钦定四库全书
数度衍卷九
桐城 方中通 撰
方圆【少】广【之一】
诸率
通曰求积者用径一围三度天者用径七周二十二然径一则围三有余径七则周二十二不足今测以径十七周五十二其率较细大约四形之率惟方率
无差他皆无凖方斜七而强角面七而弱圆率从难推求惟举成数而已
通曰方形剖周为四面面与中径等四面即四径也圆以三为率径求周以径乘率周求径以率除周方以四为率径求周以径乘率周求径以率除周通曰此勾股?也勾股皆五各自乘并之为五十开方则?七有零七自之惟四十九较五十之开方则少一数矣今
方斜以五七为率方求斜以斜七乘方面以方五除之斜求方以方五乘内斜以斜七除之
通曰此亦勾股?也中径为股半
面为勾各自乘并为四十八二五
开方则七不足矣今三角以六七
为率面求径以径六乘面以面七
除之径求面以面七乘径以径六
除之
方内容圆圆内容方率説
通曰数始于一圆径一则周三方径一则周四两周相乘得十二故方圆相容之率皆十二也丁乙矢七己丁矢必五卯丑隅七午卯隅必五子丑方周七寅卯方周必五甲乙圆周七丙丁圆周必五甲乙方圆径七丙丁方圆径必五七五并为十二故曰皆十二也推而求之万
重皆然此方圆之分率也径同则圆周圆积皆不及方周同则方径方积皆不及圆积同则圆周不及方周方径不及圆径何也径同以一言之圆径一周三方径一周四圆周不及方周四分之一矣又以三言之圆径三积七方径三积九圆积不及方积九分之二矣周同以十二言之方周十二积九圆周十二积十二方积不及圆积十二分之三矣又方周十二径三圆周十二径四方径不及圆径四分之一矣积同以一百六十九言之圆积一百六十九则周四十五方积一百六十九则周五十二圆周不及方周五十二分之七矣又方积一百六十九则径十三圆积一百六十九则径十五方径不及圆径十五分之二矣此方圆之合率也至其容之大小悉较容兹不具论
通曰石斋先生之天方图九方九圆外方积一万六千三百八十四如率推之庇羃尽得余别録焉
方内容圆法
方面求圆积庇积式方面十四问圆积庇积各几何曰圆积一百四十七庇积四十九术以方面十四自乘得方积一百九十六以七五乘之得一万四千七百降二位为圆积一百四十七以二五乘方积得四千九百降二位为庇积四
十九【法有二位故降二位】又术以方面折半为七又折半为三五自乘得十二二五为一庇积以四乘之得四十九以减方积得圆积【七五乘二五乘説见后】
圆内容方法
圆径求方积羃积式圆径十四问方积羃积各几何曰方积一百羃积四十七术以圆径十四乘方斜面率五得七十以方斜率七除之得一十为内方面自乘得方积一百用圆径求圆积【详后】得一百四十七以减方积余四十七为羃积
立方内容立圆法
立方面求立圆积立庇积式立方面十六问立圆积立庇积各几何曰立圆积二千三百○四立庇积一千七百九十二术通曰以立方面十六
自乘得二百五十六再乘十六得四千○九十六为立方积以十六除之得二百五十六以九乘之得二千三百○四为立圆积二积相减余一千七百九十二为立庇积【九乘十六除説见后】
立圆内容立方法
立圆径求立方积立羃积式立圆径十七问立方积立
羃积各几何曰立方积一千七百
七十一五六一立羃积九百九十
一九九九术通曰以立圆径十七
用径求积法【详后】得二千七百六十三五六零为立圆积以圆径为立方斜乘方斜面率五得八十五以方斜率七除之得一十二一零自乘得一百四十六四一再乘一十二一得一千七百七十一五六一为立方积二积相减余九百九十一九九九为立羃积
通曰凡方内容圆圆内容方必彼此相切方可立算
平方求积法【即开平方之还原也】
径求积式径三十二为积几何曰积一千○二十四术以径三十二自乘得一千○二十四为积
周求积式周一百二十八为积几何曰积一千○二十四术以周一百二十八用四除之得三十二为径自乘得积
平圆求积法【即开平圆之还原也】
径求积式径六为积几何曰积二十七术径六自乘得三十六以三乘之得一百○八以四除之得二十七为积又术径六自乘得三十六以七五乘之得二千七百降二位得二十七亦合【三乘四除説见后】
周求积式周十八为积几何曰积二十七术周十八自乘得三百二十四以十二除之得二十七为积【十二除説见后】周径求积式径六周十八为积几何曰积二十七术径六与周十八相乘得一百○八以四除之得二十七为积
通曰此与三乘四除同径一周三故也
半周求积式半周九为积几何曰积二十七术九自乘得八十一以三除之得二十七【三除説见后】
半径求积式半径三为积几何曰积二十七术三自乘得九以三乘之得二十七【三乘説见后】
半周半径求积式半周九半径三为积几何曰积二十七术九与三相乘得二十七
通曰方径自乘得方形以此方形积均分作四股圆形内得三股四庇共得一股故用七五乘
者四分十之三也用二五乘者四分十之一也
通曰径用三乘得长方形即周径相乘也此内容圆形者三而三圆形之庇积
又成一圆形之积以此一圆并三圆而为四故三乘者用四除也
通曰周自乘得大方形此内有方形九而容圆形者亦九三圆形之庇积成一圆形之积则九圆形之庇积必成三圆形之积矣以此三圆并九圆而为十二故用十二除也
通曰半周自乘得全周自乘四分之一故用三除盖三除者十二除四分之一
也半径自乘与庇积等三其庇积而成圆积故用三乘也
立方求积法【即开立方之还原也】
径求积式径三十二为积几何曰积三万二千七百六十八术径三十二自乘得一千○二十四又乘三十二得三万二千七百六十八为积
立圆求积法【即开立圆之还原也】
径求积式径四十八为积几何曰积六万二千二百○八术径四十八自乘得二千三百○四再乘四十八得十一万○五百九十二以九乘之得九十九万五千三百二十八以十六除之得六万二千二百○八为积周求积式周一百四十四为积几何曰积六万二千二百○八术周一百四十四自乘得二万○七百三十六再乘一百四十四得二百九十八万五千九百八十四以四十八除之得六万二千二百○八为积
通曰立圆径自乘再乘乃立圆外之立方积也九回立方积即十六回立圆积故以九乘十六除也立圆周自乘再乘乃二十七回立方积也即四十八回立圆积故以四十八除也葢二十七者三回九也四十八者三回十六也而周求积之不用二十七乘者周巳大于径三回故不用三回九之二十七乘也
方环求积法
外方内方求环积式外方甲乙二十内方丙丁一十为环积几何曰积三百术以甲乙二十自乘得四百为庚辛乙甲全积以丙丁一十自乘得
一百为壬癸丁丙内积二积相减余三百为庚壬丙甲环积又术以甲乙二十并丙丁一十为三十倍之得六十为通环之长以丙丁减甲乙余一十折半得五即丁至巳为环濶以濶乘长得三百为环积
通曰并外方四面得八十并内方四面得四十又相并为一百二十折半得六十亦合环长
圆环求积法
外周内周求环积式外周甲戊乙巳四十八内周丙庚丁辛二十四为环积几何曰积一百四十四术以甲戊乙巳四十八自乘得三千三百○四以十二除之得一百九十二为甲
乙戊己全积以丙庚丁辛二十四自乘得五百七十六以十二除之得四十八为丙庚丁辛内积二积相减余一百四十四为甲丙戊庚环积又术以外周三折得全径十六以内周三折得内径八两径相减余八折半得四即甲至丙为环濶以三乘濶得十二减外周余三十六为通环之长以濶乘长得一百四十四为环积内周外周求环径式【即环濶也】术以外周四十八减内周二十四余二十四以六除之得四为环径即甲至丙内周环径求外周式术以六乘环径四得二十四并内周二十四得四十八为外周
外周环径求内周式术以六乘环径四得二十四减外周四十八余二十四为内周
通曰圆以六包一故用六乘六除也【详外包】
四破合环法
四破之一求去内外角成环式欲于丑寅大直角方形
内成圆环外周切方边内周
六问于甲丙小直角方形内
去内角外角各几何曰内角
去乙巳一外角去庚丁二术
通曰先于甲丙形用方斜率
法求得乙至丁为七乙至丙
为五乃以三除内周六得二为内径半之得一为半径即甲丙形之内角乙巳一也去之乙丙五内减等乙巳之乙戊一尚存戊丙四为环濶又于乙丁斜七减内角乙己一又减等戊丙之己庚四尚余庚丁二是为外角应去者也甲丙形为一破加丑乙子乙寅乙三破而环成矣故曰四破合环
二破至九破率説
通曰以前式四破之一为率二破得率二分之四益率
二分之二而成二破之一也三
破得率三分之四益率三分之
一而成三破之一也五破得率
五分之四损率五分
之一而成五破之一
也六破得率六分之
四损率六分之二而
成六破之一也七破
得率七分之四损率
七分之三而成七破
之一也八破得率八
分之四损率八分之
四而成八破之一也九破得率九分之四损率九分之五而成九破之一也万亿皆然葢四破得方圆四分之一故以四破为率二破者倍之八破者半之破愈多而分愈细也至彼此互变皆以率通或五变六或八变七以所变之六七为法分其应变之五八一破多益少损无不适合
合破成立圆法
式欲成子丑立圆形为破几何术通曰以圆周剖之周大则剖多周小则剖少以剖后之一破腰无圆形而止
也如以子丑圆周剖为三十二破一
破如丙丁甲乙形甲乙平而不圆矣
又以丙丁甲乙剖为二如丙甲乙甲
乙丁两形而两形必等则三十二其
丙丁甲乙形而成立圆六十四其丙甲乙形亦成立圆也葢丙至丁半周也十六其甲乙亦半周也
方内容弧矢六角八角法
直方内容弧矢形式方长十四方阔七问弧内积二角余积各几何曰弧内积七十三五二角余积二十四五术方长十四即?方阔七即矢相并得二十一折半得十○五以矢七乘之得
七十三五为弧内积方长十四方阔七相乘得九十八为全积以减弧内积余二十四五为二角积折半得十二二五为一角积
通曰以?十四折半得七又折半得三五乘矢七得二十四五亦合二角积
直方内容六角形式方长二十方阔十八六角面十问六角内积四角余积各几何曰六角内积二百七十四角余积九十术以方长二十减六角半面五余十五以方阔十八乘之得二百
七十为六角内积以角外余长五折半得二五乘角外余阔九得二十二五为一角积以四乘之得九十为四角积
通曰以余长五余阔九相乘得四十五倍之得九十亦合四角积
方内容八角形式八角面七问八角内积四角余积各几何曰八角内积二百三十九四角余积五十术以五乘八角面七得三十五以七除之得五为角外余方倍之得十为上下两余方加八角面七得十七为大方面自乘得二百八
十九为全积以角外余方五自乘得二十五倍之得五十为四角积以减全积余二百三十九为八角内积通曰以余方五自乘得二十五折半得十二五为一角积此式乃斜求方也四隅角面即方斜余方即方斜面故用五乘七除
方内容小圆法
式余积二千四百圆边离方边十问方面圆径各几何曰方面六十圆径四十术以离边十自乘得一百以三乘得三百加余积二千四百得二千七百为实以六乘离边十
得六十为从方用带从开平方法除之得三十【详十二卷】倍之得六十为方面以方面减两离边二十余四十为圆径
圆内容小方法
式余积七十二离边三问圆径方面各几何曰圆径十二方面六术以离边三自乘得九以四乘之得三十六倍余积得一百四十四相并得一百八十为实以离边三乘八
得二十四为纵方用带纵开平方法除之得六【详十二卷】为半径倍之得十二为圆径以圆径自乘得一百四十四以三乘得四百三十二以四除得一百○八以减余积七十二余三十六平方开之得六为方面
又式圆径九歩七分五厘离边三歩问内方积上下大弧积左右两直方积左右两小弧积各几何曰内方积十四歩○六厘二毫五丝大弧积各十八歩直方积各九歩八分四厘三毫七丝五忽小弧积各七分七厘三毫四丝
三忽七微五纎术以圆径折半得四歩八分七厘五毫自乘得二十三歩七分六厘五毫以半径减离边余一歩八分七厘五毫自乘得三歩五分一厘五毫两自乘相减余二十歩○二分五厘平方开之得四歩五分倍之得九歩为大弧?用弧矢法【详后】得弧积十八歩以圆径减两离边余内方面三歩七分五厘自乘得十四歩○六厘二毫五丝为内方积以大弧?九歩减内方面三歩七分五厘余五歩二分五厘折半得二歩六分二厘五毫为直方濶与内方面【即直长方】相乘将九歩八分四厘三毫七丝五忽为直方积内方面即小弧?以圆径减大弧?九歩余七分五厘折半得三分七厘五毫为小弧矢用弧矢法得小弧积七分七厘三毫四丝三忽七微五纎以大弧积倍之得三十六歩以直方积倍之得十九歩六分八厘七毫五丝以小弧积倍之得一歩五分四厘六毫八丝七忽五微以诸倍数与内方积十四歩○六厘二毫五丝相并得七十一歩二分九厘六毫八丝七忽五微为全圆之积
圆内容锭形法
式圆径十四问锭内积两榄余积各几何曰锭内积一
百两榄余积四十八术以五乘圆
径十四得七十以七除之得十卽
圆内容方边自乘得一百即容方
积即锭内积也以圆径十四减容
方边十余四即榄腰濶折半得二
加容方边十得十二乘腰濶四得四十八即两榄积又术以锭长十四【即圆径】自乘得一百九十六折半得九十八加二得一百为锭积
通曰圆内容锭与圆内容方等者何也葢截方两腰之半补上下而成锭截锭上下之等半腰者补两腰而成方也故圆径即锭长锭斜即圆径戊己丙丁甲乙皆等也丙丁甲乙皆方斜也丙乙甲丁皆容方边也故用五乘七除此斜求方耳以圆径求积得一百四十七今两积合为一百四十八而多一者葢榄长即容方边自乘百内多一也锭长自乘而加二者葢百内少二斜求积之差也
大平方内容小平圆求积圆法
式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆九积空成圆三共积圆十二术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九即为积圆九也用前方内容圆法毎一小圆得内积一百四十七为圆实得庇积四十九为庇实以积圆九乘庇实得四百四十一
为隅空以圆实除隅空得三即为积空成圆三也加积圆九得十二即为共积圆十二也
大立方内容小立圆求积圆法
式大方面四十二小圆径十四问积圆积空成圆共积圆各几何曰积圆二十七积空成圆二十一共积圆四十八术通曰以小圆径十四除大方面四十二得三自乘得九再乘三
得二十七即为积圆二十七也用前立圆求积法毎一小立圆得内积一千五百四十三五为圆实以大方面自乘得一千七百六十四再乘得七万四千○八十八为全方实以积圆二十七乘圆实得四万一千六百七十四五为全圆实以全圆实减全方实余三万二千四百一十三五为隅空以圆实除隅空得二十一即为积空成圆二十一也加积圆二十七得四十八即为共积圆四十八也
通曰前式三分益一也圆居方四分之三庇居方四分之一则庇必居圆三分之一矣遇三加一九故加三也此式九分益七也立圆居立方十六分之九立庇居立方十六分之七则立庇必居立圆九分之七矣遇九加七二十七故加二十一也
大平圆内容小平圆求积法
式大圆径十二容积圆七小圆径四问积空成圆共积圆各几何曰积空成圆二共积圆九术通曰以大圆径十二用前平圆求积法得全积一百○八为全圆实以小圆径四亦如
法得内积十二以乘积圆七得八十四为小圆实二实相减余二十四为隅空以内积十二除隅空得二即为积空成圆二也加积圆七得九即为共积圆九也
大立圆内容小立圆求积圆法
式大立圆径十二容积立圆十五小立圆径四问积空成立圆共积立圆各几何曰积空成立圆十二共积立圆二十七术通曰以大立圆径十二用前立圆求积法得全积九百七
十二为全立圆实以小立圆径四亦如法得内积三十六以乘积圆十五得五百四十为小立圆实二实相减余四百三十二为隅空以内积三十六除隅空得十二即为积空成立圆十二加积立圆十五得二十七即为共积立圆二十七也【按大立圆径十二小立圆径四必不能容十五设题未合】通曰此二式不可为率隅空不等故耳近边则空多近中则空寡若不论小形而论大小形之积实则凡大形内容小形者先求大形之全积为实次求小形之内积为法以法除实皆得其积若干小形之数也
弧矢?【少广之二】
弧矢解
弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一?与一矢以矢乘积倍之适得一?一矢之数因未知矢故以积自乘为实约一度乘积以为上廉两度乘径以为下廉并之为法而后可以得矢也用三乘者何也积本平方以倍积自乘是两度平方矣故用三乘方法开之上廉下廉俱用四乘者何也倍积则乘出之数为积者四故也如不倍积廉不用四乘以一二五为隅法亦通减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢也或不减径作添积三乘方法亦通五为负隅者何也凡平圆之积得平方四分之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺虚隅二寸五分其矢得四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意也
圆径截积求?矢法
式圆径十三截积三十二问矢?各几何曰矢四?十二术倍截积三十二得六十四自乘得四千零九十六为实以四乘截积三十二得一百二十八为上廉以四乘圆径十三得
五十二为下廉以五为负隅用开三乘方法除之【详十四卷】得四为矢倍截积得六十四以矢除之得十六减矢余十二为?
弧积离径求矢?弧背圆径半径法
式弧积一百二十八离径五问矢?背圆径半径各几何曰矢八?二十四弧背二十九零圆径二十六半径十三术以弧积一百二十八为实倍弧积得二百五十六平方开之得十六为法以法除实得八为矢以矢加法十六得二十四为?以矢自
乘得六十四以?二十四除之得二六零为半?与背之差倍之得五零加?二十四得二十九零为弧背以?折半得十二自乘得一百四十四为实以矢八为法除得十八加矢得二十六为圆径折半得十三为半径即离径五与矢八相并也
?矢求弧积式术?矢相并得三十二折半得十六以矢乘之得一百二十八为弧积又术?矢相乘得一百九十二矢自乘得六十四相并得二百五十六半之为弧积
矢弧积求?式术倍弧积得二百五十六以矢八除之得三十二减矢余二十四为?
?弧积求矢式术倍弧积得二百五十六以?二十四为纵方用带纵开平方法除之【详十二卷】得八为矢?圆径求离径矢式 术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以?折半得十二自乘得一百四十四两自乘相减余二十五平方开之得五为离径以半径十三减离径五余八为矢
矢圆径求?式 术以圆径二十六减矢八余十八以矢乘之得一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为?
?离径求圆径式 术以?折半得十二自乘得一百四十四以离径五自乘得二十五相并得一百六十九平方开之得十三倍之得二十六为圆径
圆径离径求?式术以圆径折半得十三自乘得一百六十九以离径五自乘得二十五相减余一百四十四平方开之得十二倍之得二十四为?
弧矢内股?求勾法
式圆径十矢一为勾几何弧?几何曰勾三弧?六以圆径十折半为五自乘得二十五为?羃以半径五减矢一余四为股自乘得十六为股羃二羃相减余九平方开之得三为勾倍勾得六为弧?又术以
圆径自乘得一百为大?羃以圆径减倍矢二余八自乘得六十四为大股羃二羃相减余三十六为大勾羃平方开之得六为弧?半之得三为勾
通曰弧矢与勾股相通不惟此也如勾与股?较求股?是矣?半径也股离径也勾半弧?也
弧矢内勾?求股法
式圆径十弧?六为股几何弧矢几何曰股四弧矢一术以圆径十折半得五为?以弧?六折半得三为勾?自乘得二十五勾自乘得九相减余十六平方开之得四为股以股减半径五余一为矢
圆径直方濶求两弧矢积法
式圆径七十四直方濶二十四为两弧积各几何直方积几何曰弧积各一千一百八十七五直方积一千七百三十二术以圆径七十四自乘得五千四百七十六以三乘
之以四除之得四千一百○七为全积以圆径减方濶二十四余五十折半得二十五为矢用前径矢求弧?法得?七十又用?矢求弧积法得弧积一千一百八十七五倍之得二千三百七十五为两弧积以减全积余一千七百三十二为直方积
通曰矢得径十之一者?必六倍于矢矢得径十之二者?必四倍于矢矢得径十之三者?必三倍于矢矢得径十之四者?必倍于矢而又八分矢之三也矢得径十之五者?必倍于矢也弧矢者半圆所生也
数度衍巻九