钦定四库全书

厯算全书卷九

宣城梅文鼎撰

环中黍尺卷一之二

总论

有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未有以处也环中黍尺之法则可以三边求角【如有黄赤两纬度可求其经】可以径求对角之边【如有黄道经纬可径求赤道之纬】立术超妙而取径遥深非专书备论难谙厥故矣书成于康熈庚辰非一时之笔故与举要各自为首尾

凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是以测浑圆则衡缩欹衺环应无穷殆不翅累黍定尺也本书命名盖取诸此

用八线至弧度而竒然理本平实以八线量弧度至用矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷之先数后数所为直探其根以发其藏也

平仪以视法变浑为平而可算者亦可量即眎度皆实度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法也【黍尺名书于兹益着】

矢度之用已详首卷而余之用亦可参观故又有三卷之初数次数也　初数次数本用乗除亦可以加减代之故有加减法以疏厥义【自三卷以后非非一时所撰今以类相附而仍各为之卷】

四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乗除此以加减则繁简殊矣

五卷之法亦加减也而特为省径故称防焉【用初数不用次数用矢度不用余以视甲乙数又省其半】然不可不知其变故又有补遗之术也

恒星厯指之法别成规式而以加减法相提而论固异名而同实是以命之又法也

【以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也甲乙数也捷法也又法也本书中具此六术然而加减捷法其尤为善之善者欤】

外有不系三边求角之正用并可通之以加减之法者是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用斯博并附数则于五卷之末以发其例

弧三角用平仪正形之理

作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之【如置身大员之表以观大员】则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平面而悉为正形于是测望之法步算之源皆不烦笺疏而解

平仪用实度之理

斜视之图无实度可纪【弧角之形聊足相拟其实度非算不知】兹者平仪既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为一术【以横径查角度以距纬查弧度并详二卷】

平仪用矢线之理

八线中有矢他用甚稀乃若三边求角则矢线之用为多而又特为简易信古人以弧矢测浑员其法不易然亦惟平仪正形能着其理【下文详之】

矢线之用有二

一矢线为角度之限　钝角用大矢　鋭角用小矢【小矢即正矢也从半径言之为正矢从全径言之为小矢】法曰置角度于平仪之周则平员全径为角线所分而一为小矢一为大矢【平仪横径即浑员之腰围故大矢即钝角度小矢即鋭角度】

如图浑球上甲戊甲丁甲丙三小弧与甲已同度故同用甲已为正矢丁乙戊乙丙乙三过弧与已乙同度故同用已乙为大矢

一矢较为弧度之差　大弧用大矢【弧度过象限为大弧故大矢亦大于半径】小弧用小矢【弧度不及象限为小弧故正矢小于半径】较弧与对弧并同法曰置较弧对弧于员周【角旁两弧之较为较弧亦曰存弧对角之弧为对弧亦曰底弧】则各有矢线而同轴可得其差谓之两矢较也较弧对弧并小则为两正矢之较【两弧俱象限以下故俱用正矢】较弧小对弧大为正矢大矢之较【较弧在象限以下用正矢对弧过象限用大矢】

较弧对弧并大为两大矢之较【两弧俱过象限故俱用大矢】

凡较弧必小于对弧则较弧矢亦小于对弧矢故无以较弧大矢较对弧正矢之事法所以恒用加也【若较弧用大矢则对弧必更大】

如图丑乙弧之正矢辛乙【庚乙寅乙

二弧同用】子乙弧之正矢壬乙【癸乙夘乙

同用】则辛壬为两矢之较即为【癸乙

寅乙】两弧度之较也【或丑乙与子乙或庚乙与

癸乙或寅乙与卯乙并同】　又如戊乙弧之

大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较得较已辛或子乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较得较巳壬皆大矢与正矢较也　又如甲丑弧之大矢辛甲与甲夘弧之大矢壬甲相较得较辛壬则两大矢较也约法

凡求对角之弧并以角之矢为比例【钝角用大矢鋭角用正矢】求得两矢较【半径方一率正矩一率角之矢三率两矢较四率】以加较弧之矢【较弧大用大矢较弧小用正矢】得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小【遇象限】加不满半径为小矢其对弧小【不过象限】此不论角之鋭钝边之同异通为一法

凡三边求角并以两矢较为比例求角之矢【半径方一率余割矩二率两矢较三率角之矢四率】得数大于半径为大矢其角则钝得数小于半径为正矢其角则鋭亦不论边之同异通为一法

问用矢用余异乎曰矢余相待而成者也可以矢算者亦可用余立算但加减尚须详审若矢线则一例用加尤为简妙

先数后数法

【此以平仪弧角正形解浑球上斜弧三角用矢度矢较为比例之根也】

【先得数者正上距等圈矢也与角之矢相比后得数者而矢较也与较弧矢相加】

设丙乙丁斜三角形　有乙鋭角　有丙乙弧小于象

限丁乙弧大于象限【是为角旁

之两弧不同类】　求丁丙为对角

之弧　用较弧【角旁两弧相减】及

对弧两正矢之较为加差

法以大小两边各引长之

满半周遇于戊作戊甲乙

圜径　又于圜径折半处【巳】命为浑圜心　又自己心作横半径【如巳寅辛】则寅辛即乙角之弧亦即为乙角之矢【平视之为矢度实即角度之弧跻缩而成】而寅已即乙角之余弧亦即为乙角余【因视法能令余弧跻缩成余】　又自丁作横半径【巳辛】之平行线【如壬丁甲】此平行线即乙丁大边之正【因平视故乙丁小于乙壬其实乙丁弧之度与乙壬同大今壬甲既为戊壬及乙壬之正亦即为乙丁之正矣】而此正【壬甲】又即为距等圈之半径也【想戊巳乙为半浑圜之中剖国面侧立形乃自壬丁甲横切之则壬甲为其横切之半径】则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧之矢线矣【有距等圈半径即有其弧】而此大小两矢线各与其半径之比例皆等【己辛大圜之半径大故寅辛矢亦大甲壬距等圈之半径小故壬丁矢亦小然其度皆乙角故比例一也距等虽用戊角而戊角即乙角有两弧线限之故也】法为已辛与甲壬若寅辛与壬丁

一率　半径已辛

二率　【大弧正】壬甲【卯距等圈之半径】

三率　【乙角矢】寅辛

四率　【先得数】壬丁【即距等圏之正矢】

次从丙向已心作丙巳半径此线为加减之主线【以较弧对弧俱用为半径而生矢度】　又从壬作壬夘为壬丙较弧之正【壬乙既同丁乙则丁乙弧之大于丙乙其较为壬丙】　又从丁作癸丁午线为丁丙对弧之正【因平视故丁丙弧小于癸丙其实丁丙弧与癸丙同大癸午既为癸丙正亦即丁丙之正矣】因两正平行又同抵巳丙半径为十字正方角故比例生焉此立算之根本　又从丁作丁子线与午夘平行而等【以有对弧较弧两正为之限也】成壬丁子句股形又从丙作丙辰线为乙丙小边之正成已丙辰句股形　此大小两句股形相似【巳丙辰与卯已奎小形相似则亦与壬丁子形相似等角等势故也】法为丙已与辰丙若壬丁与丁子

一率　半径丙已　

二率　【小弧正】辰丙　股

三率　【先得数】壬丁　小

四率　【两矢较】丁子　小股

省算法用合理

【因上两宗内各冇先得数而一为三率一为四率故对去不用】

乃以后得数为矢较加较弧矢【以午夘加夘丙也】成对弧矢【午丙】末以对弧矢【午丙】减半径【巳丙】成对弧余【午已】检表得对弧【丁丙】之度

又法　以后得数减较弧余【以午夘减夘已】成对弧余【午己】检表得对弧【丁丙】度亦同【两正矢之较即两余较也故加之得矢者减之即得余】

若先有三边而求乙钝角则反用其率【因前四率反之以首率为次率三率为四率】

以乙角矢【寅辛】减半径【辛巳】得余【寅巳】检表得乙角之度右锐角以二边求对边及三边求角并以两矢较为加差【以差加较弧矢得对弧大三边求角则为三率】亦为两余较【依又法以差减较弧余为对弧余三边求角则两余弧相减为三率】　角旁弧异类对边小

设亥乙丁斜弧三角形　有乙钝角　有亥乙小弧丁乙大弧　求亥丁【对角弧】　用较弧正矢与对弧大矢之较为加差

戊乙径为取角度之

根亢寅角度及房甲

与亥虚两正皆依

之以立

大矢即钝角之弧度

小矢即鋭角之弧度

亥斗径为加减之根

房氐及危心两正

依之以立　有两正即有两余及大小矢而加减之用生焉

法以大小两边各引长之满半周遇于戊　又依小边半周【乙亥戊】补其余半周【戊辛乙】成全圆　又从戊至乙作圆径　又作亢辛横径两径相交于已即圆心　则寅辛为乙角之小矢而寅亢为乙角之大矢【寅已亢即乙钝角之弧度平视之成大矢】　若自寅点作直线与戊乙平行取距戊乙之度加象限即角度　又从丁作房丁壬横线与亢辛横径平行此线即丁乙大邉正之倍数【房丁壬与亢辛平行则房乙即丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙之正亦即丁乙正也房甲既为正房壬则倍正矣倍正即通】而此【房壬】倍正又即为距等圏之全径【想全体浑圆从壬丁房横切之成距等圈而房壬其全径】则房丁分线亦即为距等圏上丁甲房弧之大矢【有距等圈全径即有其全圏而房甲丁其切弧】而此两大矢线各与其全径之比例皆等【亢辛全径大故寅亢大矢亦大房壬距等圏之全径小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大矢亦各与其全径之比例等】即各与其半径之比例亦等【若以甲为心壬为界作半圆于房壬线上则距等之弧度见矣】法为亢辛【全径】与房壬【距等全径即倍正】若寅亢【钝角大矢】与房丁【先得数亦距等大矢】而亢已【半径】与房甲【乙丁正亦距等半径】亦若寅亢与房丁

一率　亢巳【半径】

二率　房甲【大邉之正亦距等半径】

三率　寅亢【钝角大矢】

四率　房丁【先得数亦距等大矢】

次从亥过巳心作亥已斗全径为加减主线【较弧对弧之俱过此全径而生大小矢】　又从房作房氐线为房亥较弧之正【准前论房乙同丁乙则丁乙之大于亥乙其较房亥】　又从丁作心丁娄线与房氐正平行而交亥斗径于危如十字则此线为亥丁对弧之倍正【因视法心亥弧大于亥丁其实即亥丁也亥丁为平视跻缩之形心亥为正形而心危者心亥弧之正也是即亥丁弧之正而心丁娄其倍矣】　又从丁作丁女线与斗亥径平行亦引房氐较弧之正为通而与丁女线遇于女成丁女房句股形　又从亥作亥虚线与亢辛横径及大边之正房甲俱平行成亥虚已句股形　此大小两句股形相似【亥巳即径线与丁女平行亥虚与房甲丁平行则大形之丁角与小形之亥角等而女与虚并正角则为等角而相似】法为已亥【半径】与亥虚【小边正】若房丁【先得数而距等大矢】与丁女【后得数亦即氐危为较弧正矢氐亥及对弧大矢危亥之较】

一率　半径已亥　

二率　【小边正】亥虚　句

三率　【先得数】房丁　大

四率　【后得数】丁女　大句

乃以省算法平之

乃以后得数加较弧正矢【以氐危加氐亥成危亥】为对弧大矢内减半径得对弧余检表得度以减半周为对弧之度又法于后得数内减去较弧余成对弧余【于氐危内减氐巳其余危巳即对弧余】乃以余检表得度以减半周为对弧之度　大矢与小矢之较即两余并也内减去一余即得一余矣观图自明　前用鋭角是于较余内减得数为对弧余此用钝角是于得数内减较弧余为对弧余

若有三边而求角度者则反用其率

一半径上方　　　　一两正矩　　半径上方

二两正矩　　　　二半径上方　　两余割相乗矩三钝角大矢寅亢　　三两余并氐危【即较弧正矢与对弧大矢之较】四两余并丁女【即氏危】四钝角大矢寅亢

乃于所得大矢内减去半径成余以余检表得度用减半周为钝角之度

右钝角求对边及三边求钝角并用两矢之较为加差【以差加较弧正矢得对弧大矢又为三边求角之三率】亦为两余并【依又法减较弧余得对弧余三边求角即并两余为三率】　其钝角旁两弧异类对弧大

设丁辛乙斜弧三角形

有辛丁边【五十度一十分】丁乙对角

边【六十度】辛乙边【八十度】三边并

小求辛鋭角

法先为戊亢辛全员　作戊

辛员径　又作亢巳横员径

【两径十字相交于巳心此线上有角度】

次于戊辛径左右任取自辛数至丁如所设角旁小边【五十度一十分】之数截丁辛为小边　又从丁过巳作径线【此线上有加减度】为较弧对角弧两正所依　仍自辛过丁数至房如所设大边【八十度】之数截房丁为大小两边之较弧　又自丁过房数至心如所设对边【六十度】之数截心丁与乙丁等　仍自丁过辛截娄丁度如心丁乃作娄心直线聨之为心丁对弧之倍正　又从房作房甲横线与亢巳横径平行此为乙辛大边之正【因视法房辛即乙辛详后】　次视娄心倍与房甲正两线相遇于乙命为斜弧形之角　乃从乙角向辛作乙辛弧【此弧亦八十度与房辛同大】是所设角旁之大边【理在平仪视法房辛是真度乙辛是视凸为平跻缩之形想平仪原系浑体从房乙甲横切之则自房至甲为距等圈之九十度从此线上度度作弧至辛极并八十度不惟乙辛与房辛同大即甲辛亦与房心同大也他仿此】　又从乙向丁作乙丁弧【此弧亦六十度与心丁同大】是所设对角之边【切浑角以心娄距等圈而以丁为极则危丁亦六十度与心丁同大矣乙丁同大不言可知】　遂成乙辛丁斜弧三角在球上之形与所设等　又从乙引乙辛弧线至戊成心乙戊半周侧立形此线截亢巳半径于寅则亢寅为辛角矢度而寅己其余　次从丁作丁虚横线与房甲正平行是为辛丁小边之正　又从房作房夘线与心危娄平行则此线为房丁较弧之正其心危则乙丁对弧之正　又从乙作乙女线与夘危平行而等【线在两正平行线之中而赤平行不得不等】是为较弧与对弧两正矢之较【房夘为较弧正则夘已为余而夘丁其矢又心危为对弧正则危巳为余而危丁其矢此两正矢之较为危卯而乙女与之等则乙女亦两矢之较矣】

法曰巳丁虚句股形与房乙女句股形相似【房乙与丁虚平行乙女与巳丁平行则所作之大形丁角小形乙角必等而大形之虚小形之女并正角则两形相似】故丁虚【小边正】与丁巳【半径】若乙女【即夘危较弧余与对弧余之较】与乙房【先得数】

又房甲正之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与分之比例皆相似【从房甲线切浑员成距等圏而房甲为其半径犹浑员之有亢巳为半径也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圏半径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相似】故房甲【大邉正即距等圏半径】与亢巳【大员之半径】若乙房【先得数即距等圏之矢】与寅亢【后得数即角之矢线】

以省算法平之即异乘同乘异除同除

较弧【二十九度五十分】余【八六七四八】正矢【一三二五二】其较三六七四八

对弧【六十度　　　　五○○　　五○○○○　　　○○】

一半径方一○○○○○○○○○○【首率除宜去十尾乃先于二率】二余割矩一三二二三二三四○八九【去五位故得数只去五位即如】

三两矢较　　　　　　　三六七四八【共去十位也】

四锐角矢　　　　　　　四八五九二【用减半径得辛角余五一四○八】检表得五十九度四分为辛角之度【此与厯书所算五十八度五十三分只差十一分】又法径求余　法曰房甲之分为乙房而其余乙甲犹亢已之分为亢寅而其余寅已也故其全与分余之比例亦相似法为房甲【正】与亢己【半径】若乙甲【正分线之余】与寅已【半径截矢之余即角之余】

准前论小边之正虚丁【句】与半径丁巳【】若较弧对弧两矢之较乙女【小句】与大边正之分线乙房【小】也先求乙房为先得数以转减大边正房甲得分余线乙甲

一　小边【五十度一○】正　　丁虚　七六七九一

二　半径　　　　　　　　　丁巳一○○○○○三　【较弧二十九度五○对弧六　十度○○】两正矢较乙女　三六七四八

四　先得数【大邉正之分线】　　　　乙房　四七八五四以先得数减大邉八十度正房甲　九八四八一得大边正内乙房分线之余乙甲　五○六二七未以分余线为三率

一　大边正　　房甲　九八四四一

二　半径　　　　亢已一○○○○○

三　分余线　　　乙甲　五○六二七

四　角之余　　寅已　五一四○七【检表得五十九度○四分与先算合】附厯书斜弧三角图【稍为校正】

丙乙丁弧三角形

乙丙角旁小弧　壬乙同丁

乙角旁大弧　壬丙为较弧

癸丙同丁丙为对角之弧

甲壬为大弧正　辰丙

为小弧正　壬夘为较弧

正　癸午为对弧正　寅辛为乙角之弧　庚辛为乙角之矢　夘丙为较弧之矢　午丙为对弧之矢午夘为两矢较　酉壬为先得数　酉子同午夘亦

两矢之较

法为全数【己辛】与大弧正【甲壬】若角之矢【庚辛】与先得数【酉壬】又全数【巳丙】与小弧正【辰丙】若先得数【酉壬】与两矢较【酉子】也一率全之方　二率两正矩　三率角之矢　四率得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢

论曰此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度故特为斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚为角度之正直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉者大弧正甲壬上所作距等圈之正也从顶视之而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上眎之与已庚余同为一线甲丁与甲酉亦然此皆平面正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪为正形也

若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之正矢【牛亥】与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两矢之较【牛危即女酉】以较加较弧正矢为对弧大矢【法详前例但前例钝角旁小弧不同乙丙故此图以相同者论之更见其理之不易】

乙为钝角用大矢之图

【此用平仪正形故丁与酉同为一点】

设角之一边适足九十度一边大　用锐角【余角一钝一鋭】法为半径与大边之正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对弧之余

乙丁丙斜三角形　丙丁边适

足九十度乙丁边大于九十度

丁鋭角求对边丙乙　法先作

平员分十字从丁数丁壬及丁丑

并如乙丁度作距等线聫之【壬丑】又于壬丑线上取乙点【法以壬巳为度巳为心作半员】

【分匀度而自壬取角度得乙防】作庚乙癸直线为对弧之正　又取壬丙为较弧作壬夘正较弧之矢夘丙对弧之矢癸丙其较夘癸与壬乙等壬已正又即距等圈半径而为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如余与角之丙子矢子甲余同比例

一　半径丙甲　　　一　半径丙甲

二　【大邉正】壬已　　　二　【大邉正】壬已

三　【角之矢】子丙　　　三　【角之余】子甲

四　【两矢较】壬乙【即夘癸】　四　【对弧余】乙已【即癸甲】

若丁为钝角　用大矢

法为半径与大边之正若角之大矢与两矢较也亦若钝角之余与对弧之余

借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形【三角俱钝】作丑午为较弧丑辛正【以丑丁同乙丁故】其庚癸为对弧乙辛之正【以庚辛即乙辛故】较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛其较癸午与丑乙等　依前论壬乙为距等圈小矢则乙丑为大矢壬丑为距等圏全径与其大矢乙丑之比例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛也而丑已原为乙丁大边之正【丑乙原与癸午等】故法为半径【甲辛】与钝角之大矢【子辛】若大边之正【已丑】与两矢较【丑乙或癸午】也

一　半径甲辛　　一　半径甲辛

二　【大邉正】丑巳　　二　【大邉正】丑已

三　【钝角大矢】子辛　　三　【钝角余】子甲

四　【两矢较】癸午　　四　【对邉余】乙已【用余入表得度以减半周得对邉之度】一系　距等圏上弧度所分之矢与余与大矢与其半径或全径并与大圏上诸数比例俱等

又按前法亦可以算一邉小于象限之三角

于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊鋭角【余角一钝一鋭】有丙戊大边足九十度有乙戊边小于九十度　求对戊角之乙丙边

法从乙作壬已线为小邉乙戊之正【以壬戊即乙戊故】又从乙作庚癸为对弧乙丙之正【以庚丙即乙丙故】　于是较弧之矢为夘丙　对弧之矢为癸丙而得两矢之较为癸夘　则又引戊乙小邉之弧过半径于子而合大圏于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之余法曰丙甲【半径】与壬已【小邉】若子丙【戊角之矢】与乙壬【两矢较】也得乙壬即得癸夘

捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正作庚癸为乙丙对弧之正其余癸中　又引小邉戊乙分半径于子得子甲为戊角之余

法曰丙甲【半径】与壬已【小邉正】若子甲【戊角余】与乙巳【对邉余】得乙己得癸甲矣

又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角【余角并鋭】有戊辛大邉九十度有戊乙邉小于九十度　求对戊钝角之辛乙邉

用防法　于乙作壬丑为乙戊小邉之通　作庚癸为乙辛对弧之正　其余甲癸　又引戊乙小邉割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角余

法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲一　半径甲辛【即丙辛全径之半】

二　【小邉王】丑已【即壬丑通之半】

三　【钝角余】子甲

四　【对邉余】癸甲【即乙巳】

若先有三邉而求角则反用其率

一　半径

二　小邉余割

三　对邉余

四　角之余

一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其余一邉不拘小大通为一法皆以半径与正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对邉之余

若置大小邉于员周其算亦同

乙丁丙斜弧三角形　乙丁

邉适足九十度　丁丙邉小

于九十度　有丁锐角　求

对邉丙乙　法于平员邉取

丙丁度作丙已为小邉之正

　又自丙作丙甲过心线

又作壬夘线为丙壬较弧

之正　又作庚乙癸线为对弧乙丙之正【庚丙即乙丙故】　乙壬为丁角之矢　乙甲为丁角之余　癸丙为对弧之矢　癸甲为余　夘丙为较弧之矢　夘甲为余　对弧较弧两矢之较夘癸【亦即乙辰】

法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙【半径】与丙已【小邉正】若壬乙【角之矢】与乙辰【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲癸【对弧余】

三邉未角法

一　半径壬甲【即甲丙】　二　【小邉余割】甲甲

三　【对弧余】癸甲　　　　四　【角之余】乙壬

又于前图取乙戊丙三角形　用戊鋭角【余角一钝一鋭】　有乙戊邉九十度　有戊丙大邉　求对戊角之丙乙邉用防法　自丙作丙已为丙戊大邉之正　即从丙作丙甲半径　乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正其余癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之余法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙【半径】与丙巳若乙甲【角之余】与甲癸【对边余】

若丁为钝角【余角并鋭】　用大矢

借前图作丑乙为对角之弧

成丑丁乙三角【丁为钝角】　作

丑甲寅径　又作辛丑较之

正辛午　【以辛丁同丁乙故】　作

丑乙对弧之正子酉引过

乙至亥成通　又作辛未

线与酉午平行而等　较弧之正矢午丑对弧之大矢酉丑相较得酉午【亦即未辛】　乙辛与丁钝角大矢　乙甲为钝角余

法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑【半径】与丑已【小邉正】若乙辛【角大矢】与未辛【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲酉【对弧余】

又于前图取乙戊丑形　用戊钝角【三角俱钝】　有乙戊邉九十度有丑戊大邉　求对钝角之丑乙邉

用防法　自丑作丑已为丑戊大邉之正　又自丑作丑甲寅全径　又自乙作亥酉为对邉丑乙之正【以亥丑即乙丑故】　其余酉甲而乙甲原为戊钝角之余法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑【半径】与丑已【大邉正】若乙甲【钝角余】与甲酉【对邉余】

又设丙乙丁三角形　乙为钝角【余一钝一鋭】　乙丙邉小丁乙邉大　对邉丁丙大于象限　较弧壬丙亦大

于象限

惟对邉较弧俱大于象限故

所得为两大矢之较

其正比例仍用小矢以角

为鋭角也

壬丙较弧之大矢夘丙加后得数午夘为对弧丁丙之大矢【丁丙即癸丙故】　大矢午丙内减半径已丙得午已为余以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧丁丙之度

又法以得数午夘加较弧之余夘巳得午已为对弧余【以两大矢较即两余较也余同上】

若于前图取丁乙庚三角形则角旁两邉俱大于象限而对邉小于象限较弧亦小于象限乙为钝角【三角俱钝】有庚乙与丁乙两大邉而较弧丑庚小故所得为两小矢之较其正比例则用大矢以乙为钝角故也　丑庚为较弧其正丑亥余亥已　对弧庚丁即庚酉其正酉午余午已【两矢较亥午即余较】

又设丙乙丁三角形

乙为鋭角【余一钝一鋭】

乙丙邉小　丁乙邉大　对

弧丁丙大于象限　较弧壬

丙小于象限　所得为对弧

大矢与较弧小矢之较

其正比例仍用小矢以乙

鋭角故

两余并即大矢与小矢之较也

法以得数午夘加较弧之正矢夘丙成午丙为对弧之大矢午丙内减去半径已丙得午巳余乃以余检表得度以减半周得对弧丁丙之度

若于得数内减较弧余弧夘己亦即得午己余余如上

又于前图取丁乙庚三角形　乙为钝角【三角俱饶】　角旁两邉俱大于象限惟对邉小故用两正矢较其正比例仍用大矢以钝角故　乙丁弧之通丑壬为乙丁弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角大矢而比例等　又丑庚为较弧其正丑亥其矢亥庚　对弧庚丁之通酉癸其矢午庚两矢之较为亥午

以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧丁庚之矢【以矢减半径庚已得对弧之余午巳检表得丁庚度】

论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等圏径之分线也其势既与全径平行又其线为弧线所分其分之一端必与对弧相防【葢对弧亦从此分也】其又一端必与较弧相防是此分线在较弧对弧两正平行线之中斜交两线作角而为则两正距线必为此线之句矣而两矢之较即从两正之距而生故不论大矢小矢其义一也

然则正上所作句股何以能与先得数之句股相似邪曰两全径相交于员心则成角各正又皆为各全径之十字横线则其相交亦必成角而横线所作之角必与其径线辏心之角等角等则比例等矣大邉小邉之正皆全径之十字横线也较弧对弧之正皆又一全径之十字横线也此两十字之各线相交而成种种句股其角皆等

仍于前图取丁戊庚三角形　戊钝角【余并鋭】　三边俱小于象限　戊丁弧之通丑壬正甲壬　又引戊丁弧过全径于寅防于乙则寅戌为戊钝角之大矢亦割丑壬通于丁则丑丁与通若寅戌大矢与全径也　又戊庚弧之正庚申为句则已庚半径为其其比例若丑未为句而丑丁为也　又丑庚为较弧其正丑亥其余亥已其矢亥庚　对弧庚丁之通酉癸正癸午余午已其矢午庚两矢之较为亥午【对弧小故用两小矢之较戊钝角故以角之大矢为比例并同上条】

两法并用钝角其度同所求之庚丁弧又同故其法并同即此可明三角之理

仍于前图取丁丙戊三角形　有丁丙及戊丙二大边有丙鋭角【余一钝一鋭】求丁戊对边　法引丁丙及戊丙二弧防于庚作庚丙径作已亢及已戊两半径作癸午为丁丙边正而丁丙弧割癸午正于丁亦割亢已半径丁心则亢已之分为心亢犹癸午之分癸丁也又作戊井为戊丙弧之正成戊已井勾股形又从丁作壬甲为对弧戊丁之正其矢甲戊又取癸戊为较弧【以癸丙同丁丙故】作癸氐为较弧正其矢氐戊两矢之较为氐甲又从丁作斗丁与氐甲平行而等成丁斗癸小句股形与戊已井形相似则已戊与井戊句若癸丁与斗丁句也【此因对弧小故所得为小矢之较而用丙鋭角故只用角之正矢为比例　又此因用丙角求戊丁邉故另为比例若用戊角求丁丙弧则与第一条之法同矣】

以甲氐加较弧之矢氐戊成甲戊为对弧之矢如法取其度得丁戊

右例以一图而成四种三角形皆可以入算而诸线错综有条不紊可见理之真者如取影于灯宛折惟肖也【又丁丙戊三角形亦可以戊角立算余三角并然　丁乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚角】计开

一图中三角形凡四

一丁乙丙形　一丁戊丙形　一丁乙庚形　一丁戊庚形

全径凡二

一戊乙径　一庚丙径

算例凡八

右前四例皆以乙戊径为主线丙庚径为加减线后四例皆以丙庚径为主线乙戊径为加减线

一系　凡三角形以一邉就全员则此一邉之两端皆可作线过心为全员之径而一为主线一为加减线皆视其所用之角

凡所用角在径线之端则此径为主线余一径为加减线

几用锐角则主线在形外用钝角则主线在形内凡角旁两弧线引长之各成半周必复相防而作角其角必与原角等

凡主线皆连于所用角之锐端或在形内或在形外并同其引长之对角亦必连于主线之又一端也若主线在形内破钝角端者其引长之钝角亦然

一系　凡两径线必与两弧相应如角旁弧引长成半周其首尾皆至主线之端是主线即为此弧之径也如对角弧引长成半周首尾皆至加减线之端是加减线即为对弧之径也主线既为引长角旁一弧之径又原为全员之径而角旁又一弧之引长线即全员也故角旁两弧皆以主线为之径　加减线既为对弧之径而较弧在员周其端亦与加减线相连又加减线原为全员径故较弧对弧皆以加减线为径

一系　凡全径必有其十字过心之横径而正皆与之平行皆以十字交于全径引之即成通

主线既为角旁两弧之径故角旁两弧之正通皆以十字交于主线之上而其余其矢皆在主线加减线既为对弧较弧之径故对弧较弧之正皆以十字交于加减线而其余其矢皆在加减线

一系　凡角旁之弧引长之必过横径分为角之矢角之余若钝角则分大矢

角旁引长之弧过横径者亦过正通故其全与分之比例皆与角之大小矢及余之比例等平仪论　论以量代算之理

以横线截弧度以直线

取角度并与外周相应

如艮已弧距极三十度

为申未横线所截故其

度与外周未已相应坎

乙应戌乙亦同又干乙

弧距极六十度为丑夘横线所截故其度与外周丑乙相应巽已应午已亦同

又如戊已辛角有未戊辰直线为之限知其为六十度角以与外周未午辛之度相应也癸乙子三十度角应子丑度亦然又庚已子钝角有午夘庚直线为之限知其为百五十度角以与外周午未已申寅子弧度相应也壬乙辛百二十度角应戌乙辰夘辛弧亦然

论曰平仪有实度有视度有直线有弧线直线在平面皆实度也弧线在平面则惟外周为实度其余皆视度也实度有正形故可以量视度无正形故不可以量然而亦可量者以有外周之实度与之相应也何以言之曰平仪者浑体之昼影也置浑球于案自其顶视之则惟外周三百六十度无改观也其近内之弧度渐以侧立而其线渐缩而短离邉愈逺其侧立之势益髙其跻缩愈甚至于正中且变为直线而与员径齐观矣此跻缩之状随度之髙下而迁其数无纪故曰不可以量也然而以法量之则有不得而遁者以有距等圈之纬度为之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于邉之真度其实与邉度并同无小大也特外周则眠体而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度与之相应也此量弧度之法也弧度者纬度也【量法详后】然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试于平仪内任作一弧角

如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其度则引此弧线过横径于戊而防于乙则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而

钝角之度也然已戊壬两弧皆以视法变为平线又何以量其度法于戊防作庚辛直线与乙丙直径平行则已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其余庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晣若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其余二邉必与此一邉之两端相遇于外周而成角此相遇之两防即余两弧起处法即从此起数借外周以求其度而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得余一角之所在遂补作余两弧而弧三角之形宛在平面再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法也

今设乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十五度乙丁邉六十○度而未知其角

法先作戊巳庚丙平员

又作巳丙及戊庚纵横

两径任以丁丙邉之度

自直线之左从丙量至

丁得五十○度为丁丙

邉又自丙左右各数五

十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联之为五十五度之距等圈　又自丁作夘丁径线自丁左右各数六十○度为癸丁及丑丁皆如乙丁之数亦作丑癸线聨之为六十○度之距等圈　此两距等线相交于乙则乙防即为乙丙及乙丁两邉相遇之处而又为一角也　乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦俱可知　欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子径上距等圈之真形也乃自乙防作直线与午丙径平行截半员于酉乃从酉数至子得酉子若干度此即乙丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛钝角之度也　欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦丑癸径上距等圈之正形也乃自乙防作直线与辰夘径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此即乙丁丙钝角之　度以减半周得亥丑若干度又即乙丁丑钝角之度也

计开

丙角七十八度稍弱【以算考之得七十七度五十五分】丁角六十七度三分度之二【以算考之得六十七度三十九分】

右量角度以图代算【欲得零分须再以算法考之即知无误】

又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉【对角之邉】法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知

之作辛十子线为一百

二十○度之距等圈

又以距等之半线辛午

为度午为心作辛酉子

半圈匀分一百八十度

乃自辛数至酉如所设

丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁遂如法作丁丙邉　又自丙数至乙如所设乙丙邉一百○○度又从乙过甲心至夘作大圈径亦作寅壬横径乃补作丁乙邉【乙丙丁三角弧形宛然在目】　又自丁作丑丁癸距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁之度

计开

丁乙线五十九度强【以算考之得五十九度○七分】

右量弧度以图代算【若用规尺可免逐圈匀分之度有例在后条】

又若先有乙丁对角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙角旁之邉【仍借前圏】

法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙邉之度取丙辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角度作酉丁直线遂从丁作丁丙邉皆如前　次以所设丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取其通【即距等线癸丑之度】乃以通线就丁防迁就游移使合于外周而不离丁防成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙邉于是补作乙丁线成三角之象

又法以丁乙倍度之通【丑癸】半之于辰乃从辰作夘甲辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度余如上又若先有乙丙两角及乙丙邉在两角之中【亦仍借前图】法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙截乙丙为所设之邉　次作丙角法于戊庚横径如前法求庚亥如所设丙角之度遂从亥防作弧【如丙亥己】则丙角成矣　次作乙角法于乙防作乙甲夘径亦作壬寅横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂从未防作弧【如夘未乙】则乙钝角亦成矣　两弧线交于丁角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得【案此两弧线必以鸡子形作之方凖若丁防离两横径不逺则所差亦不多也】

再论平仪

凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度

惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度平仪上弧线皆在浑靣而直线皆在平靣

试以浑球从两极中半濶处直切之【如用极至交圏为度以剖浑仪】则成平靣矣以此平面覆置于案而从中腰横切之【如赤道半圏】则成横径于平面矣【如赤道之径】又以此横径为主离其上下作平行线而横切之则皆成距等圏之径线于平面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圏即皆有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圏之径则其径上所乗之距等圏距极皆等即任指一防作弧度其去极度皆等故以为纬度之限也

若又别指一处为极【如赤道极外又有黄道极又如天顶亦为极】则其对度亦一极也亦可如前横切作横径【如黄道之径】于平面其横径上下亦皆有九十度之距等圏与其径线矣【如黄道亦有纬度】故直线有相交之用也

凖此观之浑球之外圏随处可指为极即有对度之极两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而句股之形成比例之用生加减之法出矣【如黄赤两极外又有天顶地心之极而天顶地心随北极之髙下而变】又此所用外周特浑球上经圏之一耳若凖上法于球上各经圏皆平切之皆为大圏则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用乃不可以亿计矣【如天顶地心既随极出地度而异其南北亦可因各地经度而异其东西】由是推之浑球上无一处不可为极故所求之防即极也何以言之凡于球上任指一防即能于此防之上作十字直线以防于所对之防而十字所分之角皆九十度即逐度可作线以防于对防而他线之极此防上线皆能与之防故曰所求之防即极也

又论平仪

凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度也若无经度则亦无纬度矣

平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也若无纬度则亦无经度矣【所云直线指横径及其上下之距等径而言】弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度即又能分经度之长短

假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之纬圏若于腰围纬圏上任指一经度作弧线必会于两极而因此弧线割纬圏以成角度故又曰能分纬度也不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏其距等圏上所分之纬必小于腰围之纬圏而其所载距等圏之经度皆与角度等即近极最小之纬圏亦然何以能然曰纬圏小则其度从之而小而为两弧线所限角度不变也故纬圏之大小弧度分之也

然弧线之长短又皆以纬圏截之而成而纬圏必有径在平面上与圏相应故曰直线能载经度即又能分经度之长短也

复论平仪

平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然其在平靣则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则皆距等圏之半员即皆载有经度一百八十也从此半员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则距等圏度之正也若引此经度作弧以防于两极则此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正矣由是观之此弧上一百八十纬度既各带有距等圏之正即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也

又

问平仪经纬之度近心濶而近邉狭何也曰浑员之形从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而见大四周逺目而见小此视法一理也又中心之经纬度平铺而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垜垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而齐故正之数以生八线由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天之外巳

取角度

又法

设如巳戊丙庚员有子

辛距等纬线有所分丁

辛小纬线求其所载经

度以命所求之角【丙角】本法取距等半径【辛午】作

子酉辛半员从丁作酉

丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度

今用防法径于丁防作女丁壬线与巳甲径平行再用距等半径【午辛】为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度【即丙角也】

解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣

又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁防所在以作丙丁弧

法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲心作癸甲线【半径】　次以距等之半径辛午为度从甲心作半员截癸甲【半径】于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁即得丁防

用规尺法

设如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角

如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数

所设丁辛五十度竒至丁乃自

丁作径线过已心又依所设丁

乙六十度自丁左数至娄右数

至丙皆六十度作丙娄线为距

等圈之径又自辛依所设辛乙

八十度至房亦左至壬作房壬

距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线则三角形宛然在目今以量法求辛角

法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角之余寅已

法以比例尺正线用规器取图中房甲之度于半径九十度定尺再取乙甲度于本线求正等度得角之余度乃以所得余度转减象限命为辛角之度

依法得余三十一度弱即得辛角为五十九度强又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙癸正与已辛平行如前以房甲度于正九十度定尺再以乙癸度取正度命为辛角度

又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更防论曰既以房甲为半径则乙癸即正乙甲即余房癸即分员皆距等圏上比例也其取角度与分半周度而数房癸之度并同然量法较防

又求丁钝角

法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当角之正则乙危当余

乃取距等半径丙危度于正线九十度定尺再取乙危度求得正线等度命为钝角之余以所得加九十度为丁钝角度

依法得余十二度太即得丁钝角一百○二度太或取丑乙线求正线上度命为钝角之正以所得减半周度余为丁钝角度【两法互用相考更确】

又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定尺而求娄丑分员之度分为丁钝角【亦可与正法叅考】

论曰兼用两法分员线一法以相考理明数确然比半周度之工尚为省力是故量防于算而尺更防矣若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员线亦有两法合之正成四法矣

又论曰此条三邉求角前条有二邉一角求弧可互明也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也

三极通几

平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是有相交相割而成角度角之鋭端即两线相交之防任指一防而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后以黄道经纬求赤道经纬　已辰庚斜弧三角形

巳丁乙丙为极至交圈

巳为北极　丙甲丁为赤

道　庚为黄极　壬甲寅

为黄道　星在辰　辰庚

为黄极距星之纬　辰庚

酉角为黄道经度　今求赤道经纬　法自辰作黄道距等纬圈【酉辛】又自辰作赤道距等纬圈【戊午】即知此星【辰】在赤道之北其距纬戊丙【或午丁】　次以赤道距等半径戊夘为度夘为心作午未戊半员又作未辰直线与已甲平行则未戊弧即为赤道经度【即戊巳辰角】

若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同

以赤道经纬求地平经纬

巳子戊三角形【三角皆鋭】

戊壬庚辛为子午规　壬

辛为地平　戊为天顶

巳为北极　丁丙为赤道

星在子　子巳为星距

北极　巳角为星距午规

经度【即纬圈上丑子之距】　求地平

上经纬　法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛【或壬寅】　次作寅酉亥半员【以亥寅半线亥午为度午为心】又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是为地平上之经度【按此图为星在夘酉线之北数酉辰若干度即知其星距夘酉线若干度也】　若先得地平上经纬【髙度为纬方位为经】而求赤道经纬【星距赤道为纬距午线时刻为经】其理亦同

以两纬度求经度

巳子戊斜弧三角形

假如北极髙三十度【巳辛髙】戊寅壬为午规　太阳

在子距赤道北十度【其距丑丁

或卯丙纬度】　子丑为太阳距

午线加时经度【即子巳丑角】寅壬为太阳髙度【即亥辛】

求大阳所在之方　法以太阳髙度【亥辛或寅壬】作亥寅地平髙度纬线又以太阳距赤道纬【丑丁卯丙】作丑卯赤道北纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅半员【分百八十度】又自子作酉子直线与戊甲平行截半员于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度【即子戊寅外角】　若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊角

求北极出地简法【可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用】不拘何日何时刻但有地平真髙度及真方位即可得之

法曰先以所测髙度及方

位如法作图取作平仪上

太阳所在之防【即地平经纬交处】次查本日太阳在之道南

北纬度用作半径于仪心

作一小员末自太阳所在

防作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通也乃平分通作十字全径过仪心即两极之轴数其度得出地度

假如测得太阳在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地极髙但知本日太阳赤纬十九度今求北极度

如法作图安太阳于辰【详下文】　先作丙丁线为地平髙度次用法自正东卯数正度至辰得近南三度为地平经度【或以丙卯为半径作半规取直应度分亦同】次依本日太阳赤纬十九度【以员半径取庚甲十九度正】为小员半径作子庚小员末自太阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员径线已午则已即北极【数己丑之度为极出地度】依法求得本地极髙四十度

论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经度始无错误

厯算全书卷九