<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>
钦定四库全书
数度衍卷十八
桐城 方中通 撰
和较三率【差分之六】
和较三率差分法
凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之而又互置较位以求之
式上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂和二酒每斗价一钱五分内各酒若干曰八分斗之三为上酒【三升七合五勺】八分斗之五为中酒【六升二合五勺】术先立三率之程立和价一钱五分为一十五列上列上中二价为二
十为十二于右以
上价二十与立十
五较得五列左与中价并以中价十二与立十五较得三列左与上价并此互对也乃并两较三五得八列左下以并较为首率以一斗为次率以中较为上酒之三率上较为中酒之三率
式二甲金一两凖银十五两乙金一两准银十二两今
镕为一处使金一
两准银十四两其
甲乙金各若干曰甲该三分两之二乙该三分两之一术立和金凖银于上如法较之以并较为首率一两为次率乙较为甲之三率甲较为乙之三率
式三玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两问玉石各若干曰玉九十八两石
七十八两术
立重数于上
以璞方三寸自乗再乗得立方二十七寸以通玉石以玉率七乗二十七得一百八十九两以石率六乗二十七得一百六十二两二数列右并较为首率立方二十七寸为次率石较为玉之三率玉较为石之三率求得玉一十四以七乗得玉数求得石一十三以六乗得石数
式四银裹金方四寸共重九百○四两每银方寸重十
二两金方
寸重十六
两问各若干曰金五百四十四两银三百六十两术立共重于上以四寸自乗再乗得立方六十四寸以通金银以银十二乗立方得七百六十八以金十六乗立方得一千○二十四列如前以并较为首率立方为次率以两较互为各三率求得金三十四寸银三十寸各以方寸重乗之得各数 此与右式同
式五椒一斤价四钱丁香一斤价三钱桂皮一斤价六钱阿魏一斤价一两缩砂一斤价八钱今以银七钱买上五色共一斤问各色若干曰椒十三分斤之一丁十三分斤之三桂十三分斤之一魏十三分斤之四砂十三分斤之四术立七钱于上此系多位者先定互对有
对者寻对
而互列之
如椒砂互丁魏互是也若桂则无对须借砂作对而互又列其桂较之一于砂左砂傍凡两数矣凡相对互位者务取一大于立数一小于立数如砂数大对椒数小也以较积为首率一斤为次率各傍列较数为各三率砂傍之椒三桂一并四为砂之三率也
又术取一大一小杂互更位如椒砂互椒魏又互丁砂
互桂砂又互
丁魏互桂魏
又互凡六互
得较积二十八以为首率一斤为次率各傍列较为各三率椒傍【一三】并四丁傍【一三】并四桂傍【一三】并四魏傍【三四一】并八砂傍【三四一】并八求出四率即各数
又术随意易位亦以大数互小数砂傍丁四桂一并五
四率【十三分 十三分 十三分 十三分 十三分斤之三 斤之一 斤之一 斤之三 斤之五】通曰后二术求出之数与前不同不可为凖姑存其法耳式六緑縀每丈价四两青缎每丈价六两红缎每丈价十两今有银四百八十两买缎八十丈问各若干曰緑三十二丈青三十二丈红一十六丈术先以八十丈除四百八十两得每丈六两为立价依法列之緑与红互
青又与红互以较积为
首率总丈为次率各傍
列较为各三率红傍之緑二青○止作二
通曰青价六与立六等故青较作○而红傍之较数无并仍作二也凡价与立等者皆作○若价皆大于立皆小于立皆等于立则不可较矣
式七酒四等甲酒每瓶二钱一分乙酒每瓶二钱七分丙酒三钱丁酒四钱今有酒共三百瓶每瓶立价三钱三分问各若干曰甲酒五十瓶乙酒五十瓶丙酒五十瓶丁酒一百五十瓶术以三钱三分作三十三为立数
其四
色惟
丁四
十【四钱】大于立其甲二十一【二钱一分】乙二十七【二钱七分】丙三十【三钱】皆小于立则此三小数皆与丁相互矣依法列之丁傍之甲十二乙六丙三并为二十一以较积为首率总瓶为次率各较为各三率
式八银四百两买药四百斤内丁香每斤价六钱椒每斤价七钱桂九钱苏合一两一钱辰砂一两二钱阿魏一两六钱问各若干曰丁八十七斤又二之一椒一百斤桂二十五斤合五十斤砂五十斤魏八十七斤又二
之一术
先以四
百斤除四百两每斤得一两作一十为立数列之丁魏互丁合互椒砂互椒魏互桂砂互首率较积次率总药三率 七【丁】 八【椒】 二【桂】 四【合】 四【砂】 七【魏】又术以丁互合又互砂又互魏以椒互合又互砂又互魏以桂互合又互砂又互魏以上三位徧互下三位也
又术以丁互合椒互砂桂互魏
又术以丁互魏椒互砂桂互合
又术以丁互砂椒互合桂互魏
式九金铸一器重三百两俱九六成色今有九九成色及九一成色二等金约每用若干曰九九成色金用一百八十七两五钱九一成色金用一百一十二两五钱
术立九六为中价
依法互之并较为
首率共重为次率各较为各三率
式十米麦共五百石共价四百○五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五厘问各若干曰米三百二十石共价二百七十五两二钱麦一百八十石共价一百三十两○五钱术立共价以米麦每石各价各
乗五百石
米得四百
三十两麦得三百六十二两五钱依法互之以并较为首率总石为次率各较为各三率求得米麦各数各以每石价乗之得各共价
式十一银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分问各若干曰铜九十六斤又七之三锡九十六斤又七之
斤又七之一术以共重除总银得九分四厘作九十四为立数互之以并较为首率共重为次率各较为各三率
式十二银九十三两买绫罗纱绢共一百六十疋每疋价绫九银罗七钱纱五钱绢三钱问各若干曰三十六疋又四之一为绫与罗同数四十三疋又四之三为纱与绢同数术先以总疋除总银得五钱八分一厘二毫五丝作五万八千一百二十五为立数他皆以钱作万列之罗绢互罗纱又互绫纱互绫绢又互并较为首率总疋为次率各较为各三率
通曰右二式以贵贱差分法推之亦可
通曰中率者两差之中较也三四五六及多差之中较也得乎中率而以多较少以少较多故又须互用而数始出非互则无所用较矣
借裒互徴【差分之七 按同文算指裒作衰】
借裒互徴差分法
数有隠伏非裒分可得者则别借虚数以类徴之或合率增减或母子射覆借彼徴此借虚徴实亦三率法而触类长之也
式三人共买一宅用价二千七百两其出数乙视甲加倍丙视甲乙共数又加倍问各若干曰甲三百乙六百丙一千八百术随意立一数为甲裒但用小数而以乙丙照裒加之如甲裒作一则乙必二丙必六也如甲裒作六则乙必十二丙必三十六也今以甲裒作六乙裒十二丙裒三十六并得五十四为首率各裒为各次率总价为三率如用甲次裒求得甲数倍之得乙数并甲乙数又倍之得丙数
通曰此即加倍法也三率法中二三两率本可相换故此以各较为次率总价为三率也
式二贮绢不知数但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实若干曰六千疋术防一通数而测之如用六十以通各分三之一为二十四之一为十五五之一为十二并三数得四十七为首率以通数六十为次率四千七百为三率
式三廐马不知数但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百一十二匹其实若干曰三十六匹术先于共匹内减末加之一只以一百一十一匹算之用通数十二加一倍得二十四又加二之一得六加三之一得四加四之一得三共加得三十七为首率以通数为次率以一百一十一为三率求出四率三十六外加前裒合一百一十二
式四牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一共得一百其实若干曰三十六术于一百内去一只作九十九用通数十二依裒加得三十三为首率通数为次率九十九为三率求出三十六如前裒加之合一百 此与右式同
式五银五千两买甲乙丙三宅乙比甲多三倍丙又比乙多四倍问各价若干曰甲宅二百乙宅八百丙宅四千术随意立一通数如立甲裒三十乙裒为一百二十丙裒为六百并得七百五十为首率以甲裒三十为次率以五千为三率求出二百如前加得八百又加得四千 此与一式同
式六入园摘瓜摘过三分之二又五分之一尚剰三十六问此园原瓜若干曰二百七十术先立通数如借三百为通数内减三之二去二百又减五之一去六十存四十为首率以通数为次率以尚剰三十六为三率须察借立通数内减去两次尚剰之数或等或多于三十六方可若少于三十六则不可用也又须知三之二五之一并之未满原数方可推测若三之一五之三则浮于原数便为虚设不必算矣
式七二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二其原数若干曰三百六十术借六十为通数依裒剖之二之一为三十三之一为二十四之一为十五五之一为十二六之一为一十并得八十七为首率以六十为次率以五百二十二为三率求出三百六十为原数二之一乃一百八十三之一乃一百二十四之一乃九十五之一乃七十二六之一乃六十并之合五百二十二之数
式八仓粟不知数但云外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石问原粟若干曰九十六石术先于三百内减去一百存二百石乃借二十四为通数外加二之一得十二又加三之一得八又加四之一得六并得五十为首率以通数为次率以二百为三率求出四率九十六外加前裒合三百
通曰此与三式相同但彼四率在一百一十二之外故不并通数而止并加数为首率此四率在三百之内故连并通数及加数为首率也
式九大小水碓五副共舂米五十石每舂一时甲七斗乙五斗丙四斗丁三斗戊一斗今五碓齐舂须几时可完各舂若干曰二十五时甲十七石五斗乙十二石五斗丙十石丁七石五斗戊二石五斗术随意立一时数如借四时以计各碓所舂甲七乗四得二石八斗乙五乗四得二石丙四乗四得一石六斗丁三乗四得一石二斗戊一乗四得四斗并得八石为首率四时为次率五十石为三乗求出二十五时各以每时斗数乗之得各舂数
式十为商三次俱获倍息每次归还三百两三次母子?尽问原贷若干曰二百六十二两五钱术借一数为母加三次倍息初一次二次四共七并母一得八为首率内减母一余七为次率三百两为三率又术以三百两折半得一百五十两又加三百得四百五十两又折半得二百二十五两又加三百得五百二十五两又折半即得
通曰子母差和求法有此式然用借裒为正法也式十一商贩四次俱获倍息每次费九十六两四次子母俱尽问原母若干曰九十两术借一数为母加四次倍息曰一曰二曰四曰八并得十五再并母一得十六为首率十五为次率九十六为三率
式十二为商初次所获比母银多三之二以并入母银再徃获五之四三次徃又获四之三计所获并母银共四百两问原母若干曰六两又三分两之二术亦借数递乗各母以推之如借一十为通数乗三得三十以三十乗五得一百五十以一百五十乗四得六百为首率以通数为次率以四百为三率求出六两又三分两之二以三乗之得二十又以五乗二十得一百又以四乗一百得四百两合数
式十三防酒郊游三次俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽问原防若干曰一斗六升六合二勺五抄术借一数为原酒加三次倍率曰一曰二曰四并得八为首率减原借一存七为次率以一斗九升为三率又术并三次倍率一二四为七以乗一斗九升得一石三斗三升减半三次即得
式十四载米赈济每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米五赈恰尽问原载米若干曰一千四百五十三石一斗二升五合术借一数为原米加五次倍率曰一曰二曰四曰八曰十六并得三十二为首率止并五次率得三十一为次率以一千五百为三率
通曰以次率乗三率得四万六千五百石减半五次亦合
式十五立一虚数以乗四得数又乗三得数又乗六得数外加一十共八百前所立虚数若干曰一十又三十六之三十五术于八百内除去所加一十余七百九十借一十为通数以乗各裒以一十乗四得四十又以四十乗三得一百二十又以一百二十乗六得七百二十为首乗以通数为次率以七百九十为三率求出一十又三十六之三十五以乗四得四十三又九之八以乗三得一百三十一又三之二以乗六得七百九十加一十合数
式十六老人不知年但云加二之一又减四之一得九十九嵗问实年若干曰八十八术借八十为通数依裒加减加二之一为四十并八十得一百二十又减四之一为三十于一百二十内减之余九十为首率以通数为次率以九十九为三率
式十七逺望一塔上露出二丈四尺下遮不见云尚有三分之一又五分之二其共高若干曰九十尺术借立三十为通数于三十内减去三之一余二十又于三十内减去五之二为一十二乃于余二十内减一十二余八为首率通数为次率二十四尺为三率求出九十尺为塔高内减三之一为三十尺又减五之二为三十六尺余二十四尺合上露之数
式十八旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚余十二尺红色其竿长若干曰四十九尺又十一分尺之一术借四十五为通数减三之一为十五减五之一为九减九之二为一十俱于通数内减去余十一为首率通数为次率红十二尺为三率求出四十九尺又十一分尺之一其白三之一乃十六尺又十一之四也黑五之一乃九尺又十一之九也青九之二乃十尺十一之十也
式十九白布三十疋青布四十疋共价六百六十两其青布每疋比白布价多一倍问各疋价若干曰白价六两青价十二两术借四两为白价倍得八两为青价以四乗白布三十得一百二十以八乗青布四十得三百二十并得四百四十为首率通数四两为次率共价为三率求出六两为白疋价倍得十二两为青疋价通曰以八两为次率求出青疋价盖二位之借裒皆通数也
数度衍巻十八