钦定四库全书
数度衍卷十五
桐城 方中通 撰
丈量【方田之一】
定亩
通曰弓步丈尺虽二法一理也横一步纵二百四十步横一丈纵六十丈皆亩也方五尺为步是为一弓五寸为分五分为厘二十五尺为弓羃四其弓羃则方面一丈故知二百四
十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得亩四毫一丝六忽六微六无尽亩至百则曰顷
积步求亩法
长弓几何广弓几何相乗为积步二广者并数用二折三广用三折四广用四折长亦若是折为一长一广然后相乗非折而少之折而方之也既得积步用除法求亩详后式【按三折四折语有误】
用二十四除式 术直田一坵长四十弓广十四弓四分相乗得五百七十六步用二十四除之得二亩四分折广式 术长四十弓四广一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并诸广得五十六弓八尺每尺作二分归整得五十七弓六分四广当用四除折之折得十四弓四分始与长弓相乗得五百七十六步用二十四除见亩
珠算飞归法
诀曰一加三隔四 二加六隔八
进一除二四 一曰二十四子一方归
进二除四八 一曰四十八子进二枚
进三除七二 一曰七十二子进三枚
进四除九六 一曰九十六子进四枚
独三进一位二五【下位无子曰独】 独九进三位七五
一二身作五 一曰见一作五下除二
六退一进二 一曰六十进二五 一曰六除留五上
添二 一四四作六
一六八作七 一九二作八
一八作七五 三六进一五
二一六作九
通曰飞归者二十四除之捷法也进在左位作加皆在本位隔在右位之下位也
式 术直广皆六百六十六弓相乗得四十四万三千五百五十六步用飞归丑寅二位作四十四曰进一除二四进一在子位丑除二十存二寅除四空曰二加六隔八丑存二加六为八卯三加八寅得一卯存一曰一加三隔四寅一加三为四辰五加四为九曰一二身作五卯一竟改作五辰九内去二存七曰进三除七二卯五加三为八
辰去七空巳除二存三曰进一除二四进一在辰位巳除二存一午除四存二曰一二身作五巳一改作五午除二实尽而止得一千八百四十八亩一分五厘原积千位为亩也
用三除八除式 术积二百四十步先用三除得八后用八除得一乃一亩也先用八除后用三除亦可用四除六除式 术积二百四十步先用四除得六后用六除得一亩先用六除后用四除亦可
用两次五因又六除式 术积二百四十步用五因得一百二十再用五因得六十又用六除见亩
通曰用二十四除者二百四十步为一亩也三八乗得二十四四六亦乗得二十四故皆可用五因即二除折半法也两次五因即四除也犹如先用四除后用六除耳
积尺求亩法
用六除式 术直八十尺广七十五尺相乗得六千尺用六除之得一亩
通曰广一弓直二百四十弓即广五尺直一千二百尺也以五乗一千二百得六千尺故用六除
用倍尺又二十四除式 术直八十尺倍为一百六十尺广七十五尺倍为一百五十尺然后相乗得二万四千尺再用二十四除见亩
通曰此通尺为步也五尺为步宜用五除然二因即五除倍即二因也尺之一百即步之一十此倍虚尺而求实积也
合积求亩法
或直步广尺或直尺广步其积步法则化尺为步其积尺法则化步为尺凡步下有零尺寸者皆化之
化尺式 术直十六步广七十五尺以二因广尺得一百五十尺作十五弓然后相乗得二百四十为积步如法见亩
化步式 术直十六步广七十五尺以五因直步得八十尺然后相乗得六千尺为积尺如法见亩
不积求亩法
直广不须相乗积步随意以直为主以广为主而算其不主之弓数也主直则算广主广则算直
诸率
二弓折半六而一【而一者归也】 三弓用八归
四弓用六归
五弓用六八归【或先六后八或先八后六皆可】
六弓用四归 八弓用三归
九弓用五因又四归 十二弓用折半
十五弓用二八归 十六弓用三归又加倍十八弓折半又五因
二十四弓十为亩【见十弓为一亩也】
二十五弓折半又六八归 三十二弓四因又三归三十六弓用五因
三十七弓半用八八归【两次八归也】
四十八弓加一倍 六十四弓三归又八因七十二弓加倍又五因 七十五弓用四八归九十六弓用四因
主直式 术如以直为主者直或二弓或二十弓或二百弓则以广弓之数在位折半余用六归见亩
主广式 术如以广为主者广或十五弓或一百五十弓则以直弓之数在位先用二归后用八归见亩
步带竒零法
单分母子式 术直十五步广三步五分步之四置三步以分母五通之为十五加分子四共十九又置直十五步以分母五通之为七十五乃以七十五与十九相乗得一千四百二十五为实另以分母五自乗得二十五为法除实得积步
双分母子式 术直九十七步四十九分步之四十七广二步二十分步之九置广二步以分母二十乗之【乗即通也】得四十加分子九共四十九又置直九十七步以分母四十九乗之得四千七百五十三加分子四十七共四千八百乃以两共数相乗得二十三万五千二百为实另以分母二十与四十九相乗得九百八十为法除实得积步
又式 术圆田径六步十三分步之十二周二十步四十一分步之三十二以径求积者置径六步以母十三通为七十八加子十二共九十自乗得八千一百又以母十三减子十二余一以乗子十二得十二并自乗数共八千一百一十二先三乗后四除得六千○八十四为实另以母十三自乗得一百六十九为法除实得积步以周求积者置周二十步以母四十一通为八百二十加子三十二共八百五十二自乗得七十二万五千九百○四又以母四十一减子三十二余九以乗子三十二得二百八十八并自乗数共七十二万六千一百九十二以十二除之得六万○五百一十六为实另以母四十一自乗得一千六百八十一为法除实得积步
还原法
反亩为步式 术田七亩五分求积以二十四乗七亩五分得一千八百是为积步
反步为直广式 术积步一千八百求直广其法定以二十四弓为广以亩数为直今系七亩五分即以七十五弓为直也须知一亩作一十弓十亩作一百弓倍直半广式 术如七分五厘积一百八十步以二十四弓为广以七弓五分为直太少乃半广为一十二弓倍直为一十五弓或广直相易以二十四弓为直以七弓五分为广
半直倍广式 术如七十五亩积一万八千步以二十四弓为广以七百五十弓为直太多乃倍广为四十八弓半直为三百七十五弓如云尚多又倍广半直亦可直田积反求直广式 术积步一千八百云直增广一倍求直广以积步折半得九百为实平方开之得三十步为广倍得六十步为直
飞归还原
诀曰退一加二四 退二加四八 退三加七二退四加九六 五留一二 六留一四四七留一六八 八留一九二 九留二一六通曰飞归自左向右还原自右向左退在本位加在下位留亦在本位起也
九则折亩率
上上则三亩折一亩三分乃二亩三分三厘零折一亩也毛亩上定身三因三归上中则三亩折一亩二分五厘乃二亩四分折一亩也毛亩上用飞归上下则三亩折一亩二分乃二亩五分折一亩也毛亩上用四因或积步上用六归中上则三亩折一亩一分乃二亩七分二厘零折一亩也毛亩上定身一因三归中中则三亩折一亩毛亩上用三归中下则二亩折九分乃三亩三分三厘零折一亩也毛亩上用三因下上则三亩折八分乃三亩七分五厘折一亩也毛亩上八因三归或积步上用九归下中则三亩折七分五厘乃四亩折一亩也毛亩上用四归下下则三亩折七分乃四亩二分八厘零折一亩也毛亩上七因三归 塘或六亩一分四厘折一亩
通曰积步除得之亩乃毛亩也不折之处甚多或用九则折实率亦不一大防如此附録诀曰毛田上上定三因因后三归实即真只有上中飞又用若逢上下四因成定身中上先加一得数三归即便清独是中中来折实三归一徧即分明毛当中下三因得下上三归又八因若遇下中归用四三归下下七先因或从积步来求实九则中间两则行上下六归下上九不须毛亩快如神
田形【方田之二】
诸形量法
方形术以十二步自乗得一百四十四为积步如法见亩
长形术以直广相乗得一百一十二为积步
圆形术以周折半为三十径折半为一十相乗得三百为积步 少广诸法皆可用通曰周自乗四八九各除一徧见亩径自乗
四八各除一徧见亩不必积步矣凡田非四方浑圆不可量周
环形术以外周折半为三十六内周折半为一十八相并得五十四与径六步相乗得三百二十四为积步 凡田中有池有堆者用此弧矢形术以?并矢得四十八折半为二十四与矢十二相乗得二百八十八为积步通曰已上五形皆用少广法
四不等形术东西并为五十六此二广也二折得二十八步南北并为七十八亦二直也二折得三十九步相乗得一千○九十二为
积步【按此术内直广不取直角非法以下求枫叶等形亦多未合】
五不等形术并南北二西得二十四步以四折之得六步与东大角十步相乗得六十为积步【按误同上】
大角一边为长也
勾股形术以广折半为四步 圭形同勾
与长相乗得八十为积步 股形术枫叶形术以口径四折得十步上周折半得四十九相并得五十九与中直折半十五相
乗得八百八十五为积步
梳形术以齿广三折得二十上周折半得四十五相并得六十五与中十相乗得六百五十
邱形术周径相乗得二十四万三千二百以四折之得六万○八百为积步
尖锭形术以长四十八用四折得十二步即于四十八内减十二余三十六三广并得四十二三折得十四与三十六相乗得五百○
四为积步
半环形术并内外湾得六十八折半得三十四与径八相乗得二百七十二为积步 新月形同此
碗形术以口径折半得十步外周折半得三十二相乗得三十二为积步
菱形术并内外湾得五十折半得二十五以径折半得五相乗得一百二十五为积步
长圆形术以外周折半得二十八径折半得一十相乗得二百八十为积步
扇形术并内外湾得三十四折半得十七并两横得二十折半得一十相乘得一百七十为积步矩形同扇形术内外曲即内外湾也睂形术以下?二十三并两径共三十三折半为一百六十五【此即五因】再以下?并虚径四为二十七折半为一十三五又乗虚径四得五十四乃于一百六十五内减之余一百一十一为积步
梯形术并二广为三十八折半得十九与长相乗得一千○二十六为积步
不正形术以中长折半为二十东北与西南并为三十相乗得六百为积步
梭形术以长折半为十八与濶相乗得三百○六为积步半梭形同此
牛角形术以广与长乗得六千八百三十二半之得三千四百一十六为积步
通曰先增虚形以求后减虚形以得此亦变法也若形内可分为数形者则有并法在
通曰田形无穷大约絶长补短以取其形可量耳惟是下弓之处务中其节始得无差不然则可任意大之小之也至或有计种数者或有计税米之数者随其则例求之可耳他如北方之地南方之洲可用捆丈者则又计绳而整量之凡纵横皆七十七丈五尺为一顷也
数度衍卷十五