钦定四库全书
厯算全书卷四十八
宣城梅文鼎撰
句股阐微卷三
句股法解几何原本之根
句股羃与羃相等图
甲乙丙句股形 乙辛大方为羃 羃内兼有句股二羃
论曰试于羃作对角之乙
子线与甲丙股平行而等又
作丙丁对角线与甲乙句平
行与乙子线遇于子成十字
正角则丙子与甲乙句相等
成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙
丁癸庚壬磬折形末引丁癸
至巳截成大小二方形则丙
巳方形即股幂癸壬小方即
句幂也
若先有丙巳股幂癸壬句幂
则联为磬折形而移乙壬庚
句股补于丙丁辛之位移甲乙丙句股补于癸庚辛之位即复成乙辛大方而为幂
又法
甲乙丙句股形 乙丙 其幂乙戊丁丙
甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字线分幂为两长方【一为丑子丁丙】凖股幂【一为丑子戊乙】凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角
次移甲丑丙句股补巳子丁虚形又移巳壬甲句股补丁辛丙虚形即成股幂而与丑子丁丙长方等积又移甲丑乙句股补己子戊虚形再移己卯戊句股补戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形即成句幂而与丑子戊乙等积
解几何二卷第五题 第六题
甲丙为 丁丙为句
丁甲句和 乙丁句
较【丁甲同丁壬甲癸并同】
庚辛戊己幂也 己句
幂也 戊庚辛较乗和之
长方幂也
移戊补戊移庚辛补庚辛而幂内净多一己形即句幂也故幂内有和较相乗之长方又有句幂也论曰凡大小方形相减则其余必为两形边和较相乗之长方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句较乗句和之长方也合之成戊庚辛巳形即自乗之大方矣
几何二卷第五题以倍为甲乙原线以甲丙为平分之线以甲丁和乙丁较为任分之两线以丁丙句为分内线其理一也
第六题以子丁倍句为原线以丁丙句为平分线以句较乙丁【即子甲】为引増线以丁甲句和为全线其理亦同
以数明之 甲丙八 丁丙句五 乙丁较三 丁甲和十三 和较相乗三十九 句自乗二十五 以句幂加和较长方共六十四与甲丙幂等
又论曰用股和较亦同
解几何二卷第七题
甲丁股幂【即甲乙元线上方】子戊
句幂【即甲乙方内所作已辛方乃任分线甲丙
上方也】并之成癸寅幂【即所
谓两直角方形并也】
幂内有戊甲股【即甲乙原线】戊癸句【即任分之甲丙线】相乗长
方形二【即己甲长方及丁辛长方亦即甲乙偕甲丙矩形二也】及句股较乙丙上方一【即壬丙小方亦即所谓分余线上方也】
何以明之曰试于戊癸线引长至丑令丑癸如已丁较【即乙丙】遂作子丑小长方【与丁庚等】以益亥癸成亥丑长方【与丁辛等亦与已甲等】
次于癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四线皆与甲乙股等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四线皆与戊癸句等又自有未卯卯酉等句股较与乙丙较等 即显
幂内有句股形四较幂一也
试于鼏内移午辰寅句股补癸戊甲之位成戊卯长方【与己甲等】又移癸未午句股补甲戌寅之位成戌酉长方【与亥丑等】而较幂未酉小方元与壬丙等又子丑小长方元与丁庚等
合而观之岂非丁甲股幂及子戊句幂并即与己甲亥丑两长方及壬丙小方等积乎
解几何二卷第八题
庚甲乙句股形 取丁乙如
庚甲句则丁甲为句股和
和之幂为丁己大方【即元线甲乙偕
初分线上直角方也】于大方周线取戊
丑己子皆与庚甲句等即丑
丁戊子己庚皆与甲乙股等【即甲乙元线也句线则初分线】
次作丑癸庚辛乙壬子卯四线皆与外周四股线平行而等
自有丑壬子癸庚卯乙辛四线皆与外周四句线平行而等
又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股较线自相等【即分余线也】丁已和幂内有长方形四皆句乗股之积【即元线偕初分线矩内形四也】又有句股较自乗幂一即分余线上方形也
解几何二卷第九题
甲丙为股 丁丙为句
丁甲句股和 乙丁句股
较 壬庚为句幂 辛丙
为股幂 丑丁较幂 丁
癸和幂 戊巳线上方为
句幂之倍 戊甲上方为
斜线上方倍于元方图 股幂之倍并和较幂倍大于句幂股幂之并古法倍幂内减句股和幂开方得较若减较幂亦开方得和即其理也
论曰己丁较上方与丁
甲和上方并之即己甲
上方也戊巳线上方与
戊甲线上方并亦即巳
甲上方也 而戊巳为句幂斜线戊甲为股幂斜线凡斜线上方形倍于原方故较幂并和幂亦倍大于句幂股幂之并也而句幂股幂并之即幂古人所以用倍幂也
此第十题与前题同法 甲
丙即句 丁丙即股 丁甲
全线即和 丁乙引増线即
较
准前论丁庚【即丁乙】较上方幂与丁甲和上方幂并成庚甲线上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股【即巳戊亦即己庚】及丙甲句二幂【己壬为股幂辛丙为句幂】之倍数【庚戊为股斜线其幂必倍于股幂戊甲为句斜线其幂必倍于句幂】故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂
丙丙线皆也丙丙方幂
也甲丙之长者皆股也【亦即丙丁
丁】甲丙之短者皆句也【亦即丙丁】丁丁线句股较也丁丁小方
较幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也
丁甲长方皆句股相乗即倍句股形积也
合而观之则幂内有句股积四及较幂一也和幂内有句股积八及较幂一也 若倍幂则有句股积八及较幂二也故以和幂减倍幂得较幂 若以较幂减之亦得和幂矣
以句股法解理分中末线之根
即几何二卷第十一题 六卷第三十题四卷第十第十一题
古法句较 癸庚 其鼏庚乙 丙癸
乘句和开 句 其鼏丙戊
方得股之图 引庚甲至壬使甲壬如丙
癸句则庚壬为句和丙庚
原为句较 以较乗和成
丙壬长方 长方内截甲丁
小长方与戊辛等 其余庚辛
合而观之是鼏内兼有句较乗和之积及句鼏也
夫鼏内原有句股二鼏而今以句较乗和之积可代股鼏是句较乗和即同股鼏也
句和及股 用法
及句较为 有句和 有句较
连比例图 求股法以较乗和开方得股
或有股有句和求句求
法以股自乗为实以句
和除之得较以较减和
半之得句句加较得若
先有较以除股鼏亦得和矣
如图 丙戊丁句股形 丙丁与丁乙等【亦与丁庚等】丁戊句 亥戊为倍句 乙戊为句较与庚亥等戊庚为句和与亥乙等
亥巳为句股和乗句较之
积与戊癸等
丙戊股 其方鼏甲丙
准前论甲丙方与亥巳长方
等积【戊癸亦同】则庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较也一 句和 庚戊
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句较 戊乙
以戊乙较减亥乙和余亥戊倍句折半为句【丁戊或丁亥】或戊乙较与丙戊股若丙戊股与庚戊和也
一 句股较 戊乙
二 股 丙戊
三 股 丙戊
四 句股和 庚戊
又论曰以二图合观之凡倍句加句较即句和以倍句减句和余即句较
此不论句小股大如前图或句大股小如后图并同此可以明倍句与句较必为句和之两分线故以句和为全线则其内兼有倍句及句较之两线矣但倍句有时而大于较有时而小于较故不能自为
连比例而必借股以通之
今于句和全线内取倍句如股则先以股线为和较之中率者今以如股之倍句当之而倍句原系句和全线之大分于是和与倍句之比例若倍句与较亦即为全与大分若大分与小分此理分中末线所由出也下文详之
丙戊线上取理分中末线
先以丙戊线命为股 以丙戊折半成丁戊命为句取丙丁与丁乙等则戊乙为句较
变股为倍句成 亥戊倍句与丙戊股等 以理分中末线图 加较成亥乙即句和
亥巳为和较相乗积与丙亥
股鼏等【丙亥为丙戊股之方即为亥戊倍句之方】准前论亥乙和与丙戊股
若丙戊股与戊乙较
今亥戊即丙戊则又为亥乙
和与亥戊倍句若亥戊倍句与戊乙较也
夫亥乙者全线也亥戊其大分戊乙其小分也合之则是全线与其大分若大分与其小分
论曰此以丙戊股线为理分中末之大分而求得其全线亥乙与其小分戊乙也而大分与小分之比例原若
理分中末线 全线与大分故即可以丙戊
比例图 大分为全线而以小分戊子
【即戊乙也】为大分则子丙自为小
分矣
以亥乙为全线【亥戊大分即丙戊亦即乙】
【甲 戊乙小分即戊子】
亥乙与乙甲【即亥戊大分】若亥戊与子戊也【即亥戊与戊乙】
理分中末线 此用亥乙甲大句股比亥戊
相生不穷图 子小句股
若丙戊为全线
则又戊子为大分【亦即子巳】子丙
为小分【亦即巳甲】为亥戊与戊子
【即丙戊与戊子】若子巳与巳甲也【即子戊与子丙】
此用亥戊子大句股比子巳甲小句股
亥戊与戊乙若戊子与子丙又相视之理也
又若子巳为全线
则子庚又为大分 庚巳又为小分
其法但于大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方则戊子【即子巳】与子丙若子庚与庚巳
似此推之可至无穷
解几何三卷第二十七题
甲乙丙句股形 以乙丙句
折半于巳 作已戊线与股
平行平分甲丙于戊 又
作戊庚线与句平行平分甲
乙股于庚成巳庚长方此即半句乗半股为句股积之半也
凡句股形内依正角作长方惟此为大 若于形内别作长方皆小【皆不及句股半积也】
今仍作卯丁形则小于巳庚何以知之曰试作丑戊线与丙巳半句平行而等又作丑丙线与戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即显壬丑形与壬巳形等又乙辰原与巳寅等则以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦与卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以较已庚半积方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作长方于丙戊界内者皆小于巳庚半积形也
又作子癸形则亦小于巳庚何以知之曰试作戊乙对角线引之至酉即显癸未形与卯未形等即卯丁形与子癸形亦等而其小于巳庚形为所缺之戊未小方亦等矣 准此言之即凡作长方于甲戊界内者皆小于巳庚半积形也
又知句股内容方之积亦皆小于半积惟句股相等如半方者容方即为半积
论曰此磬折形依线而成葢即几何所谓有阙依形也所阙之小方午辰及戊未皆与丑巳形相似而体势等以有线为之对角也然以句股解之殊简
又论曰若壬角在线上去戊角更逺则所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而体势等辛角亦然
解几何三卷三十五题
甲丙乙句股形 以
甲乙为半径作员
则甲丙股为正
丙乙句为余
己丙矢为句较丁
丙大矢为句和
依句股法 较乗和开方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊与巳丙乗丁丙等积也
几何三卷第三十五题言员内两线相交则其各分之线相乗等积即此理也
巳丁过员心线
有庚壬斜线相交
于丙【分丙巳及丙丁又丙庚及
丙壬】皆分为两法自
员心乙作十字线
至辛平分庚壬为两【辛庚辛壬】皆斜线之半
辛庚半线内又分辛丙为小线
以辛丙减辛庚余庚丙为较以辛丙加辛壬成丙壬为和
以大小二方相较之理言之庚辛方内有庚丙较乗丙壬和之积及辛丙方
乙辛庚句股形以乙庚为幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之积及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙为则乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙为幂内兼有甲丙及乙丙二方 此两者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又与乙丙方等则各减等率而其所余之庚丙乗丙壬积亦必与甲丙方等矣
而已丙乗丙丁原与甲丙方等则巳丙乗丙丁亦必与庚丙乗丙壬等矣
辛戊线 庚壬线
相交于丙则戊丙
乗丙辛与庚丙乗
丙壬亦等
何以知之曰试作
一丁巳过心线与
两线交于丙凖前论戊丙乗丙辛之积及庚丙乗丙壬之积皆能与丁丙乗乙丙之积等则亦必自相等矣
丁巳员径 有
庚壬斜线相交
于丙则庚丙乗
丙壬与巳丙乗
丙丁等
如法作乙辛及
乙庚线成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛句减庚辛句余庚丙为较 以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊为和【即丙壬】
又以乙丙【即乙子亦即乙癸】减庚乙余子庚为较 又两相加成庚癸为和【即子丑】以庚子较乗庚癸和与庚丙较乗丙壬和之积必等【详后条】而巳丙即庚子丙丁即子丑【亦即庚癸】故巳丙乗丙丁与庚丙乗丙壬亦等
又大小方相减之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之积及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之积及乙丙方也【乙丙即乙子】
而同庚乙之甲乙幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙两积内各减去乙丙方则所存者一为庚丙乗丙壬之积一为甲丙自乗积此所余两积亦必相同可知矣
又巳丙乗丙丁之积原与甲丙方等则亦与庚丙乗丙壬等矣
先解两方相减
寅辛大方内减子巳小方【寅辰为两方边之较卯辰为两方之和即子辛】法以小方边【乙子】为度于大方边截取【乙长乙戊】作辰午线及
戊未线成辰戊
小方与巳子等
为减去之积其
余为寅午长方
【即二方较线寅长乗大方邉之
积】及未辛长方
【即较线午未乗小方邉之积】
末取未辛长方移补丑卯之位成卯寅长方【即较乗和之积】又庚甲大方内减己癸小方【丁辛为两方较已辛为两方和亦即辛丙】如法作丁壬癸戌二线减去丁癸小方与已癸等其余辛壬壬癸两长方又移癸壬为丙壬成丁丙长方即较乗和之积也
凖此论之凡大小二方相减其所余者必皆为较乗和之积
次解两句股形相减 凡两句股同髙即可相加减【谓股数同也】
乙庚辛句股内减乙庚丁句股 则以丁庚句减辛庚句余【辛丁】为两句之较 又以同【丁庚】之巳庚句加辛庚句成辛已为两句之和 和乗较成丁丙长方
又以乙丁减辛乙余辛戊为两之较 又两相加成辛子为两之和【戊乙子乙并同丁乙】 和乗较成卯寅长方
此两长方者其积必等【无论乙为正角或钝角或鋭角并同】
何以明其然也曰依句股法乙辛上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方减乙辛上方则各所兼之乙庚方巳相同而减尽故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之数也
又所用者是两分之乙庚辛句股及乙庚已句股【即乙庚丁】故不论乙角锐钝其法悉同也
解几何三卷三十六三十七题
甲乙丙句股形 以丙乙
句为半径作员 则甲丙
股为切线 甲乙为割
线
甲乙割线内减丁乙半径
则甲丁为句较 甲乙割线加戊乙半径成甲戊为句和 和较相乗平方开之得甲丙股
几何三卷第三十六题三十七题之理葢出于此若割员线不过乙心 如甲庚 则以他句股明之法自乙心向割员线作乙巳为十字正交线则割线之
在员内者平分为两【子巳巳庚】并为员内线子庚之半
又作乙子半径成子巳乙
小句股则子乙小上方
幂兼有子巳小股乙巳小
句两幂又甲庚总线既分于巳则甲巳大线内减子巳小线其余甲子在员外者为较 以小线巳庚加大线甲巳成甲庚总为和
凡大小二方相较则大方内兼有较乗和及小方之积
则是甲巳幂内必兼有甲
子乗甲庚之长方及子巳
方也
又甲巳乙亦句股形其甲
乙内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方与乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方与甲子成甲寅之长方而成甲乙方也
又甲丙乙句股形 同以甲乙为原合丙乙方与甲丙方而成甲乙方
两形之甲乙方内各去其相等之丙乙方则其余积一为甲子乗甲寅之长方一为甲丙自乗方是二者不得不等矣
用法
凡测平员形 既得甲丙切线 自乗为实 以甲丁之距为法除之得甲戊之距以甲丁距减之得丁戊员径
若欲测庚物之在员周者亦以甲丙切线自乗为实以甲子为法除之即得甲庚之距
又法用两句股相加减
甲乙丙句股形 以乙丙句为半径作员 又以甲乙为半径作外员 自外员任取甲防作过心员径至戊 又任作一不过心斜线入内员至庚 则以两员
间距线乗其全线皆与
股幂等而亦自相等
如以甲丁乗甲戊或甲
壬乗甲庚其积皆等又
皆与甲丙切线上方幂等
法以两句股相加减
先自乙心作乙辛十字正线平分壬庚线于辛成乙辛甲句股
又作乙壬乙庚二线成乙辛壬小句股与乙辛庚等法以辛壬与甲辛相减余甲壬为两句之较
又相加成甲庚全线为两句之和则以甲壬乗甲庚为句之较乗和也
又以乙壬与甲乙相减余甲丁为两之较
亦相加成甲戊全线为两之和则以甲丁乗甲戊为之较乗和也
此句与之和较相乗两积必等
而甲丁乗甲戊原与甲丙自乗等【以甲丙乙句股言之也】故三积俱等
凖此论之凡自甲防任作多线入内员其法并同 不但此也但于外员周任作线入内员亦同如于丑作丑戊线则丑卯乗丑戊亦与甲丙幂等
何以知之曰试于丑作丑寅过心线即诸数并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅犹甲壬寅之于甲丁戊故也
简法
庚壬斜线交丁巳员径于
丙 如法作乙辛线 成
乙辛庚句股形及乙辛丙
小句股形
又以丙辛小句与辛庚大句相减得庚戊较又相加成庚丙和
再以乙丙小【即乙癸亦即乙子】与庚乙大相减得子庚较又相加成癸庚和
依大小两句股相加减法庚戊较乗庚丙和与子庚较乗庚癸和同积
而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚则壬丙乗庚丙亦必与巳丙乗丁丙同积矣
又简法
壬庚线斜交已丁员径于丙 依法作乙辛又作乙壬线 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前
今自庚别作一过乙心线如
庚戊则乙辛庚与乙辛壬成
相同之两句股即显壬丙为
大小两句之较而丙庚为其
和
又显戊癸为两之较而与巳丙等则巳丙亦较也又癸庚为两之和而与丙丁等则丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚较乗和也已丙乗丙丁亦较乗和也而其积必等
厯算全书卷四十八