钦定四库全书
厯算全书卷四十三
宣城梅文鼎撰
方程论卷四
刋误
古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬相仍如金在沙淘之汰之沙尽而金以出故刋误次之方程之误厥有数端
一曰立负之误【立负误也四色五色期于立负以为法误之误也自骡马逓借一问诸书沿讹而加减之误因之矣】
一曰加减之误
同加异减一误也【误沿于牛羊豕相易之一问由不知正负之有更也】
竒减偶加二误也【误沿于桃梨问价以不知和较之交变也】
一曰法实之误【以上为法下为实拘也以法必少实必多亦谬也】
一曰倂分母之误
一曰设问之误【如井不知深而以除法为井深问中先已大误】
立负辨
立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不言正非正负之本防也或曰有正则有负则言负可不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数而尽者亦有减其和数而余者其减而尽者命为适足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣若减而余者是有较数也而但言负不言正何以知其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以空位也但减余分在两行而兼用之即变较数矣今必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进退失据矣故曰非古人法也
凡言正负者分其物以相较也不言正负者合其物以言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫不知正负之出于自然而强立之负则同异之防淆而加减之用失种种谬误縁之以生故谨为之辨今以诸书所载立负例攷定如左
假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马骡驴力各几何
畣曰马力二石四斗 骡力一石八斗 驴力六斗
法各以和数列位【马借骡一则一马一驴也骡借驴一则二骡一驴也驴借马一则三驴一马也各以其本数加借数而列之干方程法则和数而已】
此三色有空法也中行无马原只二色故不湏乗减但先以左右两行首位不空者对乗 又因两行马数皆一乗皆如故故径以对减马减尽 右骡一左驴三皆无对不减 米各四石二斗亦对减而尽乃视减余骡一在右行驴三在左行分在两行是有正负也 米亦减尽是正负适足也重列之
论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽则不可也减尽者同类之物而其数又同故物与数俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而变为二色矣此逓减立法之意也
又论曰减余适足则有正负矣其原列只是和数无正负也诸书以逓借一匹之故而列之曰借又别其本数曰正不知正与负对非与借对也虽逓借一匹其实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和数逮减余乃变为较耳故减余适足宜言正负也而诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉
次以中行原数与减余对列 因中行马空故径求也
此和较杂也 减余分正负 中行原无正负
以减余骡负一遍乗中行如故【较乗和也数虽如故但皆以乗法之名名之为负】又以中行骡二遍乗减余得数【和乗较也故仍其正负之名】骡同减尽 驴异并得七为法 四石二斗无减就为实 法除实得六斗为一驴之力 三因驴力得一石八斗为一骡之力【适足故也】以骡力一石八斗减四石二斗余二石四斗为一马之力【原右行数】
论曰减余原是骡一与驴三力等乗后得数则骡二与驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二斗而驴力可知也 驴三与骡一既等则三驴之所载即骡力也 骡与马各一共四石二斗则减骡力即马力也
又论曰此因中行有空故径求也使其不空自当与左行或右行遍乗而减去其马与其数乃列两减余如二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减余之二色相对故径相乗减是省一算也诸书皆言因左行骡空故立负骡一与中行对乗不知左行骡空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减也其与中行相对乃用此两色之减余非独用左行也盖左行有马中行无马原无对乗之理亦犹之右与中不可对乗惟减余是二色可以对乗虽云径求实自然之理势也而强立之负以用左行乎
有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指则负为徒立矣
凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数耶则皆无一合矣
凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶负耶若无正负即是和数不应立负骡矣
若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适足故误至此也
又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而误以所用之减余为是左行之原数故也
凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡以为马一减去故不用则四石二斗何既减而复存耶故以立负骡减马一为用减余之法则四石二斗不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负骡不宜立破两法而叅用之一不成矣承譌者迁就多岐抑奚足怪
今试以减余更置则先得骡力如后图
如前法以一和一较遍乗得数 驴同名减尽 骡异并得七为法 正十二石六斗无减就为实 实如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡之力得六斗为驴力【任于原列左行或右行如法减驴力或骡力得马力】
论曰凡减余重列之数皆可更置互求何则皆实数也三色减去一色即二色法矣若干减余之适足加以四石二斗则不可以互求故知其误
又试以原列更置之先减去骡如后图
如法先以右中遍乗 骡减尽 中行驴一 右行马二皆无减分正负列之 载米余四石二斗在右行与马同名 左行骡空故径与减余相对 依和较杂法乗之 驴同减尽马异并七为法 载米异倂十六石八斗为实 法除实得二石四斗为马力以马力减四石二斗余一石八斗得骡力 以马
力倍之同减四石二斗余六斗得驴力
试又更之如后图
如前法先以右中两行遍乗减去驴余马一骡六皆无减分正负载米余八石四斗在右与骡同名乃重列之如前法径与左行相对遍乗 马同减尽骡异并七为法 载米异并十二石六斗为实实
如法而一得骡力以次得驴马力皆如前
论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位径求之法求之无所不合也
又试以原列无空而减余适足者为例如后
假如有三车三槖驼七牛各欲载物六十四石而皆不能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各一则皆能载问三者力若干
畣曰车二十四石 槖驼十二石 牛四石
法以和数列位
如法乗 车皆减尽 甲乙两行减余皆在乙行和数也 乙丙相减余乙驼二丙牛六是有正负也载物减尽适足也【乙丙载物减尽则不但对减去之物适相当而其减余之驼二牛六其力亦适相当也虽欲不命之适足不可得矣】
乃以和较杂重列之
依一和一较法求得牛三十二为法 载物一百二十八石为实 法除实得四石为牛力 牛六共力二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力以牛力驼力减六十四石余四十八石车二除之得二十四石为车力【用右行原数】
论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而立之负乎可以悟其非矣
试更以较数求之
假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载与四牛车二十四马载之则余三十六石以八牛车所载与二象十二马载之亦余三十六石以七十八马所载与二象二牛车载之亦余三十六石问各若干畣曰象七十二石 牛车二十七石 马三石
法以较数列位
如法互乗减并重列其余【中行每加二分一则首位象与右齐同可对减矣其中左象本同径以对减皆省算法也】
依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石为马力 马九十载二百七十石牛车十除之得二十七石为牛车力 合计牛车四马二十四共载一百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石为象力【用右行原数】
论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则先无适足减之而成适足者往往有之矣
惟适足故分正负非以空位而立负也故知减余之亦有适足而复用左行者非矣知用减余而非用左行则立负之非不攻而破矣
同加异减辨
同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而异减忽而异加者忽而同加岂不谬哉又为之説曰以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加又为之説曰同名相乗则其下同减而异并异名相乗则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁就其法同加异减矣苟知其变则首位必同名首位既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必纷纷强为之説乎
凡减余重列有仍其负正如故者亦有更其正负絶非其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定则加减皆舛矣
假如同减之余分在两行而为同名【或左余正右亦余正或左余负右亦余负】则重列必为异名矣必变其一行之名而列之而其下所余数必是此二异名物之较数也若无余数必是此二异名物相当适足也【此以三色言之若四色以上减余位数多者皆仿此论之】
若同减之余分在两行而为异名【或左余正而右余负或左余负而右余正】则重列必为同名矣而其下所余数必是此二同名物之和数也【此亦以三色言之其减余只二色故也】则其原列正负之名皆不用矣
若异倂者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定其名【或为正或为负或变和数则无正负】若但守初名而不知所变将一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知正负之交变出于自然非强名也【不知正负之变亦不知和较之变矣故又有竒减偶加之误也】
今以诸书所载同加异减例考定如左
假如以牛二羊五作价易猪十三剰价五两以牛一猪一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价各若干
畣曰牛价六两 羊价二两五钱 猪价一两五钱
列所问数
先以右行牛正二遍乗中左两行得数【中右首位同名故正负不变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多】
次以中行牛正一遍乗右行皆得原数 乃以中右两得数对减 牛各正二同名减尽 羊异名【右正五中负六】并得十一猪异名【右负十三中正二】并得十五 价无减【右正五两中适足】仍得五两 于是分正负以价与羊为同名而重列之【羊右正中负猪右负中正故仍为较数价与羊同为正于右行故仍为同名】次以左行牛负五遍乗右行得数【左行既变以从右则右行不变仍其正负】乃以左右两得数对减 牛各正十同名减尽羊异名【右正廿五左负十二】并得三十七 猪同名【右负六十五左负一十六】减余四十九【在右】 价同名减【右正二十五两左正六两】余十九两【亦在右】 于是亦分正负亦以价与羊同名而重列之 羊与余猪原分正负于右故仍为较数价与羊同为正于右故同名
列两减余
如法以两正羊遍乗得数 乃对减 羊同减尽猪同减余十六为法 价同减余二十四两为实法除实得一两五钱为猪价 以猪十五价二十二两五钱异加正价五两【共二十七两五钱】羊十一除之得二两五钱为羊价 任于原列中行羊三价七两五钱内减猪价一两五钱余六两为牛价
论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负孰为同名耳若乗后得数则其首列一位必以同名而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故同异加减必以乗后得数而定也如此所列左右行先为一正一负异名之价而乗后得数必为同名之价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价与羊于右同名而于左异名也
试更列之于后
上 中上 中下 下
如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减 羊同减皆尽 右中牛异并三十七 猪异并一百十八 价异并四十五两【价与牛同名】中左牛同减余九猪异并三十 价九两无减【与牛同名】
乃以两减余各分正负而重列之
如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从 牛同减尽 猪同减余四十八为法 价同减余七十二两为实 法除实得猪价以次得牛羊价合问 试又更之
如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减 猪同减皆尽右中羊异并一百十八【右负中正】 牛同减余四十九【余负在中】 价同减余一两【余负在右】 分正负【以价与羊同名】 左中羊异并三十【中正而左负】 牛异并十三【中负左正】 价三两无减【中之负数】亦分正负【以价与牛同名】 皆重列之
如法互乗羊同减尽牛同减余六十四两为法价异并三百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价
论曰反覆求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快竒减偶加辨
方程立法只同名相减异名相加尽之【和数有减无并皆同名也较数有减有倂或同名或异名也和较交变故减并相生】不论二色三色四色乃至多色皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有竒减偶加之形不得其觧遂执为四色之定法而不知通变使方程一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故覼缕辨之今将梨一问考定如后
假如有二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴四桃七共价三十文一桃八共二十四文问各价几何畣曰八文 梨六文 榴四文 桃二文
法以和数列位 依四色有空以省算法求之
惟甲丁两行有如四色故先以相乗 减尽甲梨四丁桃十六皆无减 价余八文 分正负【梨甲桃丁故也】以价与桃同名【同在丁行故也】 减尽矣而余行皆无则只三色故径以减余之数与乙行相对
如法互乗 梨同减尽 榴二十八【左正】桃三十二【右负】皆无减价异并一百七十六文【右负左正】
隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负又以余行无梨则只二色径以减余与丙行列之【于后】
如法乗减榴减尽余桃六十八为法价一百三十六文为实法除实得桃价二文 以丙行桃七价十四文减共三十文余十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文 以乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨二除之得梨价六文 以甲行梨四共二十四文减共四十文除十六文悉价也二除之得价八文
论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次减余价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也【桃十六价三十二文梨四价二十四文差八文】何以知之余数分在两行也【桃十六在丁行梨四在甲行】何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所用分正负者是甲丁两行之减余非但以丁行空位而立负也又因乙丙位皆空故用此减余径与乙行相对是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减余较也乙行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也
若第二次减余则复是和数何也其相并一百七十六文乃桃榴之共价【桃三十二价六十四文榴二十八价一百十二文共此数】而非其较数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分余于两行而异名然隔行之异名乃同名也【乙行榴正价亦正减余桃负价亦负兼而用之变为同名矣】至于立负之非此尤易见盖既变和数无正负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨亦空故径用减余与之对减是又省一算非以丁行对丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减余变和丙行相对是两和也故有减而无并也而岂以竒行之故而减也乎哉 今试以甲丁之行易之则加减全非矣
如法以甲丁行对乗减尽 桃十六【甲】梨四【丁】皆无减 价相减余八文【甲】 乃分正负以价与桃同名而重列之与乙行相对
如法乗 桃同减尽 榴六十四【左正】梨二十八【右负】皆无减 价同减余四百二十四文 依前论隔行之异名即同名也不分正负而重列之与丙行相对
如法减榴 余梨六十八为法 四百○八文为实法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前
论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见竒减偶加之非通法矣 又试以上下之位而更之
如法以甲丁先乗减去梨尽 余榴二十八【甲】四【丁】皆无减 价相减余八十文【甲】依前论分正负以价与榴同名而重列之与乙行相对
如法乗减榴尽 余桃一百九十六【左正】一十六【右负】皆无减 价相减余五百二十文【左正】依前论复变和数不分正负而径与丙行重列之
如法减桃 余六十八为法 价五百四十四文为实 法除实得价八文以次得诸物价皆如前
论曰此亦有同减无异加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁减余更置之则亦有异并之用如后图
论曰此下价何以倂异名故也何以异名凡一和一较方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位异名者与和价亦异名也
先用丙行何也以有故可与余相减亦可见行次之非定也 理之不定乃其一定凡事尽然泥一端以定之转不定矣
又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行
如法减桃 余榴六十八为法 价二百七十二文为实 法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前
论曰兼此数端知加减非闗行数矣
统宗歌曰四色方程实可夸湏存末位作根芽若遇竒行湏减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之加减至其所以加减者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒数也则价与末行减二行四行偶数也则价与末行加而不言同异名将竒行者皆同名乎偶行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行逓空两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也【省算卷辨之极详可以互发】既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗减惟末行首行相对可以互乗非用末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末行为主得乎
至于第二次重列而乗减者乃用首行末行相减之余也非専用末行也葢两行相减乃生余数若谓之用末行亦可云用首行矣
又因各行多空故径以减余与次行乗减得数又径以减余与三行乗减乃省算之法于末行毫不相渉也
且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安有竒偶之可言乎而以是为加减之定法乎
然则恶乎定曰详和较以列减余别同异以定加减苟其和数也虽空无减不立正负也苟其较数也虽无空位分正负也此列减余之法也但同名者不论何行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也如是而已
法实辨
算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸算尽然则方程可知矣算海説详曰中余为法除下实盖本统宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也故必于问者之所求详之中下多少非可执也
假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也
又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是也其物多除银少者则有退除为钱若分厘故曰多少难拘也
多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问意详之而已 今具例如后
论曰方程法实只是以下一位与上中数位相湏为用耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用互乗之法以减之及其用也则只是一法一实而已二色者互乗而对减其一则一法一实也三色者对减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法悉同此方程立法之原也
问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日若干尺
畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺
如法乗减 余城工五万四千尺为实 工一千○八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一工余十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河工每日之数
论曰此以下除中也縁所问每工一日土若干尺以工求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实反矣
若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每城工一尺之数以所问每千尺乗之得二十工是为城工每千尺用工二十日也 若用异同除则以土千尺乗一千○八十工得一百○八万工为实以法五万四千尺除之得二十工为城工每千尺之数亦同
于是以二十工乗八百尺【用右行原列】千尺除之得十六工减负一工余十五工河工九百尺数也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数也以问千尺乗之得十六工又三分工之二为河工千尺之数 用异乗同除以千尺乗十五工得一万五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之二亦同
问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲计土续工则每百尺得几工
畣曰开渠每土一百尺【二工半】筑堡每土一百尺二工
如法乗减 余堡工八十为实 土四千尺为法法除实得每尺百分工之二以百尺乗之得二工为筑堡每百尺之工【或异乗同除以百尺乗八十工得八千为实以法四千尺除之亦得每百工二工】 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以减共三千二百尺余一千二百尺渠土数也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半为开渠每百尺之工【或异乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百尺除之亦得每百尺二工半】
论曰此亦以下法除中实也縁所问以土求工故也又为以多除少盖土之数原多于工也故退除而得其分秒而所问者每百故又有异乗同除之用也并分母辨
自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载方程御襍法是也有实非方程法而列于方程如同文算指所収菽麦畦工诸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如并分母之法是也诸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母
问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙则各足二千石
畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石
原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相减余二千石为实并两分母共五为法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千石余八百石以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖
论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合
依带分化整为零法列位
如法乗减 甲减尽 余乙五分为法 余二千石为实 法除实得四百石为乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙窖 以乙之一分减二千石余一千六百石为甲窖
论曰此亦用五分为法也然为得数相减之余非并分母也所用之实亦二千石然为甲分互乗之数相减非甲乙两分母互乗相减也
亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列于上故先减去甲而余乙为法以先得乙之分若列乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖
如法乗减 乙减尽 甲余五分为法 余四千石为实 法除实得八百石为甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖
以甲之一分减二千石余一千二百石为乙窖
论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而对减者皆实数也若并分母为法则无实数可言故不可以互求
愚于带分言之备矣或化整为零【如上所列二例是也】或变零从整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并分母为法则多所不通矣 凡此皆诸书沿误而同文算指亦皆收入未尝驳正也
试以分母非三与二者求之
假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之一益股则皆二丈二尺问句股各若干
畣曰句一丈八尺 股一丈六尺
依化整法列位
上 中 下
如法乗减 余股十一分为法 四丈四尺为实法除实得四尺为股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺为股
以股之一分减共二丈二尺余一丈八尺为句
论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法也如并分母将以七为法其能合乎
又试以分子非之一者求之
假如有股与不知数但云若取六分之二以益股则五丈五尺若取股三分之二以当则少五丈五尺问若干
畣曰股三丈 七丈五尺
法以一和一较依化整法列位
如法互乗 股同名减尽 异名并得二十二分为法 数异名并得二十七丈五尺为实 法除实得一丈二尺五寸为之一分以分母六乗其一分得七丈五尺为 以之二分二丈五尺减共五丈五尺余三丈为股
论曰此以二十二为法也若以列于上则亦二十二为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫厘千里乎
以上数则皆不可并分母为法
问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之一与乙三之一等各若干
畣曰甲八百石 乙一千二百石
法以和较襍列位亦用化整为零
徧乗甲同减尽 乙异并五分为法 二千石无减为实 法除实为乙之一分 以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙仓 因适足故乙之一分犹甲之一分也以甲分母二乗之得八百石为甲仓
论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异名者也又按并母法与方程不同
假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数若干
畣曰原数二千四百石
法以两母互乗其子而并之得五为法 以两母相乗得六以乗二千石得一万二千石为实 法除实得二千四百石为原仓之粟
论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并两分母互乗其子之数也盖既曰三分二分其原数必可以三分之又二分之者也故以两分母相乗得六借为原数之衰原数六则三之一即二也二之一即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必二千四百石矣此通分法非方程
设问之误辨
算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算理而臆见横生又相因而必至也故以设问为之目
今将同文算指所载井不知深例考定如后余如此者尚多不能一一为辨也【钱塘吴信民九章比类亦载是例非同文创立也盖方程之沿误久矣】
问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉其井深若干五等绳各若干
原法曰列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一为井深积列位
一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○负一 ○负一 ○负一 戊六 七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗
先以一行甲二遍乗五甲【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】
五行甲一亦遍乗一行对减【甲得二减尽乙得一因五行乙空立负一积七七百二十一本数以减五行仍余七百二十一】
次以二行乙三乗五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】
五行乙负一亦乗二行【乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积共二千八百八十四】
再以三行丙四乗五行【丙负一得四戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六】
五行丙负一亦乗三行【丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行对减余一万○八百一十五】
又以四行丁五乗五行【丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万○八百一十五得五万四千○七十五】
五行丁负一亦乗四行【丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千○七十五共五万四千七百九十六】
乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得丁绳一丈二尺九寸以减三行积【七百二十一后同】余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行积余五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除之得甲绳二丈六尺五寸
论曰此一例中有数误 一者以末行为主而以一二三四与之相乗此由不知和较交变而沿竒减偶加之失误一 一者谓末行有空故立负由不知有空径求而沿立负之非误二 一者以除法命为井深而设问不明言丈尺误三 又辄立母逓相乗加借子一之法误四 一例中误至数端将令学者何所措意乎
前之两误【谓以未行为主而竒减偶加反立负之法】业于梨诸例辨之綦详可以互见今特明后两误之非具如后论
凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬然其为七百二十一者不殊也先不明言尺寸虽得数何以命之
详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乗减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二十一之虚率而不能防其为丈尺何等亦固然耳
七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一千四百四十二若三其七百二十一则二千一百六十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分丁绳必二尺五寸八分丙绳必二尺九寸六分乙绳必三尺八寸二分甲绳必五尺三寸矣使其井为二十一丈六尺三寸之深则戊绳二丈二尺八寸丁绳三丈八尺七寸丙绳四丈四尺四寸乙绳五丈七尺三寸甲绳七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三则偕丙一若丙四则偕丁一若丁五则偕戊一若戊六则偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率也
七百二十一者除法也以此为法除井深乗并之数而得一绳因以知各绳即不得以此命为井深
除法法也井深实也而以法为实乎
以七百二十一为除法乃绳也如所求先得戊绳之数则此七百二十一者即是戊绳也其五万四千七百九十六者乃七百二十一戊绳之共数也以戊绳七百二十一为法除其共数而得七十六则是一戊绳之数也故七百二十一者绳也五万四千七百九十六者井深也【假如一井深七丈二尺一寸则七十六井共深五百四十七丈九尺六寸井无此深乗并而有也数犹戊绳之七百二十一亦以乗并而得也】而顾以绳之积为井深之积乎
假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其为戊绳之共数必一百○九丈五尺九寸二分而其戊绳亦必七百二十一以七百二十一为法除一百○九丈五尺九寸二分得一尺五寸二分则一戊绳之数矣故曰七百二十一者非井深也乃除法也绳也绳之为除法者有定而其所除之井深无定也
又辄立母子乗并之法夫以各绳为母而借绳为子未大失也盖于三绳中取一即是三之一于四绳取一亦即四之一也乃谓七百二十一为母相乗而加借子则非也盖位既迭空除首位减去外皆母与相乗乗子与相乗而不相遇至第四次乃相遇而又适当其变为一和一较之时异名相并故得此数以为除法耳固不得立此以为通法也
假如问五色方程而各行不空则和较之变多端岂预知其减并即使各行有空如所列而或为较数则有减而无并亦将以借子加之乎
又所加之一乃子相乗之数若遇借子为之二之三则皆不能径用其原借之子数也故曰非通法也今试以井深一丈四尺四寸二分者举例如后
假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等绳汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及泉问绳各长若干
法以带分和数列位
上上 上下 中上 中下 下上 下下
依空位省算先以一行与五行对乗 甲减尽 乙一戊十二皆无对不减 和数余一丈四尺四寸二分 乙在首行 戊与一丈四尺四寸二分在五行分正负列之 和变较也 余行无甲绳不湏减
径以减余与次行相对
依和较相襍法互乗 乙绳同减尽 丙一【左正】戊三十六【右负】皆无减 和较数异并五丈七尺六寸八分【右负左正】 复变和数不分正负【隔行异名并故也】
依和数乗 丙绳减尽 丁绳一【左】戊绳一百四十四【右】皆无减 和数减余二十一丈六尺三寸【右】又复变和数也分正负列之
余行又无丙绳径以减余与第四行相对
上 中 下
依和较相襍乗 丁同减尽 戊异并七百二十一为法 和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为实 法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一 以
减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺八寸四分为丙绳 四除丙绳得二尺九寸六分为丙绳四之一以减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺四寸六
分为乙绳 三除之得三尺八寸二分为乙绳三之一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸为甲绳 二除之得五尺三寸爲甲绳二之一 以减共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲戊绳
计开
论曰此亦七百二十一为除法也减并之用与前无异而井深既别绳数迥殊不先言丈尺何以定之试又以较数明之
今有数不知总其五人所分亦不知各数但云取乙三之一以当甲取丙四之一以当乙取丁五之一以当丙取戊六之一以当丁取甲二之一以当戊皆不足七百一十九问若干
畣曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六
法以较数列位
依带分法化整爲零
如法乗 甲同减尽 乙一【左负】戊十二【右负】皆无减同名在隔行仍分正负 较数异并与戊同名 余行无甲径以减余对第三行
如法乗 乙同减尽 丙一【左负】戊三十六【右负】皆无减以隔行同名分正负 较数异并与戊同名 余
行无乙径以减余对第四行
如法乗 丙同减尽 丁一【左负】戊一百四十四【右负】皆无减 以隔行同名分正负 较数异并仍与戊同名 余行无丙径以减余对末行
如法乗 丁同减尽 戊同减余七百一十九为法较数异并一十四万八千一百一十四为实 法
除实得二百○五为戊之一分加正七百一十九共九百二十五为丁数 五除丁数得一百八十五为丁之一分加正七百一十九共九百○四为丙数四除丙数得二百二十六为丙之一分加正七百一十九共九百四十五为乙数 三除乙数得三百一十五为乙之一分加正七百一十九共一千○三十四为甲数 二除甲数得五百一十七加负七百一十九共一千二百三十六为戊数 六除戊数仍得二百○六为戊之一分
计开
论曰此其母与母相乗子与子相乗与前略同但末后相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一十九为法无他较数也若依母相乗而并子岂不误哉
且四次乗减其下较皆异倂亦足见竒减偶并之非又以法同而得数迥异者明之
今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若干
法以和较带分列位 化整为零
甲同减尽 乙一【左负】戊一十二【右正】皆无减 一千四百四十一亦无减 隔行异名即同名也变为和数重列之与次行对
乙同减尽 丙一【左负】戊三十六【右正】四千三百二十六【右正】皆无减 皆隔行异名亦变和数重列与第三行对
丙同减尽 丁一【左负】戊三十六【右正】一万七千三百○四【右正】皆无减隔行异名仍变和数重列与第四行对
丁同减尽 戊异并七百二十一为法 八万六千五百二十无减就为实 法除实得一百二十为戊六之一即丁数 五除之得二十四为丁五之一即丙数 四除之得六为丙四之一即乙数 三除之得二为乙三之一即甲数 半之得一为甲二之一以减共七百二十一余七百二十为戊数
计开
甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎
又试以分子逓借而非之一者明之
今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四则各能载问各船若干
法以和数列位
列后
甲减尽 乙四【右】丁一百【左】皆无减 以两行故分正负 载盐余五万九千八百五十六【左】与丁同名甲空与减余对次行
乙同减尽 丙八【左正】丁一千【右负】俱无减 引异并六十三万八千四百六十四【右负左正】异名在隔行复变和数无正负 乙空以减余对三行
丙减尽 丁余九千九百七十六为法 引余六百三十万○四千八百三十二为实 法除实得六百三十二引为丁船数 以丙借丁船三乗丁数得一千八百九十六以减共九千九百七十六引余八千○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙船数 以乙借丙船二乗丙数得一千六百一十六以减共九千九百七十六引余八千三百六十乙所载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数以乙船数减共九千九百七十六余九千一百四十甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数计开各船每只载数
甲船九百一十四引
乙船八百三十六引
丙船八百○八引
丁船六百三十二引
论曰此四色方程逓借法与诸书所载马骡载米同亦与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又误立各母逓乗加借子法故设此问以显其理
此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七十六引而倍之则各船之所载亦倍矣以引数半之船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引数何知之
共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐列位者问者现据之实数数虽偶同为用逈别
以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也谓母相乗而加借子一则非法也如此所用除法九千九百七十六何以处之又如后条马歩舟师各借二分者又何以处之数虽似不可施之他数非通法矣
又试以三色例亦用异加得除法者观之
假如有马歩舟师不知数但云取骑兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆得六千七百八十名
畣曰歩卒四千五百名 骑兵五千七百名
舟师三千七百八十名
法以和数带分列位
依省笇以左行加二分之一 步卒减尽 骑二分【右】舟师十分○半【左】皆无减 共数减余三千三百九十【左】分余两行变较数也 以较数与舟师同名中行步卒原空径以减余作二色列之
依省算四因左行而退位 骑同减尽 舟师异并十一分三厘为法 和较数异并六千一百○二为实 法除实得五百四十为舟师之一分 以分母七乗之得三千七百八十名为舟师数
以舟师数减共数六千七百八十余三千所借步卒之二分也 二除之分母三乗之得四千五百为歩卒数
以歩卒数减共数六千七百八十余二千二百八十所借骑兵之二分也 二除之分母五乗之得五千七百名为骑兵数
论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也
厯算全书卷四十三