婺源江永撰

正弧三角疏义

目録

【分支列目随其所欲求者因目以检后题】

第一支

有正角有余角有对正角之边而求两边一角

【凡正弧三角钤记甲为正角乙为余角丙为交角乙丙为对正角之边丙甲为对余角之边乙甲为对交角之边】

求对余角之边【第一题】

求对交角之边【第二题】

求交角【第三题】

第二支

有正角有余角有对余角之边而求两边一角

求对正角之边【第四题】

求对交角之邉【第五题】

求交角【第六题】

第三支

有正角有交角有对正角之边而求两邉一角

求对交角之邉【第七题】

求对余角之邉【第八题】

求余角【第九题】

第四支

有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角

求对正角之邉【第十题】

求对余角之邉【第十一题】

求余角【第十二题】

第五支

有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角

求对正角之邉【第十三题】

求余角【第十四题】

求交角【第十五题】

第六支

有正角余角夹一边而求两边一角

求对正角之边【第十六题】

求对余角之邉【第十七题】

求交角【第十八题】

第七支

有正角交角夹一邉而求两邉一角

求对正角之邉【第十九题】

求对交角之邉【第二十题】

求余角【第二十一题】

第八支

有正角有对正角交角之邉而求一邉两角

求对余角之邉【第二十二题】

求交角【第二十三题】

求余角【第二十四题】

第九支

有正角有对正角余角之邉而求一邉两角

求对交角之邉【第二十五题】

求余角【第二十六题】

求交角【第二十七题】

第十支

有三角求三邉

求对正角之邉【第二十八题】

求对余角之邉【第二十九题】

求对交角之邉【第三十题】

已上正法已具

第十一支

不用正角以余角交角二邉相对相求

余角交角偕对余角之邉求对交角之邉【第三十一题】交角余角偕对交角之邉求对余角之邉【第三十二题】对余角交角之邉偕余角求交角【第三十三题】

对交角余角之邉偕交角求余角【第三十四题】

正弧三角形

甲为正角　乙为余角　丙为交角

圆内全形图及解义详后

分题举法

第一支【有正角有余角有对正角之边求两边一角】

第一题

有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径【即甲角正后仿此】与乙角正若乙丙正与丙甲正【凡首举者为一率言与者为二率言若者为三率后言与者为四率凡数以二率三率相乘为实以一率为法除之而得第四率为所求之数凡二率可易为三三率可易为二凡半径为全数在首率者升位可省除在中间者升位可者乘后仿此】

第二题

有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲边法曰半径与乙角余若乙丙正切与乙甲正切

第三题

有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求丙角

法曰半径与乙角正切若乙丙余与丙角余切第二支【有正角有余角有对余角之邉而求两邉一角】

第四题

有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求对甲角乙丙邉法曰乙角正与半径若丙甲正与乙丙正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余割若丙甲正与乙丙正

第五题

有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求对丙角乙甲邉法曰乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余切若丙甲正切与乙甲正

第六题

有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求丙角

法曰丙甲余与半径若乙角余与丙角正第三支【有正角有交角有对正角之邉而求两邉一角】

第七题

有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲邉法曰半径与丙角正若乙丙正与乙甲正

第八题

有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径与丙角余若乙丙正切与丙甲正切

第九题

有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求乙角

法曰乙丙余与半径若丙角余切与乙角正切【首率易半径则次率易乙丙正割】

第四支【有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角】

第十题

有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对甲角乙丙邉法曰丙角正与半径若乙甲正与乙丙正若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余割若乙甲正与乙丙正

第十一题

有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对乙角丙甲邉法曰丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余切若乙甲正切与丙甲正

第十二题

有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对乙角

法曰乙甲余与半径若丙角余与乙角正【首率易半径则次率易乙甲正割】

第五支【有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角】

第十三题

有甲角有乙甲邉丙甲邉求对甲角乙丙邉

法曰半径与丙甲余若乙甲余与乙丙余

第十四题

有甲角有乙甲邉丙甲邉求乙角

法曰乙甲正与半径若丙甲正切与乙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲余割若丙甲正切与乙角正切

第十五题

有甲角有乙甲邉丙甲邉求丙角

法曰丙甲正与半径若乙甲正切与丙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲余割若乙甲正切与丙角正切

第六支【有正角余角夹一邉而求两邉一角】

第十六题

有甲角有乙角有乙甲邉求对甲角乙丙邉

法曰乙角余与半径若乙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角正割若乙甲正切与乙丙正切

第十七题

有甲角有乙角有乙甲邉求对乙角丙甲邉

法曰半径与乙角正切若乙甲正与丙甲正切

第十八题

有甲角有乙角有乙甲邉求丙角

法曰半径与乙角正若乙甲余与丙角余第七支【有正角交角夹一邉而求两邉一角】

第十九题

有甲角有丙角有丙甲邉求对甲角乙丙邉

法曰丙角余与半径若丙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角正割若丙甲正切与乙丙正切

第二十题

有甲角有丙角有丙甲邉求对丙角乙甲邉

法曰半径与丙角正切若丙甲正与乙甲正切

第二十一题

有甲角有丙角有丙甲邉求乙角

法曰半径与丙角正若丙甲余与乙角余第八支【有正角有对正角交角之邉而求一邉两角】

第二十二题

有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙甲邉

法曰乙甲余与半径若乙丙余与丙甲余若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲正割若乙丙余与丙甲余

第二十三题

有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙角

法曰乙丙正与半径若乙甲正与丙角正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若乙甲正与丙角正

第二十四题

有甲角有乙丙邉乙甲邉求乙角

法曰乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若乙甲正切与乙角余

第九支【有正角有对正角余角之邉而求一邉两角】

第二十五题

有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙甲邉

法曰丙甲余与半径若乙丙余与乙甲余若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲正割若乙丙余与乙甲余

第二十六题

有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙角

法曰乙丙正与半径若丙甲正与乙角正若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若丙甲正与乙角正

第二十七题

有甲角有乙丙邉丙甲邉丙甲邉求丙角

法曰乙丙正切与半径若丙甲正切与丙角余若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若丙甲正切与丙角余

第十支【有三角求三邉】

第二十八题

有甲角乙角丙角求乙丙邉

法曰乙角正切与半径若丙角余切与乙丙余【首率易半径则次率易乙角余切】

第二十九题

有甲角乙角丙角求丙甲角

法曰丙角正与半径若乙角余与丙甲余【首率易半径则次率易丙角余割】

第三十题

有甲角乙角丙角求乙甲邉

法曰乙角正与半径若丙角余与乙甲余【首率易半径则次率易乙角余割】

已上皆有甲角半径者正法已具其不用甲角者别为一支四题如左

第十一支【不用正角以余角交角二邉相对相求】

第三十一题

有乙角丙角丙甲邉求乙甲邉

法曰乙角正与丙甲正若丙角正与乙甲正

第三十二题

有丙角乙角乙甲邉求丙甲邉

法曰丙角正与乙甲正若乙角正与丙甲正

第三十三题

有乙角有丙甲乙甲邉求丙角

法曰丙甲正与乙角正若乙甲正与丙角正

第三十四题

有丙角有乙甲丙甲邉求乙角

法曰乙甲正与丙角正若丙甲正与乙角正平圆正三角图

天上随处皆可作弧三角此姑

以黄赤道图之己辛癸丁圆为

极至交圈己为北极辛乙丁为

赤道庚为黄极壬乙戊为黄道

壬为冬至乙为春秋分戊为夏

至丙者设太阳所在己丙甲者

从北极出线过太阳抵赤道为过极圈之一象限【九十度】乙丙者太阳行过春分之经度乙甲赤道同升度丙甲距纬度戊丁者乙角之度也【凡角度皆在九十度之圆周上春分至夏至黄赤皆足九十度故戊丁为乙角度此角度为黄赤道距纬古今不同古时不止二十三度半今度不及二十三度半姑以二十三度半算之可也】庚己者黄极距北极之度亦与戊丁同度也甲为正角【即直角】其正满半径故即以半径为甲角此甲乙丙形即前图之湾曲形因侧视故黄赤道成直线稍转即成湾曲矣

此图又有次形丙戊者黄道乙丙之余弧甲丁者乙甲赤道之余弧己丙者丙甲距纬之余弧己戊者乙角丁戊之余弧而甲丁弧又为己角之度是次形又有己戊丙之三角形戊为正角同甲角丙为交角同丙角己为余角似乙角也本形有不能以正比例者则以次形易之而别法生焉

正弧形弧角相易又次形图

甲乙丙正弧三角形既易为己丙戊次形又易为己庚子形

图之己丙戊形即前图之己丙戊形

丁与庚亦前图之丁及庚此引丙戊

线至丑引丙己线至子皆满象限作

丑子弧引之至庚与戊己庚弧会则

戊庚丑庚亦皆一象限成己子庚形与甲乙丙形相当子为正角同甲角己为交角似丙角庚为余角似乙角也○乙丙邉易为庚角【乙戊及丙丑皆象限内减同用之丙戊则戊丑即乙丙而戊丑即庚角之弧】乙甲邉易为己角【乙甲之余度丁甲即己交角之弧】是又次形之两角即元形之两邉也乙角易为己庚邉【前设乙甲丁戊为黄赤距度则己庚者黄极赤极距度故二邉相等】丙角易为子庚邉【丙交角之弧丑子其余弧为子庚】是又次形之两邉即元形之两角而子己即丙甲子角即甲角于是次形有不能比例者易为又次形而别法又生焉

续数学卷一