月离数理
月离总论
太阴本天面积随时不同
太阴本天心距地及最高行随时不同
求初均数
求一平均
求二平均
求三平均
求二均数
求三均末均
求交均及黄白大距
地半径差
月离总论
古歴皆谓月一日行十三度十九分度之七出入日道不逾六度东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬乃定为转分进退时各不同犹今之初均数而其出入日道之大距则仍恒为六度也新法算书初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有迟疾故有初均两又不同于朔望故有二均两前后又不同于两故有三均此经度之差也朔望交行迟而大距近两交行疾而大距逺故有交均此交行之差而亦纬度之差也上编言太阴行度有九种一曰平行二曰自行三曰均轮行四曰次轮行五曰次均轮行六曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其实均轮行自行度次轮次均轮皆行月距日倍度则九种行度之中又止六种而巳自西人刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及太阴诸行又皆以日行与日天为消息故日行有盈缩则太阴平行最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最高有逺近则太阴本天心有进退两心差有大小而平行面积亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最高均又白极绕黄极而转移则白道度有进退而太阴之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之所无而刻白尔以来柰端等屡测而创获者也夫两心差既有大小则月距最高虽等而迟疾之差不等故分大中小三数而仍名曰初均朔望而外其差之最大者不在两而在朔望之间仍名曰二均又月高距日高与月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差而迟仍名曰三均又朔后恒差而迟望后恒差而疾因月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交后一象限则交行疾日在交前一象限则交行迟仍名曰正交均此五者末均为昔日之所无其余诸均亦名同而数异皆刻白尔以来噶西尼等屡测而改定者也至于黄白交角【即大距度】新法算书朔望最小两最大今则谓日在交交角大前后皆小朔望尤小日在大距交角小前后皆大两尤大似皆与新法算书不同然用以推歩交食则皆与实测合而与新法算书亦相去不逺计其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度较旧用行度多四种一曰日引二曰日距月最高三曰日距正交四曰月高距日高则其行度共行种矣今考其表中所列诚皆实测之数而要不离乎本天高卑中距四限与朔望两前后参互比较而得之兹为总举其端而各具测算之法于后庶学者知其立法所自来而推歩考验咸可通其条贯云
太阴本天面积随时不同
太阴初均数生于两心差两心差不等则均数亦不等然于平行无与也自刻白尔以本天为撱圆以平行为面积则两心差不等而撱圆之面积与太阴之平行亦因之不等盖两心差大者小径之数小而面积亦小两心差小者小径之数大而面积亦大故分撱圆之度数虽同而度之面积各异非先求其面积无以求度数也今取两心差之大中小三数求其小径及面积以定平行而后均数可得而推也
如图甲为地心乙为本天
心甲乙为两心差甲丙为
倍差丁戊己庚撱圆为太
阴本天乙丁为大半径一
千万乙戊为小半径甲戊
丙戊皆与乙丁大半径等
以甲戊为甲乙为勾求
得股即乙戊小半径也以
乙丁大半径求得丁辛己
壬平圆积以乙辛与乙戊
为比例即撱圆全积也用
度分秒数除之即得一度
一分一秒之积也以庚戊
小径与丁己大径相乗开
平方折半即乙癸中率半
径也其理皆与日躔同惟
两心差随时不同则小径
与面积皆各异具列于左
最大两心差 六六七八二○
小径 九九七七六七五【小余九○】
中率半径 九九八八八三一【小余七二】中率半径方 九九七七六七五九○四一一七二撱圆全积 三一三四五七九三二八四四五六七
九十度积 七八三六四四八三二一一一四二
一度积 八七○七一六四八○一二四
一分积 一四五一一九四一三三五
一秒积 二四一八六五六八九
中数两心差 五五○五○五
小径 九九八四八三五【小余七一】
中率半径 九九九二四一四【小余九八】中率半径方 九九八四八三五七一四四七一○撱圆全积 三一三六八二八六四九二○三九六
九十度积 七八四二○七一六二三○○九九
一度积 八七一三四一二九一四四六
一分积 一四五二二三五四八五七
一秒积 二四二○三九二四八
最小两心差 四三三一九○
小径 九九九○六一二【小余九二】
中率半径 九九九五三○五【小余三六】中率半径方 九九九○六一二九一五三二七一撱圆全积 三一三八六四三六一○三七八六七
九十度积 七八四六六○九○二五九四六七
一度积 八七一八四五四四七三二七
一分积 一四五三○七五七四五五
一秒积 二四二一七九二九一太阴本天心距地及最高行随时不同
太阴之行有迟疾由于本天有高卑其説一为不同心天一为本轮与太阳同西人第谷以前定本轮半径为本天半径千万分之八十七万即不同心天之两心差其最大迟疾差为四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距与实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大因将本轮半径三分之存其二分五十四万为本轮半径取其一分二十七万为均轮半径其高卑之数迟疾之差虽各有不同而其距地之有定数最高之有常行则一也自刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及最高行又随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差即为八十六万有竒与旧数相去不逺若日当月天最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒两心差为六六七八二○日厯月天高卑而后两心差渐小中距而后两心差渐大日距月天高卑前后四十五度两心差适中又日当月天高卑时最高之行常速至高卑后四十五度而止日当月天中距时最高之行常迟至中距后四十五度而止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则太阴本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距之边为本天心距地数即本时之两心差也今考其表中所载其最大迟疾差不在中距最高前后九十度多最卑前后九十度少与上编小轮之理同其求两心差则在本天高卑之适中而亦不正九十度与本编日躔之理同而其测量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差之数巳见而求得两心差之数则高卑中距之差悉合矣
如甲为地心乙为太阴本天心丙为最高丁为最卑戊己为中距【戊己乃实行之中距非平行之中距因朔望相对故借实行以明之】设日天最高当月天最高丙太阳在最高后中距戊太阴亦在戊合朔测得太阴实行比平行少四度四十五分四十一秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多五度九分二十一秒又设太阳在最高前中距己太隂亦在己合朔测得太阴实行比平行多四度四十五分四十一秒太阴在最高后中距戊望测得太隂实行比平行少五度九分二十一秒两测太隂在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然太阳在戊则少数小多数大太阳在己则少数大多数小是必另有一均因太阳在戊而加在己而减者若不因太阳之故则太隂在戊为减在己为加其数必相等也于是以大小两数相减折半得一十一分五十秒别为一平均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也
又设日天最高当月天最高后中距戊太阳在最高戊太阴在最高后中距戊合朔测得太阴实行比平行少四度五十九分五十六秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多四度五十五分六秒又设日天最高当月天最高前中距己太阳在最高己太阴在最高前中距己合朔测得太阴实行比平行多四度五十九分五十六秒太阴在最高后中距戊望测得太阴实行比平行少四度五十五分六秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度则少数大多数小日天最高在己月天最高距日天最高九十度则多数大少数小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加与前测合
又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在中距戊上测得太阴实行比平行少七度三十五分三十四秒太阴在中距己下测得太阴实行比平行多七度三十五分三十四秒又设日天最高当月天最卑丁太阳在最高丁太阴在中距己上测得太阴实行比平行多七度四十分二十四秒太阴在中距戊下测得太阴实行比平行少七度四十分二十四秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然上则少数小多数大下则少数大多数小是必另有一均因上而加下而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得七度三十七分五十九秒为日在月天最高最卑时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也
又设日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太阳在庚距月天最高四十五度太阴在戊距最高九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太阴实行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太阳在辛距月天最高一百三十五度太阴仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行少六度五十四分四十九秒又设日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太阳在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太隂实行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太阳在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行多五度五十七分四十五秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣而朔与上之间则少数小多数大下与朔之间则少数大多数小是必另有一均因朔后而加朔前而减者而所大所小之数又不及二均加减之多是必又有别均加减于其间而此特为其加减之较于是以大小两数相减折半得二十八分三十二秒为二均与二平均末均加减之较【查朔后四十五度二均应加三十三分一十四秒而日距月天高卑后四十五度二平均应减三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔后四十五度时末均应减一分八秒故以二十八分三十二秒为加减之较又查朔前四十五度二均应减三十三分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均应加三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔前四十五度时末均应加一分八秒故亦以二十八分三十二秒为加减之较详后各篇】以减大数加小数得六度二十六分一十七秒为日距月天高卑前后四十五度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也
前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时而测两心差之大小则必在本天高卑之适中其平引【即距最高之平行度】之多于九十度与实引【即距最高之实行度】之少于九十度或平引之少于九十度与实引之多于九十度者皆适相等【见日躔求两心差篇】如甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲子为倍差丙丑丁寅撱圆为月本天丙为最高丁为最卑丑寅为中距【丑寅为本天高卑之适中丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多丑甲丙角为实引九十度少然相去不逺故亦名中距以便与日天较算也】乙丁为大半径一千万乙丑为小半径甲丑子丑皆与乙丁等设日天最高当月天最高前中距寅太阳在最高寅太阴在最高后中距丑望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等【与日躔求两心差同但日躔从最卑起算月离从最高起算耳】此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半减此时应加之三均二分二十五秒【此时三均应加二分二十五秒若不因三均则实行应少二分二十五秒故减】余八十七度三十一分二秒一微半为实引其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既为半径一千万则甲乙即乙丑甲角之正检表得四三三一九○即日在月天中距时之两心差也
又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在最高后中距丑上其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半为平引其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半减此时应加之三均二分二十五秒【同前】余八十六度一十分一十四秒五十七微半为实引其小于九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角检正得六六七八二○即日在月天最高最卑时之两心差也
前测日在月天高卑两心差大日在月天中距两心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行迟用小轮之法算之如甲为地心乙丙丁戊为最高本轮甲乙半径为五五○五○五己庚辛壬为最高均轮乙己半径为一一七三一五均轮心循本轮周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均轮周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均轮上半周顺轮心行故最高行速距地心逺故两心差大本天心在均轮下半周逆轮心行故最高行迟距地心近故两心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○为最大两心差日在月天两中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○为最小两心差本天最高与甲乙合为一线无最高均数如日距月最高四十五度则本天心自己行九十度至庚本天最高必对甲庚线之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数是为最大之加差以加于最高平行而得最高实行求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数即本时之两心差也【此乙角为直角可用勾股法亦可用切线分外角法若乙角非直角则用切线分外角法】如日距月最高一百三十五度则本天心自己行二百七十度至壬本天最高必对甲壬线之上用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数与乙甲庚角等甲壬两心差亦与甲庚等但甲角为最大之减差以减最高平行而得最高实行也既得最高实行与两心差则以最高实行与太阴平行相减得平引而初均数可求矣
求初均数
新法算书用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行用意甚精而推算无术噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六【见日躔撱圆角度与面积相求篇】月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为踈而于法则犹未宻故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减【不及半周者与半周相减过半周者减半周】为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为平圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云
如图甲为地心乙为本天
心甲乙为最大两心差六
六七八二○丙丁戊己为
月本天乙丙为大半径一
千万与乙庚等乙丁为小
半径九九七七六七五【小余
九○】设太阴平引距最高后
九十度用日躔借角求角
法依甲乙之分截乙丙线
于辛取丙辛壬角为九十
度自地心甲作甲壬线命
甲壬丙分撱圆面积为九
十度与乙丁丙面积等亦
与丙乙丁角度等用甲辛
壬三角形丙辛壬外角为
平引九十度甲辛为倍两
心差一三三五六四○甲
壬与辛壬共为二千万求
得壬角七度三十八分二
十八秒【小余七○】为初均数即
得壬甲丙角八十二度二
十一分三十一秒【小余三○】为
实引试依日躔借积求积
法细推之辛壬边为九九
五五四○一【小余六四】甲壬边
为一○○四四五九八【小余
三六】甲壬丙分撱圆面积为
七八三五四五六三一八
四七七三与最大两心差
之撱圆九十度积七八三
六四四八三二一一一四
二相减余九九二○○二
六三六九为甲壬癸积即
甲壬丙积小于九十度积
之较故知平引距最高九
十度时太阴必在壬防之
后如癸乃依最大两心差
中率半径九九八八八三
二截甲壬线于子截甲癸
线于丑成甲子丑分平圆
面与甲壬癸为同式形【甲壬
长于甲癸然为数无多故为同式形】以甲壬
自乗得一○○八九三九
五六二一三七一五为一
率甲子中率自乗方九九
七七六七五九○四一一
七二为二率甲壬癸积较
为三率求得四率九八一
○一八二○七五为甲子
丑分平圆面积以最大两
心差之一秒积二四一八
六五六八九除之得四十
秒【小余五六】为子甲丑角与壬
甲丙角相加得八十二度
二十二分一十一秒【小余八六】为癸甲丙角即平引距最
高后九十度之实引与平
引九十度相减余七度三
十七分四十八秒【小余一四】即
平引距最高后九十度时
之初均数前用日躔借角
求角法所得实引壬甲丙
角比细推少四十秒盖乙
丁丙为撱圆面四分之一
其积为九十度今命太隂
在壬以甲壬丙分撱圆积
为与乙丁丙积等其实甲
壬丙积比乙丁丙积多一
甲乙寅形少一寅壬丁形
而甲乙寅积仅与寅壬卯
积等以多补少尚少壬卯
丁弧矢积故推得壬甲丙
角比细推少四十秒也【日躔
从最卑起算则推得辰甲戊角比细推为多】又
查日天两心差为一六九
○○○小矢为一四二六
所得实引比细推差百分
秒之六十六月天甲乙两
心差为六六七八二○与
壬卯半等几为日天之
四倍卯丁小矢为二二二
七四【乙丁内减去辛壬余即卯丁小矢也】几
为日天之一十六倍则壬
卯丁弧矢积几为日天之
六十四倍【四因一十六倍得六十四倍】故实引比细推差四十秒
亦几为日躔实引所差之
六十四倍也
今用两三角形法先设丙
乙庚角为平引九十度用
甲乙庚三角形甲乙庚角
为九十度乙庚为半径一
千万甲乙为最大两心差
六六七八二○求得甲庚
乙角三度四十九分一十
四秒【小余三五】又与甲庚平行
作乙己线自甲至己作甲
己线成甲乙己三角形己
乙庚角与甲庚乙角等以
己乙庚角与甲乙庚角九
十度相加得九十三度四
十九分一十四秒【小余三五】为
甲乙己角求得乙甲己角
八十二度二十三分二秒
【小余四一】为平圆引数次以乙
庚大半径一千万为一率
乙丁小半径九九七七六
七六为二率乙甲己角之
正切线为三率求得四率
为乙甲午角之正切线检
表得八十二度二十二分
一秒【小余七九】为实引与平引
九十度相减余七度三十
七分五十八秒【小余二一】即最
大两心差平引九十度之
初均数也此法推得实引
比前细推所得之数仍少
一十秒而较之日躔借角
求角之法则为己宻葢设
丙乙庚角为九十度则乙
庚丙分平圆积乙丁丙分
撱圆积皆为九十度今与
甲庚平行作乙己线甲己
丙面与乙庚丙面相等而
为平圆九十度积则甲午
丙面亦必与乙丁丙面相
等而为撱圆九十度积夫
甲己丙面内有乙己丙形
与甲乙己形乙庚丙面内
有乙己丙形与乙己庚形
甲乙己积与乙己庚积相
等则甲己丙积即与乙庚
丙积相等试自己至庚作
己庚直线则乙己庚与甲
乙己为二平行线内同底
同高之两三角形其积相
等【乙己原与甲庚平行庚未正与甲申垂线等
以乙己底与庚未高相乗折半得乙己庚三角积以
乙己底与甲申高相乗折半得甲乙己三角积庚未
旣与甲申等故两三角积必等也】是甲乙
己形比乙己庚形尚少庚
酉巳弧矢积而甲己丙分
平圆面比乙庚丙平圆九
十度积甲午丙分撱圆面
比乙丁丙撱圆九十度积亦
少庚酉已弧矢积故求得实
引比细推少一十秒即庚酉
巳弧矢积之度然为数无多
非若差壬卯丁弧矢积者比
故其法较日躔为己宻也又
以日躔之法明之日躔设太
阴在壬其甲壬丙分撱圆面
积比乙丁丙撱圆九十度积
少壬卯丁弧矢积故实引壬
甲丙角少四十秒今平引用
乙角甲乙与乙辛等而乙庚
长于辛壬则与甲庚平行之
乙己线必在壬防下减巳甲
午撱圆差角太阴午防亦必
仍在壬防下是甲午丙积比
甲壬丙积
即多甲午壬积足与所少
壬卯丁弧矢积相补故求
得实引午甲丙角即比壬
甲丙角大一午甲壬角以
数计之已午畧与卯丁等
甲戌畧与甲辛等则甲已
午三角积为壬卯丁勾股
积之二倍而甲午壬积约
为甲己午积之一半故甲
午壬积与壬卯丁勾股积
等比壬卯丁弧矢积仅少
壬亥丁一小弧矢积故实
引止少一十秒且此之平
引为九十度乃差之最大
者九十度前后愈近最高
最卑其差愈少故推太阴
初均用此法也
依前法设平引九十度甲
乙为最小两心差四三三
一九○求得乙甲午角八
十五度二分二十九秒为
实引与平引九十度相减
余四度五十七分三十一
秒为最小两心差平引九
十度之初均数又设甲乙
为中数两心差五五○五
○五求得乙甲午角八十
三度四十二分一十秒为
实引与平引九十度相减
余六度一十七分五十秒
为中数两心差平引九十
度之初均数如设平引九
十度日距月最高四十五
度两心差为五六二八六
六求初均数则以最大两
心差与中数两心差相减
余一一七三一五为一率最
大两心差之初均数与中数
两心差之初均数相减余一
度二十分八秒化作四千八
百零八秒为二率今有之两
心差与中数两心差相减余
一二三六一为三率求得四
率五百零七秒収作八分二
十七秒与中数两心差之初
均数相加得六度二十六分
一十七秒为平引九十度两
心差五六二八六六之初均
数盖均数因两心差为大小
故初均大小之差即用两心
差之较为比例若以甲乙两
心差五六二八六六用两三
角形法算
之则得乙甲午角八十三度
三十三分四十三秒为实引
与平引九十度相减余六度
二十六分一十七秒为初均
数与用两心差之较为比例
所得数同故初均表止列大
中小三限为省算也余仿此
求一平均
新法算书推歩朔望惟用初均数若月在本天最高或在本天最卑则平行与实行合为一线并无初均数矣刻白尔以来奈端等屡加测騐谓月在最高最卑虽无初均数而日在最卑后则太阴平行常迟最高平行正交平行常速日在最高后太阴平行常速最高平行正交平行常迟因定日在中距太阴平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月距日一日顺行一十二度余最高一日顺行六分余正交一日退行三分余皆随太阳平行为行度故为平行而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一平均之法然太阴一平均则惟因左旋时差之故最高平均与正交平均则兼左旋右旋两差之故焉以太阴一平均言之太阴二均生于月距日之倍度而月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之太阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳左旋时刻差一度倍月距日已差二度太阴又随之差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分为一率一小时月距日平行一千八百二十
八秒六二为 【十三秒变时得七分四十】二率太阳中距均数一度【每度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒】五十六分一五秒为三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○収为一十一分四十九秒为太阴一平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行至子正时之太阴平行度也以最高平均与正交平均言之最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一度日距月最高与日距正交之倍度巳差二度最高与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高与正交亦随之差一度之行太阳又加倍差一度则最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差皆为一倍有半而未至子正应加巳过子正应减之时差行又其在外者也故以一日太阳平行三千五百四十八秒三三为一率一日最高平行四百零一秒○七为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒为三率求得四率七百八十八秒一六加四倍时差最高行八秒用一五因之再加最高时差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九分五十六秒为最高一平均又以一日太阳平行为一率一日正交平行一百九十秒六三为二率太阳中距均数为三率求得四率三百七十四秒六二加四倍时差正交行四秒用一五因之再加正交时差行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒为正交一平均最高顺行故加减与太阳均数同正交退行故加减与太阳均数相反是为太阳实行至子正时之最高平行与正交平行也最高一平均与旧表合太阴一平均正交一平均皆少一秒今仍用旧数既得太阳中距之平均而逐度之平均皆由太阳均数立算故以太阳中距均数与中距平均之比即同于太阳逐度均数与逐度平均之比也测法附后
如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高当日天最高丙太阳在中距丁太阴在最卑戊上测得太阴实行比平行多一十四分一十五秒太阴在最高丙下测得太阴实行比平行多九分二十五秒又设太阳在中距己太阴在最高丙上测得太阴实行比平行少九分二十五秒太阴在最卑戊下测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣而上则多数大少数小下则多数小少数大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也
又设太阳在丁月天最高在丁距日天最高后九十度太隂在丁合朔测得太隂实行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己望测得太隂实行比平行多九分二十五秒又设太阳在己月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己合朔测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高后九十度太阴在丁望测得太隂实行比平行少九分二十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高后九十度则多数大少数小月天最高在己距日天最高后二百七十度则多数小少数大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也
又设太阳在庚距最高后四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔测得太隂实行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望测得太隂实行比平行多六分三十二秒又设太阳在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔测得太隂实行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望测得太隂实行比平行少六分三十二秒两测太阳距最高前后皆四十五度而在最高后庚太隂实行皆比平行为多在最高前壬太隂实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最高前则减为一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高后四十五度则多数大月天最高在辛距日天最高后二百二十五度则多数小月天最高在壬距日天最高后三百一十五度则少数大月天最高在癸距日天最高后一百三十五度则少数小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得八分一十五秒为太阳距最高前后四十五度之一平均最高后为加最高前为减也查太阳最高前后四十五度之均数为一度二十分五十七秒以太阳中距之均数一度五十六分一十三秒与中距一平均一十一分五十秒之比同于最高前后四十五度之均数一度二十分五十七秒与四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均当以逐度太阳均数为比例也
又设太阳在最高后中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正当交防此时应无初均惟一平均应加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均应加二分二十五秒然测太隂实行比平行多一十九分一十四秒较之一平均与三均应加之数仍多四分五十九秒为最卑后三十四分一十一秒所应加之初均数夫太隂本在最卑以一平均与三均应加之数计之应在最卑后一十四分一十五秒是必最高又有减差太隂始得在最卑后三十四分一十一秒乃于三十四分一十一秒内减一平均与三均应加之一十四分一十五秒余一十九分五十六秒为太阳在最高后中距应减之最高平均也又此时太隂正当交防应无距纬然测太阴纬度在黄道北二十六秒为太隂距正交后四分四十五秒之纬度夫太隂本在交防以一平均与三均应加之数计之则应距正交后一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交后四分四十五秒乃于一平均与三均应加之一十四分一十五秒内减四分四十五秒余九分三十秒为太阳在最高后中距应加之正交平均也太阳在最高前仿此
求二平均
前篇言太阴在本天高卑虽无初均数而太阳在本天高卑前后犹有一平均若太阳亦在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前后则平行常迟至高卑后四十五度而止在月天中距前后则平行常速至中距后四十五度而止然积迟积速之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒太阳在最卑距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒高卑后为减中距后为加其间日距月最高逐度之差皆以半径与日距月最高倍度之正为比例其太阳距地逐度之差又以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例名曰二平均盖太阴本天心循最高均轮周行日距月最高之倍度日在月天高卑则两心差大而撱圆之面积小故平行迟也日在月天中距则两心差小而撱圆之面积大故平行速也日距月天高卑中距四十五度则两心差与撱圆之面积皆为适中太隂平行原以适中之数立算故其平行无迟速也然推盈缩迟疾之法皆以小轮上下二防为起算之端而以九十度处为差数之极今太隂本天心既循均轮周行日距月最高之倍度则是日在月天高卑时本天心皆在均轮上防也日在月天中距时本天心皆在均轮下防也日距月天高卑中距四十五度时本天心皆在均轮九十度处也故二平均以高卑中距分加减之限而以四十五度为最大差至其大差之数与比例之法固由测量而得亦可推算而知测算之法并设于左
如甲为地心乙为月本天心丙丁戊己为月本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最高庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太隂初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十二分二十五秒比所推实行少五分一十七秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最高辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太隂初均应减四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行少四度二十二分一十五秒比所推实行少一分五十一秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最高壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太隂初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十二分一十五秒比所推实行多一分五十一秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最高癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太隂初均应减四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行少四度四十二分二十五秒比所推实行多五分一十七秒两测太阳同在最高前测太阳一在月天最高后四十五度一在月天最卑后四十五度实行皆比所推为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比所推为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分三十四秒为太阳在最高时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也
设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最卑辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太阴初均应减四度二十分二十四秒然测太阴实行却比平行少四度二十六分三秒比所推实行少五分三十九秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最卑庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太阴初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十五分二十九秒比所推实行少二分一十三秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最卑癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太阴初均应减四度四十七分四十二秒然测太阴实行仅比平行少四度四十五分二十九秒比所推实行多二分一十三秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最卑壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太阴初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十六分三秒比所推实行多五分三十九秒两测太阳同在最卑前测太阳一在月天最卑后四十五度一在月天最高后四十五度实行皆比平行为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比平行为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分五十六秒为太阳在最卑时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也
设日天最高在丙与月天最高同度日在庚距月天最高四十五度距日天最高亦四十五度此时一平均应加八分一十五秒月在辛望距本天最高二百二十五度初均应加四度四十七分四十二秒实行应比平行多四度五十五分五十七秒然测太阴实行仅比平行多四度五十二分二十秒比所推实行少三分三十七秒是为日在最高后四十五度时距月天最高后四十五度应减之二平均也又设日在壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度距日天最高亦一百三十五度此时一平均应加八分三十秒月在癸望距本天最高三百一十五度初均应加四度二十分二十四秒实行应比平行多四度二十八分五十四秒然测太阴实行却比平行多四度三十二分四十七秒比所推实行多三分五十三秒是为日在最高后一百三十五度时距月天中距后四十五度应加之二平均也又设日在子距月天最高二十度距日天最高亦二十度此时一平均应加三分五十八秒月在丑望距本天最高二百度初均应加二度四十四分二秒实行比平行应多二度四十八分然测太隂实行仅比平行多二度四十五分四十二秒比所推实行少二分一十八秒是为日在最高后二十度时距月天最高二十度应减之二平均也又设日在寅距月天最高一百一十度而在中距后二十度距日天最高亦一百一十度此时一平均应加一十一分一十二秒月在卯望距本天最高后二百九十度初均应加四度五十五分一十六秒实行比平行应多五度六分二十八秒然测太阴实行却比平行多五度八分五十六秒比所推实行多二分二十八秒是为日在最高后一百一十度时距月天最高一百一十度应加之二平均也以上测得诸数与本天面积比例相似如甲乙丙丁为最大两心差之撱圆其面积小甲戊丙己为最小两心差之撱圆其面积大甲庚丙辛为相加折半之撱圆其面积适中今以适中之面积均分之为平行在小面积必比中积为少故平行迟在大面积必比中积为多故平行速然其迟速之限止在日距月最高倍度九十度之间故其迟速之差亦至九十度而止试以最大两心差之甲乙壬撱圆九十度积七八三六四四八三二一一一四二与最小两心差之甲戊壬撱圆九十度积七八四六六○九○二五九四六七相减余一○一六○七○四八三二五为甲乙戊积折半得五○八○三五二四一六二为甲乙庚积与甲庚戊积等以适中一秒积二四二○二二四九○除之得二百一十秒収为三分三十秒比日在最高之最大二平均仅少四秒今仍用旧数
又日在最高距地逺而差数小日在最卑距地近而差数大与转比例相似试以日在最卑距地九八三一之平方九六六四为一率日在最高距地一○一六九之平方一○三四○为二率【面积从末截去十位以便入算】日在最高距地数乗最高二平均三分三十四秒之长方为三率求得四率为日在最卑距地数乗最卑二平均之长方以最卑距地数除之得三分五十六秒强为日在最卑之二平均又法先以四率最卑距地数与一率最卑平方相乗得最卑距地之立方九五○一五二为一率以三率最高距地数与二率最高平方相乗得最高距地之立方一○五一五六二为二率【立方积从末截去十五位以便入算】即以日在最高二平均三分三十四秒为三率则得四率即为日在最卑二平均三分五十六秒与表合日距月最高逐度之二平均以半径与日距月最高倍度之正为比例如甲为地心甲乙为中数两心差甲丙为最大两心差甲丁为最小两心差日在月天最高月本天心在丙面积最小平行最迟自丙向戊所迟渐少迨日距月天最高四十五度则月本天心自丙行九十度至戊面积适中无所迟而复于平行然积迟之多正在戊故为最大之减差由戊向丁面积渐大平行渐速然因有积迟之度方以次相补迨日距月天最高九十度则月本天心自丙行一百八十度至丁平行最速而积迟之度方补足无缺故自丙至丁半周皆为减差也日在月天中距月本天心在丁面积最大平行最速自丁向己所速渐少迨日距月天最高一百三十五度则月本天心自丙行二百七十度至己面积适中即无所速而复于平行然积速之多正在己故为最大之加差由己向丙面积渐小平行渐迟然因有积速之度方以次相消迨日距月天最高后半周与月天最卑同度则月本天心自丙行一周复至丙平行最迟而积速之度始消尽无余故自丁至丙半周皆为加差也日距月天最卑后皆仿此今以日距月最高倍度之正为比例自丙向戊自丁向己正渐大而其较渐小自戊向丁自己向丙正渐小而其较渐大故自戊防而后所减渐少而所少之较又渐大实即加也加至丁防而极自丁防而后为加虽所加渐多而所加之较实渐小至己则逐日所加相等是即无所加矣自己防而后所加渐少而所少之较又渐大实即减也减至丙防而极自丙防而后为减虽所减渐多而所减之较实渐小至戊则逐日所减相等是即无所减矣故太阴平行以丙防前后为迟丁防前后为速而迟速之差至戊己二防而止其间逐度之二平均皆以日距月最高倍度之正为比例也太阳距地逐度二平均较以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例盖以本日太阳距地之立方与最高距地之立方为比同于最高之二平均与本日太阳距地之二平均为比此正理也【法见前】然以此立表则不胜其繁而逐度太阳距地之立方推算亦不易且其至大之差不过二十二秒用立方较为比例其数巳自相合故先以日在最高之最大二平均三分三十四秒比例得日在最高时本日之二平均又以日在最卑之最大二平均三分五十六秒比例得日在最卑时本日之二平均两二平均相减为高卑二平均之较乃以日在最高距地一○一六九之立方一○五一五六二与日在最卑距地九八三一之立方九五○一五二相减余一○一四一○为高卑立方大较为一率高卑二平均之较为二率本日太阳距地之立方与最高距地之立方相减为本日之立方较为三率求得四率为本日二平均较与日在最高之二平均相加即得本日之二平均也
求三平均
前篇言日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数然惟太阳在两交与大距为然若太阳在两交后则平行又稍迟在大距后则平行又稍速其最大差为四十七秒名曰三平均盖白极在正交均轮周新法算书谓行月距日之倍度奈端以来谓行日距正交之倍度【详见后交均篇】故惟太阳在两交与大距则白极与均轮心参直其平行无加减太阳在两交后则白极在均轮心之东而白道经圏之过黄道者亦差而东其黄道旧防所当白道度即差而西故平行应减而迟也太阳在大距后则白极在均轮心之西而白道经圏之过黄道者亦差而西其黄道旧防所当白道度即差而东故平行应加而速也此其所差止在数十秒之间虽不易得之仰观而实可稽诸仪象其法以半径一千万与均轮半径切线为比同于本轮半径与最大三平均切线为比而逐度之三平均皆以半径与日距正交倍度之正即为比例焉
如图甲为黄极乙丙丁戊为
黄道以最大黄白大距五度
一十七分二十秒与最小黄
白大距四度五十九分三十
五秒相加折半得五度八分
二十七秒半为黄白大距之
中数以中数为半径作己庚
辛壬圏为白极绕黄极本轮
又以两大距相减折半得八
分五十二秒半为半径作癸
子丑寅圏为负白极均轮均
轮心循本轮周左旋自己向
庚每日三分有余为正交行
度白极循均轮周右旋自癸
向子每日二度四分有余为
日距正交之倍度日在两交
白极在癸
日在大距白极在丑与均轮
心参直成一直线故无三平
均如日距两交后四十五度
则白道之北极自癸行九十
度至子在均轮心之东而白
道之南极转在均轮心之
西白道经圏交白道于卯当
黄道之辰在乙防黄道度之
东而白道经圏之过乙防者
即当白道之己是白道度退
矣白道度退则太隂亦随之
而退故白极在癸子丑半周
三平均皆为减差也如日在
大距后四十五度则白道之
北极自丑行九十度至寅在
均轮心之西而白道之南极
即转在均
轮心之东白道经圏交白
道于卯当黄道之午在乙
防黄道度之西而白道经
圏之过乙防者即当白道
之未是白道度进矣白道
度进则太阴亦随之而进
故白极在丑寅癸半周三
平均皆为加差也巳卯子
卯寅卯皆九十度巳角子
角寅角皆直角巳子巳寅
皆均轮半径八分五十二
秒半即卯角度乙卯五度
八分二十七秒半与甲己
本轮半径等故以半径一
千万与卯角正切线二五
八一六为比同于乙卯弧
之正八九六○六六与
乙午或乙辰之正切线二
三一三为比而得乙午乙
辰弧各四十七秒为最大
三平均若日距正交之倍
度不及九十度或过九十
度则巳角或鋭或钝不得
成直角而卯角与乙辰乙
午三平均皆以渐而小当
用弧线三角形法推算然
均轮半径不过八分余其
逐度之正即与卯角等
故逐度之三平均即以半
径与日距正交倍度之正
为比例也今按三平均
系白道度当用卯巳与卯
未弧又按推交均法将均
轮半径减五十秒余巳申
八分二秒半为小轮半径
则三平均又当用卯酉弧
然以数推之卯巳弧为四十
八秒卯酉弧为四十三秒其
差不逺故即以均轮半径比
例为省算云
求二均数
新法算书惟太阴两行度止有初均二均两前后始有三均初均之最大者四度五十八分余二均之最大者二度二十七分余三均之最大者四十二分余计两前后最大差共八度弱噶西尼以来屡加测验谓两太阴行度止有初均三均而三均又不尽关乎两之故二均之最大者不在两而在朔望之间其初均之最大者七度三十九分三十四秒二均之最大者三十七分一十一秒计两前后最大差共八度强则是今之二均固兼新法算书二均三均之义而其数则又不同盖太阴去地甚近其行最着又二十七日有竒而一周天一月之中备日行四时之轨至为参错不齐古人惟重交食故朔望而外置之弗论西人第谷始创二三均之法其门人精测不已又数十年然后改定则其数必实有所据而非为臆説也其法定日在最高朔望前后四十五度最大差为三十三分一十四秒日在最卑朔望前后四十五度最大差为三十七分一十一秒朔望后为加两后为减其间月距日逐度之二均则以半径与月距日倍度之正为比例其太阳距最高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例与二平均同测算之法并设于后
如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高在日天最高丙太阳在最高丙太阴在庚距最高四十五度距日亦四十五度为朔与上之间此时太阴初均应减五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行少四度三十一分一十四秒比所推实行多三十四分五十七秒若太隂在辛距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望后四十五度为望与下之间此时太隂初均应加五度四十四分二十九秒然测太隂实行却比平行多六度一十六分比所推实行多三十一分三十一秒又设太隂在壬距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度为下与朔之间此时太隂初均应加五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行多四度三十一分一十四秒比所推实行少三十四分五十七秒若太阴在癸距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度为上与望之间此时太隂初均应减五度四十四分二十九秒然测太隂实行却比平行少六度一十六分比所推实行少三十一分三十一秒两测太阳同在最高前测太隂在朔望后四十五度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前四十五度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三十三分一十四秒为太阳在最高时月在朔望前后四十五度之最大二均数朔望后为加两后为减也
设月天最高在日天最卑戊太阳在最卑戊太阴在辛距最高四十五度距日亦四十五度为朔与上之间此时太隂初均应减五度六分一十一秒然测太隂实行则仅比平行少四度二十七分一十七秒比所推实行多三十八分五十四秒若太隂在庚距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望后四十五度为望与下之间此时太隂初均应加五度四十四分二十九秒然测太阴实行却比平行多六度一十九分五十七秒比所推实行多三十五分二十八秒又设太阴在癸距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度为下与朔之间此时太阴初均应加五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行多四度二十七分一十七秒比所推实行少三十八分五十四秒若太阳在壬距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度为上与望之间此时太阴初均应减五度四十四分二十九秒然测太阴实行却比平行少六度一十九分五十七秒比所推实行少三十五分二十八秒两测太阳同在最卑前测太阴在朔望后四十五度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前四十五度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三十七分一十一秒为太阳在最卑时月在朔望前后四十五度之最大二均数朔望后为加两后为减也
设月天最高当日天最高丙太阳在最高丙太阴在子距最高三十度距日亦三十度此时太阴初均应减三度三十三分五十七秒然测太阴实行仅比平行少三度三分五十七秒比所推实行多三十分若太阴在丑距最高二百一十度距日亦二百一十度而在望后三十度此时太阴初均应加四度七分一十三秒然测太阴实行却比平行多四度三十四分四十七秒比所推实行多二十七分三十四秒又设太隂在寅距最高三百三十度距日亦三百三十度而在朔前三十度此时太阴初均应加三度三十三分五十七秒然测太隂实行仅比平行多三度三分五十七秒比所推实行少三十分若太阴在卯距最高一百五十度距日亦一百五十度而在望前三十度此时太阴初均应减四度七分一十三秒然测太隂实行却比平行少四度三十四分四十七秒比所推实行少二十七分三十四秒两测太阳同在最高前测太阴在朔望后三十度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前三十度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分一十三秒别为三均以减大数加小数得二十八分四十七秒为日在最高时月距日三十度之二均数朔望后为加两后为减也乃以前第一测月距日四十五度倍之得九十度其正即半径一千万为一率前第一测月距日四十五度之二均三十三分一十四秒为二率第三测月距日三十度倍之得六十度其正八六六○二五四为三率求得四率二十八分四十七秒与所测合故知月距日逐度之差以半径与月距日倍度之正为比例也
又设月天最高在日天最高丙太阳在辰距本天最高三十度距月天最高亦三十度太阴在己距本天最高六十度距日三十度此时一平均应加五分四十九秒二平均应减三分六秒初均应减五度五十三分二十二秒三均应加一分一十三秒实行应比平行少五度四十九分二十六秒然测太阴实行则仅比平行少五度二十分二十六秒比所推实行多二十九分是为日在日天最高后三十度时月距日三十度应加之二均数与本天高卑比例相合盖以日在最卑距地之立方九五○一五二为一率日在最高距地之立方一○五一五六二为二率以日在最高之最大二均数三十三分一十四秒加高卑二平均较二十二秒得三十三分三十六秒为三率则得四率三十七分一十一秒为日在最卑之最大二均数以今设日距最高三十度距地一○一四五六之立方一○四四三一九为一率日在最高距地之立方一○五一五六二为二率以日在最高月距日三十度之二均数二十八分四十七秒加本日二平均较一秒【法见前求二平均篇】得二十八分四十八秒为三率则得四率二十九分为本日之二均数此正理也然列表则甚繁而入算亦不易故先以半径为一率日在最高最大二均数三十三分一十四秒为二率月距日三十度倍之得六十度其正八六六○二五四为三率得四率二十八分四十七秒为日在最高月距日三十度之二均数又以半径为一率日在最卑最大二均数三十七分一十一秒为二率月距日倍度之正为三率得四率三十二分一十二秒为日在最卑月距日三十度之二均数两二均之较为三分二十五秒乃以太阳高卑立方大较一○一四一○为一率两二均之较三分二十五秒为二率日距最高三十度距地之立方一○四四三一九与最高距地之立方一○五一五六二相减余七二四三为本日立方较为三率求得四率一十四秒与日在最高之二均相加得二十九分一秒为日距最高三十度时月距日三十度之二均数比前法仅多一秒故太阳距最高逐度二均之差以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例也
求三均末均
新法算书推歩朔望两皆无三均数而三均之最大者毎在朔望之间故知三均之差生于月距日之倍度自噶西尼以来以朔望间之最大差属之二均而月距日九十度与月高距日高九十度其差正等【见求两心差第二第三条求一平均第一第二条】月距日四十五度与月高距日高四十五度其差又等【见求一平均第三条求二平均第一条求二均第一条】则是三均之差不専系乎月距日之故也于是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测之其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等乃知三均之差生于月距日与月高距日高之总度半周内为加半周外为减其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒其间逐度之差以半径与总度之正为比例则三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度两者止有一相距之差则止有三均若月天最高与日天最高有距度日月又有距度则三均之外朔后又差而迟望后又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度时无三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将月高距日高九十度分为九限各于月距日九十度时测之两高相距九十度其差三分渐近则渐小其间月距日逐度末均之差皆以半径与月距日之正为比例朔后为减望后为加而后推太隂经度之法纎悉具备今考其所测其数之小者只在秒微之间其时又数十年而不一遇然其用意细宻学者茍通乎此何患推测之无术欤
如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日在最高丙月天最高在庚距日天最高四十五度日距月天最高三百一十五度月在最高庚距日四十五度与月高距日高共为九十度此时二平均应加三分三十四秒二均应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太隂实行却比平行多三十八分五秒半比所推实行多一分一十七秒半若月天最高在辛距日天最高二百二十五度日距月天最高一百三十五度月在最高辛距日二百二十五度与月高距日高共为四百五十度减全周余亦九十度此时二平均亦应加三分三十四秒二均亦应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行多四十分二十秒半比所推实行多三分三十二秒半又设月天最高在壬距日天最高三百一十五度日距月天最高四十五度月在最高壬距日三百一十五度与月高距日高共六百三十度减全周余二百七十度此时二平均应减三分三十四秒二均应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少三十八分五秒半比所推实行少一分一十七秒半若月天最高在癸距日天最高一百三十五度日距月天最高二百二十五度月在最高癸距日一百三十五度与月高距日高亦共为二百七十度此时二平均亦应减三分三十四秒二均亦应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少四十分二十秒半比所推实行少三分三十二秒半前测两距总数共九十度实行皆比所推为多后测两距总数共二百七十度实行皆比所推为少是知两距之总度半周内为加半周外为减两三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得一分七秒半别为末均以加小数减大数得二分二十五秒为两距共九十度与二百七十度之三均九十度为加二百七十度为减也
设日在最高丙月天最高在子距日天最高二十二度半日距月天最高三百三十七度半月在最高子距日二十二度半与月高距日高共为四十五度此时二平均应加二分三十一秒二均应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十七分一十八秒七微半比所推实行多一分一十七秒七微半若月天最高在丑距日天最高二百零二度半日距月天最高一百五十七度半月在最高丑距日二百零二度半与月高距日高共四百零五度减全周余亦四十五度此时二平均亦应加二分三十一秒二均亦应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十八分九秒五十二微半比所推实行多二分八秒五十二微半又设月天最高在寅距日天最高三百三十七度半日距月天最高二十二度半月在最高寅距日三百三十七度半与月高距日高共六百七十五度减全周余三百一十五度此时二平均应减二分三十一秒二均应减二十三分三十秒实行应比平行少二十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十七分一十八秒七微半比所推实行少一分一十七秒七微半若月天最高在卯距日天最高一百五十七度半日距月天最高二百零二度半月在最高卯距日一百五十七度半与月高距日高亦共为三百一十五度此时二平均亦应减二分三十一秒二均亦应减二十三分三十秒实行应比平行少一十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十八分九秒五十二微半比所推实行少二分八秒五十二微半前测两距总数共四十五度实行皆比所推为多后测两距总数共三百一十五度实行皆比所推为少是知两距总度半周内为加半周外为减为三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得二十五秒五十二微半别为末均以加小数减大数得一分四十三秒为两距共四十五度与三百一十五度之三均四十五度为加三百一十五度为减也
前测日月同度两高相距九十度三均差二分二十五秒【见求两心差第二条一平均第二条】两高同度日月相距九十度三均亦差二分二十五秒【见求两心差第三条一平均第一条】日月同度两高相距四十五度三均差一分四十三秒【见求二平均第二条】两高同度日月相距四十五度三均亦差一分四十三秒【见求二均第一条】今测两距共九十度三均亦差二分二十五秒两距共四十五度三均亦差一分四十三秒故知三均生于两距之总度而九十度之正与二分二十五秒之比同于四十五度之正与一分四十三秒之比故知逐度之三均以半径与总度之正为比例也前测月天最高在日天高卑前后四十五度月在朔望前后四十五度末均皆为一分七秒半月天最高在日天高卑前后二十二度半月在朔望前后二十二度半末均皆为二十五秒五十二微半可见月天最高距日天高卑前后之度等则其差亦等月距朔望前后之度等则其差亦等而独四十五度与二十二度半一分七秒半与二十五秒五十二微半无以为比例于是取月天最高距日天高卑前后九十度时按月距日逐度测之设日在最高丙正当交点月天最高在丁距日天最高后九十度月在最高丁距朔后九十度此时无一二三平均亦无初二三均然测太阴实行比平行少三分若月天最高在己距日天最高前九十度月在己距日二百七十度而距朔前九十度以测太阴实行则比平行多三分是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后九十度时末均为三分朔后为减望后为加又设日在最高丙月天最高在丁距日天最高后九十度月在庚距最高前六十度而在朔后三十度此时太阴初均应加四度一十分五十六秒二均应加二十八分四十七秒三均应加二分六秒实行应比平行多四度四十一分四十九秒然测太阴实行仅比平行多四度四十分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己距日天最高后二百七十度而距日天最高前九十度月在辛距最高前六十度距日二百一十度而距望后三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行则比平行多四度四十三分一十九秒比所推实行多一分三十秒又设日在最高丙月天最高在丁月在壬距最高后六十度距日一百五十度而距望前三十度此时初均应减四度一十分五十六秒二均应减二十八分四十七秒三均应减二分六秒实行应比平行少四度四十一分四十九秒然测太阴实行却比平行少四度四十三分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己月在癸距日三百三十度而距朔前三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行仅比平行少四度四十分一十九秒比所推实行多一分三十秒是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后三十度时末均为一分三十秒朔后为减望后为加又九十度之正一千万与三分之比同于三十度之正五百万与一分三十秒之比故知月距日逐度之末均以半径与月距日之正为比例也乃用此法各于月距日九十度时测得月天最高距日天高卑前后九十度最大末均为三分八十度最大末均为二分三十九秒七十度最大末均为二分一十九秒六十度最大末均为二分五十度最大末均为一分四十三秒四十度最大末均为一分二十八秒三十度最大末均为一分一十六秒二十度最大末均为一分七秒一十度最大末均为一分一秒月天最高与日天高卑同度无末均其间月高距日高逐度之差用中比例法求得月天最高距日天高卑前后四十五度之最大末均为一分三十五秒半以半径与月距日四十五度之正为比例得本时末均为一分七秒半又求得月天最高距日天高卑前后二十二度半之最大末均为一分九秒一十五微以半径与月距日二十二度半之正为比例得本时末均为二十六秒二十二微半与前测合
求交均及黄白大距
正交之行有迟疾由于黄白大距有大小上编言之详矣授时厯用古法黄白大距恒为六度【以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒】朔望两无异故无交均新法算书测定朔望时交角【即大距度】最小为四度五十八分三十秒两时交角最大为五度一十七分三十秒两距度之较为一十九分交均之最大者为一度四十六分零八秒自奈端噶西尼以来谓日在两交时交角最大为五度一十七分二十秒日距交九十度时交角最小为四度五十九分三十五秒两距度之较为一十七分四十五秒朔望而后交角又有加分因日距交与月距日之渐逺以渐而大至日距交九十度月距日亦九十度时加三分四十三秒交均之最大者为一度二十九分四十二秒皆与新法算书不同然厯家测黄白大距必于月距交九十度时夫月距交九十度而值朔望则日距交亦九十度是今之谓日距交九十度交角小犹与朔望交角小之义同也月距交九十度而值两则日必在两交是今之谓日在两交交角大犹与两交角大之义同也惟日在两交而又值朔望则交角关乎食分之浅深日距交九十度而又值两则加分关乎距纬之逺近是必验诸实测古今确有不同之处防稽经纬以成一家之言而非轻为改定也至其推算之法以五十九为边总五十六为边较求得黄极之角为交均以日距交月距日之余比例得加分与最小之交角相加为大距亦与新法算书不同则是作者务出新竒而又取其易于入算故近日西士皆从之称为新学今并悉其根源具详图説于左
如图甲为黄极乙丙丁为
黄道以最大距限【距限即大距度
因大距又有大小故名距限以别之】五度一
十七分二十秒与最小距
限四度五十九分三十五
秒相加折半得五度八分
二十七秒半为距限中数
以中数为半径作戊己庚
辛圏为白极绕黄极本轮
又以两距限相减折半得
八分五十二秒半为半径
作壬癸子丑圏为负白极
均轮均轮心循本轮周左
旋自戊向己每日三分有
余为正交行度白极循均
轮周右旋自壬向癸每日
二度四分有余为日距正
交之倍度如均轮心在戊
日在两交时白极在壬正
交在乙中交在丁寅丙弧
为最大距限五度一十七
分二十秒与壬甲弧等日
距交九十度时白极在子
正交亦在乙中交亦在丁
卯丙弧为最小距限四度
五十九分三十五秒与子
甲弧等惟此二时白极与
轮心同在一线故无交均
日厯两交而后白极从壬
向癸距限渐小交行渐迟
交均俱为加差日距交九
十度而后白极从子向丑
距限渐大交行渐疾交均
俱为减差【正交逆行故加为迟减为疾也】此即上编求交均大距之
法惟白极行日距正交之
倍度与月距日倍度不同
耳然用是以推交均则与
今表不合设日距交四十
五度白极自壬行九十度
至癸交均戊甲癸角当为
一度三十九分一秒今表
则为一度二十九分四十
秒其法以五十九为一率
五十六为二率日距正交之
正切线为三率求得四率为
正切线检表与日距正交相
减得交均盖弧线三角形之
小者可作直线算而甲戊癸
三角形知甲戊戊癸二边及
壬戊癸外角当用切线分外
角法日距正交之度即半外
角也则五十九必边总也五
十六必边较也以数推之戊
辰当为四百八十二秒半辰
癸当为五十秒用约分比例
甲戊一万八千五百零七秒
半为五十七分半则戊辰四
百八十二秒半为一分四九
九若以甲戊正八九六○
六六为五
十七分半则戊辰正二三
三九二为一分五○一折中
而取之为一分半故相加得
五十九分为边总相减得五
十六分为边较此其为立法
所自来断如矣然用是以求
大距则又与今表不合盖均
轮之内仍有一小轮试将壬
子均轮全径一千零六十五
秒五分之得二百一十三秒
除一百六十三秒为加分小
轮全径余五十秒即为交均
小轮全径与均轮全径相减
余一千零一十五秒为负小
轮全径小轮心循负小轮周
右旋行日距正交之倍度白
极自小轮
最逺防左旋行轮心之倍度
如日在两交无距度则小轮
心在己白极在壬无交均仍
以壬甲弧为距限也日距交
九十度则小轮心自己行一
百八十度至午白极自最逺
子行三百六十度仍至子无
交均仍以子甲为距限也如
日距交四十五度则小轮心
自己行九十度至未白极自
最逺癸行一百八十度至辰
戊甲辰角一度二十九分四
十秒为交均辰甲五度八分
三十四秒为距限也如日距
交三十度则小轮心自己行
六十度至申白极自最逺酉
行一百二
十度至戌戊甲戌角一度
一十六分三十七秒为交
均【表多二秒】戌甲五度一十二
分五十八秒为距限也【先用
戊酉斗三角形求得酉斗邉七分四十一秒一六斗
戊邉四分二十六秒二五则斗甲为五度一十二分
五十三秒七五次求得酉戌通四十三秒三○与
酉斗相减余六分五十七秒八六为斗戌邉然后用
斗甲戌直角形求甲角及甲戌邉余仿此】如日
距交六十度则小轮心自
巳行一百二十度至亥白
极自最逺亢行二百四十
度至氐戊甲氐角一度一
十八分五十秒为交均【表少
九秒】氐甲五度四分六秒为
距限也如此则交均距限
理数皆极精宻而推算则
属繁难且交均用小轮与
去一小轮全径作小均轮
其角度相去不逺【见前】距限
用与用股其邉度亦相
去不逺【见后】故戊癸均轮
半径五百三十二秒半减
癸辰小轮全径五十秒余
戊辰四百八十二秒半作
小均轮半径则甲戊与戊
辰之比常如五十七分半
与一分半之比用切线分
外角法即得逐度之交均
以半径一千万为一率日
距正交倍度之正矢为二
率【过九十度则用大矢】仍以均轮壬
戊半径五百三十二秒半
为三率【酉斗癸戊亢牛等线皆为均轮正
壬斗壬戊壬牛等线皆为均轮正矢故仍以均轮半
径为比例】求得四率为距交减
分【如壬斗壬戊壬牛之类】与壬甲最
大距限五度一十七分二
十秒相减即得逐度之距
限也【斗甲为五度一十二分五十四秒比戊甲
少四秒戊甲为五度八分二十八秒比辰甲少六秒
牛甲为五度四分一秒比氐甲少五秒故日相去不
逺】然此又惟朔望为然朔
望而后交角又有加分因
日距交与月距日之渐逺
以渐而大至日距交九十
度月距日亦九十度时交
角比朔望大二分四十三
秒盖白道之上又有小轮
其周之下点与白道相切
日距交渐逺其径渐大至
日距交九十度时最大全
径为二分四十三秒其逐
度之小轮全径与最大小
轮日距正交倍度之正矢
等是为距交加差朔望而
后白道以渐而张与白道
小轮月距日倍度之正矢
等【凡正矢过九十度俱用大矢后仿此】是为
距日加分如白极在壬无
日距交度则无白道小轮
即无距交加差如白极在
子日距交倍度为一百八
十度则白道小轮女卯全
径为二分四十三秒即距
交加差【一百八十度之大矢即全径故小轮
全径最大】设两时月距日倍
度为一百八十度则白道
自卯张至女女卯小轮全
径即为距日加分【一百八十度之
大矢即全径故交角加分即与小轮全径等】与
卯丙距限相加【卯丙与子甲等】得
女丙为黄白大距设月距
日倍度为六十度则白道
张至危以半径一千万为
一率六十度之正矢五百
万为二率【半径与余相减为正矢】小
轮半径一分二十一秒半
为三率求得四率危卯四
十一秒为距日加分与卯
丙距限相加得危丙为黄
白大距又如白极在辰日
距交倍度为九十度则白
道小轮干坎全径一分二
十一秒半为女卯最大小
轮全径之一半是为距交
加差【九十度之正矢与半径等故白道小轮全
径与最大小轮半径等】设月距日倍
度为一百二十度则白道
张至艮以半径一千万为
一率一百二十度之大矢
一千五百万为二率【半径与余
相加为大矢】小轮半径四十秒
七五为三率求得四率坎
艮一分一秒为距日加分
与坎震距限相加【坎震与辰甲等】得艮震为黄白大距其数
悉与今表相合而表之立
算则不用距交减分而总
用加分其法以半径一千
万为一率日距正交倍度
之余为二率壬戊均轮
半径八分五十二秒半为
三率求得四率如斗戊与
戊牛之类日距正交倍度
九十度以内者与戊子半
径相加得数如斗子之类
日距正交倍度九十度以
外者与戊子半径相减得数
如牛子之类是为距交加分
盖前以壬斗壬牛等类之距
交减分与壬甲最大距限相
减此以斗子牛子等类之距
交加分与子甲最小距限相
加其得数同也至求距日加
分则又用两加差为比例先
以半径一千万为一率日距
正交倍度之正矢为二率最
大加分二分四十三秒折半
得一分二十一秒半为三率
求得四率为距交加差次以
半径一千万为一率月距日
倍度之正矢为二率仍以最
大加分之半数一分二十一
秒半为三
率求得四率为距日加差
乃以最大加分二分四十
三秒为一率距交加差为
二率距日加差为三率求
得四率为距日加分盖距
交加差即白道小轮全径
用其半径与月距日倍度
之正矢为比例即得距日
加分今距日加差与距交
加差同列一表仍以最大
加分为全径立算则其所
得距日加差乃差之最大
者故以最大加分【即最大小轮全
径也】与距交加差之比【即本时小
轮全径也】同于最大距日加差
【最大小轮全径所生】与本时距日加
分之比也【本时小轮全径所生】以距
日加分与距交加分相加
为交角加分与最小距限
相加即为黄白大距盖以
距交加分加于最小距限
与以距交减分减于最大
距限其得数旣同而得距
限之后再加距日加分与
先以距日加分与距交加
分相加而后加于最小距
限其得数亦同也论法则
用交角减分为明列表则
用交角加分为便故推月
离之法则两载之实并行
而不相悖也
地半径差
太阴地半径差以太阴距地平及距地心之逺近为大小上编言之详矣顾旧法高卑距地心有定数而推距地平逐度之视差则皆用三角形立表易而推算难故自五十三倍地半径至六十二倍地半径列为十表今法高卑距地心无定数太阴之自行虽同度而距地心之逺近常不同至推距地平逐度之视差则即以距天顶之正与地平最大差为比例【见本编日躔地半径差篇】立表难而推算易故以最大两心差与最小两心差各求太阴自高至卑逐度之地平最大差合为一表若两心差在大小之间者则用中比例求之【法见本表】其求太阴自高至卑逐度地平最大差之法则先求得两心差最大时最高距地心一○六六七八二○为六十三倍地半径又百分之七十七最卑距地心九三三二一八○为五十五倍地半径又百分之七十九两心差最小时最高距地心一○四三三一九○为六十二倍地半径又百分之三十七最卑距地心九五六六八一○为五十七倍地半径又百分之一十九中距距地心一千万为五十九倍地半径又百分之七十八【测算之法并同上编】依法求得太阴自高至卑逐度距地心线与地半径之比例及地平最大差列为表因其为推交食之用故表入交食焉
御制厯象考成后编卷二
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>
钦定四库全书