增一翭然则实余之数即是多者之钱故曰实多本以六百二十钱为法今以多者减之则其余三百八十悉是少者之钱故曰法少也二百四十钱一钱四翭乘得九百六十其三百八十钱一钱三翭乘得一千一百四十】是钱有二价物有贵贱故以羽乘反二率也
淳风等按其率者钱多物少反其率知钱少物多多少相反故曰反其率也其率者以物数为法钱数为实反之知以钱数为法物数为实不满法知实余也当以余物化为钱矣法为凡钱而今以化钱减之故以实减法法少知经分之所得故曰法少实多者余分之所益故曰实多乘实宜以多乘法宜以少故曰各以其所得多少之数乘法实即物数
九章算术卷二