钦定四库全书
皇朝文献通考卷二百五十七
象纬考【二】
两仪七政恒星总论
【臣】等谨按前史志天文者大抵详於七政恒星而於两仪则纪其变而弗纪其常我
朝作明史天文志以常象虽无古今之异而言天者後胜於前宜标其指要以为纲领爰先两仪次七政恒星伏惟
圣祖仁皇帝着历象考成一书综前古周髀宣夜浑天诸
家之同异而折衷一是我
皇上复以近时实测之数剖析源流着为後编盖皆循蜚疏仡以来三极彛训之所未有也兹敬録总论诸篇彚为一卷以识推步测验者之所据依焉
御制历象考成上编论天象
虞书尧典曰钦若昊天历象日月星辰楚词天问曰圜
则九重孰营度之後世历家谓天有十二重非天实有如许重数盖言日月星辰转运於天各有所行之道即楚词所谓圜也欲明诸圜之理必详诸圜之动欲考诸圜之动必以至静不动者凖之然後得其盈缩盖天道静专者也天行动直者也至静者自有一天与地相为表里故羣动者运於其间而不息若无至静者以验至动则圣人亦无所成其能矣人恒在地面测天而七政之行无不可得者正为以静验动故也十二重天最外者为至静不动次为宗动南北极赤道所由分也次为南北岁差次为东西岁差此二重天其动甚微历家姑置之而不论焉次为三垣二十八宿经星行焉次为填星所行次为岁星所行次为荧惑所行次则太阳所行黄道是也次为太白所行次为星辰所行最内者则太隂所行白道是也要以去地之远近而为诸天之内外然所以知去地之远近者则又从诸曜之掩食及行度之迟疾而得之盖凡为所掩食者必在上而掩之食之者必在下月体能蔽日光而日为之食是日远月近之徵也月能掩食五星而月与五星又能掩食恒星是五星高於月而卑於恒星也五星又能互相掩食是五星各有远近也又宗动天以浑灏之气挈诸天左旋其行甚速故近宗动天者左旋速而右移之度迟渐远宗动天则左旋较迟而右移之度转速今右移之度惟恒星最迟土木次之火又次之日金水较速而月最速是又以次而近之证也是故恒星与宗动相较而岁差生焉太阳与恒星相会而岁实生焉黄道与赤道出入而节气生焉太阳与太隂循环而朔望盈虚生焉黄道与白道交错而薄蚀生焉五星与太阳离合而迟疾顺逆生焉地心与诸圜之心不同而盈缩生焉历代专家多方测量立法布算积久愈详已得其大体其间或有毫芒之差诸说不无同异者盖因仪器仰测穹苍失之纎微年久则着虽有圣人莫能预定惟立穷源竟委之法随时实测取其精密附近之数折中用之每数十年而一修正斯为治历之通术而古圣钦若之道庶可复於今日矣
御制历象考成上编论地体
欲明天道之流行先达地球之圆体日月星辰每日出入地平一次而天下大地必非同时出入居东方者先见居西方者後见东西相去万八千里则东方人见日为午正者西方人见日为卯正也周天三百六十度每度当地上二百里是故推验大地经纬度分皆与天应测纬度者用午正日晷或测南北二极测经度则必於月蚀取之盖月蚀与日蚀异日之食限分数随地不同月之食限分数天下皆同但入限有昼夜人有见不见耳此处食甚於子者处其东三十度必食甚於丑处其西三十度必食甚於亥是故相去九十度则此见食於子而彼见食於酉相去百八十度则此见食於子而彼当食於午虽食而不可见矣
御制历象考成上编论黄道赤道
天包地外圜转不息南北两极为运行之枢纽地居天中体圆而静人环地面以居随其所至适见天体之半中华之地面近北故北极常见南极常隐平分两极之中横带天腰者为赤道赤道距天顶之度即北极出地之度也赤道以北为内为隂以南为外为阳斜交赤道而半出其南半出其北者为黄道乃太阳一岁所躔之轨迹也黄赤道相交之两界为春秋分距赤道南二十三度半为冬至距赤道北二十三度半为夏至七政所行之道纷然不齐惟恃黄赤二道以为推测之本盖太阳循黄道东行而出入於赤道之南北太隂与五星各循本道东行而又出入於黄道之南北故黄赤二道之位定则昼夜永短寒暑进退以及晦朔弦望薄蚀朏朒皆从此可稽矣
御制历象考成上编论经纬度
恒星七政各有经纬度盖天周弧线纵横交加即如布帛之经纬然故以东西为经南北为纬然有在天之经
纬有随地之经纬在天则为赤道为黄道随地则为地平赤道均分三百六十度平分之为半周各一百八十度四分之为象限各九十度六分之为纪限各六十度十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧线与赤道十字相交各引长之会於南北极皆成全圜亦分为三百六十度两极相距各一百八十度两极距赤道俱九十度是为赤纬依纬度作圜与赤道平行名距等圈此圈大小不一距赤道近则大距赤道远则小其度亦三百六十俱与赤道之度相应也赤道之用有动有静动者随天左旋与黄道相交日躔之南北於是乎限静者太虚之位亘古不移昼夜之时刻於是乎纪焉黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两点为春秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏至距两交各一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度出弧线与黄道十字相交各引长之周於天体即成全圜其各圜相凑之处不在赤道之南北两极而别有其枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距黄道亦皆九十度是为黄纬而月与五星出入黄道之南北者悉於是而辨焉故凡南北圈过赤道极者必与赤道成直角而不能与黄道成直角其过黄道极者亦必与黄道成直角而不能与赤道成直角惟过黄赤两极之圈其过黄赤道也必当冬夏二至之度所以并成直角名为极至交圈又若赤道度为主而以黄道度凖之则互形大小何也浑圆之体当腰之度最寛渐近两端则渐狭【距等圈之度也】二至时黄道以腰度当赤道距等圈之度故黄道一度当赤道一度有余二分时两道虽皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度当赤道一度不足也此所谓同升之差而七政升降之斜正伏见之先後皆由是而推焉至於地平经纬则以各人所居之天顶为极盖人所居之地不同故天顶各异而经纬从而变也地在天中体圆而小随人所立凡目力所极适得大圆之一半则地虽圆而与平体无异故谓之地平乃诸曜出没之界昼夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之为四方【子午卯酉】各相距九十度二十四分之为二十四向各十五度是为地平经从经度出弧线上会於天顶并皆九十度【从地平下至天顶之冲亦九十度】是为地平纬又名高弧高弧从地平正午上会天顶者其全圈必过赤道南北两极名为子午圈乃诸曜出入地平适中之界而北极之高下晷影之长短中星之推移皆由是而测焉是故经纬相求黄赤互变因黄赤而求地平或因地平而求黄赤乃历象之要务推测之所取凖也
御制历象考成上编论七政宿度
日月五星皆有宿度古以十二宫定於二十八宿故宿度逐岁不同者经度亦因而不同今以二十八宿历於十二宫故宿度逐岁有差而经度终古不变其法以岁差五十一秒按岁积之与各宿第一星黄道经度相加为本年黄道宿钤乃於七政黄道经度内减去相当黄道宿度余即七政黄道宿度盖七政恒星皆宗黄道故宿度亦以黄道推也至於日月交食则并用赤道宿因其关於天行最着故於推算独详然各宿赤道经纬度逐岁不同须按推恒星赤道经度法求得本年各宿第一星赤道经度为本年赤道宿钤乃於太阳太隂赤道经度内减去相当赤道宿度余即太阳太隂赤道宿度
御制历象考成上编论北极高度
北极为天之枢纽居其所而不移其出地有高下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之永短因之而各异焉盖历法以日躔出入赤道之度定诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测不精高度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故测北极出地之高下最宜精密不容或略也
御制历象考成上编论地半径差
凡求七曜出地之高度必用测量乃测量所得之数与推步所得之数往往不合盖推步所得者七曜距地心之高度而测量所得者七曜距地面之高度也距地心之高度为真高距地面之高度为视高人在地面不在地心故视高必小於真高以有地半径之差也【或有大於真高者则濆蒙气所为也】盖七曜恒星虽皆丽於天而其高下又各不等惟恒星天为最高其距地最远地半径甚微故无视高真高之差若夫七曜诸天则皆有地半径差
御制历象考成上编论地影半径
太阳照地而生地影太隂遇影而生薄蚀凡食分之浅深食时之久暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有远近距地远者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地麤而远地细太隂行最卑距地近则过影之麤处其径大行最高距地远则过影之细处其径小此由太隂而变易者也
御制历象考成上编论日月实径与地径
日最大地次之月最小新法历书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月高卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大制相符足徵其说之有据而非诬也
御制历象考成上编论清蒙气差
清蒙气差从古未闻明万历间西人第谷始发之其言曰清蒙气者地中游气时时上腾其质轻微不能隔碍人目却能映小为大升卑为高故日月在地平上比於中天则大星座在地平上比於中天则广此映小为大也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食於东日已东出而尚见月食於西此升卑为高也又曰清蒙之气有厚薄有高下气盛则厚而高气微则薄而下而升像之高下亦因之而殊其所以有厚薄有高下者地势殊也若海或江湖水气多则清蒙气必厚且高也故欲定七政之纬宜先定本地之清蒙差第谷言其国北极出地五十五度有奇测得地平上最大之差三十四分自地平以上其差渐少至四十五度其差五秒更高则无差矣此即新法历书所用之表也近日西人又言於北极出地四十八度之地测得太阳高四十五度时蒙气差尚有一分余自地平至天顶皆有蒙气差即此观之益见蒙气差之随地不同而第谷之言为不妄矣
御制历象考成上编论曚影刻分
曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之先已入之後距地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北极出地有高下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分多也随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈高则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至之刻分相等赤道以南反是
御制历象考成上编论时差
时差者平时与用时相较之时分也推步所得者为平时测量所得者为用时【用时即视时也】二者常不相合其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退盖以高卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长盖以分至为加减之限也新法历书合二者以立表名曰日差然高卑每年有行分则宫度引数必不能相同若合立一表岁久即不可用今仍分作二表加减两次庶於法为密也
御制历象考成上编论岁差
岁差者太阳每岁与恒星相距之分也如今年冬至太阳躔某宿度至明年冬至时不能复躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之觉至晋虞喜始知之因立岁差法历代治历者宗焉而所定之数各家不同喜以五十年差一度刘宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋杨忠辅以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒约之得每年差五十二秒半元郭守敬因之较诸家为密今新法实测晷影验之中星得七十年有余而差一度每年差五十一秒此所差之数在古法为冬至西移之度新法为恒星东行之度徵之天象恒星原有动移则新法之理长也
御制历象考成上编论历元
治历者必有起算之端是谓历元其法有二一则远溯古初冬至七曜齐元之日为元自汉太初以来诸历所用之积年是也一则截算为元若元授时历以至元辛巳天正冬至为元今时宪历以崇祯元年戊辰天正冬至为元是也二者虽同为起算之端然积年实不如截算之简易也夫所谓七曜齐元者乃溯上古冬至之时岁月日时皆会甲子日月如合璧五星如联珠是以为造历之元使果有此虽万世遵用可矣而廿一史所载诸家历元无一同者是其所用积年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已当其立法之初亦必有所验於近测遂援之以立术於是溯而上之至於数千万年之远庶几各曜之躔次可以齐同然既欲其上合历元又欲其不违近测奇零分秒之数决不能齐势不能不稍为迁就以求其巧合其始也据近测以求积年其既也且将因积年而改近测矣杜预云治历者当顺天以求合不当为合以验天积年之法是为合以验天也安得为立法之尽善乎若夫截算之法不用积年虚率而一以实测为凭诚为顺天求合之道治历者所当取法也
御制历象考成上编论太阳行度
太阳行天每岁一周万古不忒宜其每日平行而无有盈缩乃徵之实测则春分至秋分行天半周而历日多秋分至春分行天半周而历日少其在本天所行之度原均而人居地上所见时日不同今即其不平行之数
求其所以然之故则惟有本天高卑之说能尽之本天高卑之法有二一为不同心天盖天包地外以地为心太阳本天亦包乎地外而不以地为心因其有两心之差而高卑判焉自春分历夏至以至秋分太阳行本天之大半周故历日多而自地心立算止行黄道之半周故为行缩自秋分历冬至以至春分太阳行本天之小半周故历日少而自地心立算亦行黄道之半周故为行盈夫日在本天原自平行因自地心立算而不以太阳本天心立算遂有高卑盈缩之异故高卑为盈缩之原而两心之差又高卑之所由生也一为本轮盖本天与地同心而本天之周又有一本轮本轮心循本天周向东而行日在本轮之周向西而行两行之度相等太阳在本轮之下半周去地近为卑则顺轮心行故见其速於平行在本轮之上半周去地远为高则背轮心行故见其迟於半行在本轮之左右去地不远不近为高卑适中故名中距其行与半行等本轮循本天东行为平行度太阳循本轮西行由下而左而上而右而复於下为自行度如太阳在本轮之下去地心最近是为最卑太阳在本轮之上去地心最远是为最高最高最卑之点皆对本轮心与地心成一直线其平行实行同度故为盈缩起算之端如太阳由本轮下向左顺轮心行能益东行之度故较平行度为盈至半象限後所益渐少迨轮心行一象限太阳亦行轮周一象限即无所益而复於平行是为中距然而积盈之多正在中距盖从地心立算为盈差之极大也从中距而後太阳行本轮之上半周背轮心行故实行渐缩然因有积盈之度方以次渐消其实行仍在平行前迨行满一象限至最高为极缩而积盈之度始消尽无余其实行与平行乃合为一线故自最卑至最高半周俱为盈也如太阳由本轮上向右背轮心行能损东行之度故较平行度为缩至半象限後所损渐少迨轮心行一象限太阳亦行轮周一象限即无所损而复於平行是为中距然而积缩之多亦在中距盖从地心立算为缩差之极大也从中距而後太阳行本轮之下半周顺轮心行故实行渐盈然因有积缩之度方以次相补其实行仍在平行後迨行满一象限至最卑为极盈而积缩之度始补足无缺其实行与平行乃合为一线故自最高至最卑半周俱为缩也求得两心之差而本轮之径自见明於本轮之故而盈缩之理益彰其理相通其用相辅可以参稽而互证也
御制历象考成上编论太隂行度
太隂行度有九而随天西转之行不与焉一曰平行盖太隂之本天带一本轮本轮心循本天自西而东每日平行一十三度有奇二十七日有余而行天一周即白道经度也二曰自行盖本轮心循白道行自西而东【即平行经度】太隂复依本轮周行自东而西每日亦行一十三度有奇微不及本轮心行而与本轮心之行顺逆参错人目视之遂生迟疾故名自行以别之授时历名为转
周满一周为转终其所生之迟疾差名为初均数也三曰均轮行西人第谷言用一本轮以齐太隂之行往往与实测未合因将本轮半径三分之存其二分为本轮半径用其一分为均轮半径均轮循本轮周行自东而西【即自行转周度】太隂复依均轮周行自西而东每日行二十六度有奇为轮心行之倍度【均轮心行一度月行均轮周二度也】其所生之迟疾差即今所用之初均数也四曰次轮行盖用本轮均轮推得迟疾之最大差为四度有奇於朔望时测之其数恰合而於上下弦时测之则不合其大差至七度有奇故又於均轮之周复设一轮循均轮周行命为次轮次轮心自西而东太隂复依次轮周亦自西而东每日行二十四度有奇为本轮心距太阳行之倍度【本轮心距太阳行一度月行次轮周二度】名为倍离倍离所生之迟疾差名为次均数也五曰次均轮行盖有初均次均以步朔望以定两弦则既合矣而於两弦前後测之又多不合爰思次轮之上必更有一轮以消息乎次均之数今命之曰次均轮其心循次轮周自西而东行倍离之度而太隂则循此轮之周自东而西亦行倍离之度用其所生之差以加减次均数即与太隂两弦前後所行恰合也六曰交行盖太隂行白道出入於黄道之内外大距五度有奇其自黄道南过黄道北之点名曰正交【即如春分自赤道南过赤道北】自黄道北过黄道南之点名曰中交【即如秋分自赤道北过赤道南】每交之中不能复依原次而不及一度有余逐日计之退行三分有余命为两交左旋之度【自东而西也】亦名罗计行度也【正交曰罗?中交曰计都】七曰最高行最高者本轮之上半最远地心之处而最高行者平行与自行相较之分也均轮心从最高左旋微不及於平行每日六分有奇即命为最高左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行於每日平行度内减去太阳之行为每日太隂距太阳行二十九日有奇而复与日会是为朔策九曰距交行以每日平行度与每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有奇而行交一周名为交周也
太隂行度用四轮推之而四轮之法皆系实测而得非意设也西人第谷以前步月离惟用本轮次轮盖因朔望之行有迟疾故知其有本轮而两弦之行不同於朔望故知其有次轮其法次轮与本轮两周相切太隂行於次轮之上朔望时太隂正当两周相切之点故云朔望时太隂循本轮周行而两弦时太隂则从两周相切之点行次轮半周距本轮心最远故次轮全径为两弦时大於朔望时平行实行之极大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故於本轮上复加一均轮且因两弦前後之行又不同於两弦故又加一次均轮盖用本轮推朔望时平行实行之极大差为本轮半径得四度五十八分有余而徵之实测惟自行三宫九宫初度之一点为合在最高前後两象限则失之小在最卑前後两象限则失之大故第谷将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取其一分为均轮半径用求平行实行之差为初均数乃密合於天至於两弦时平行实行之极大差七度二十五分有余虽为新本轮半径并均轮半径仍加次轮全径之数然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也其次均轮行於次轮即如初均轮之行於本轮但所行之度不同耳【初均轮行为引数之度次均轮行为倍离之度】要之本轮者推本天之高卑均轮者所以消息本轮之行度次轮者定朔望两弦之远近次均轮者又所以分别朔望两弦前後之加减故本轮行度合初均轮之倍引而生初均数分高卑左右而为朔望之加减差也次轮行度合次均轮之倍离而生二三均数分远近上下而为两弦及两弦前後之加减差也是故非验诸实测无以知四轮之妙而明於四轮之用则於太隂迟疾之故思过半矣
御制历象考成上编论朔望有平实之殊
日月相会为朔相对为望而朔望又有平实之殊平朔望者日月之平行度相会相对也实朔望者日月之实行度相会相对也故平朔望与实朔望相距之时刻以两实行相距之度为凖盖两实行相距之度以两均数相加减而得而两朔望相距之时刻则以两实行相距之度变为时刻以加减平朔望而得实朔望故两实行相距无定度则两朔望相距亦无定时也
御制历象考成上编论晦朔弦望
太隂之晦朔弦望虽无关於自行之迟疾而自行之迟疾实由於朔望两弦而得知其二十七日有奇而一周者太隂之自行也其二十九日半强而与太阳相会者朔策也其间犹有望与上下两弦之分焉盖太隂之体赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦而其行则甚速於太阳当其与太阳相会之时人在地上正见其背故谓之朔朔後渐远太阳人可渐见其面其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见其半面太阳在後太隂在前其光向西其魄向东故名上弦上弦以後距太阳愈远其光渐满至一百八十度正与太阳相望人居其间正见其面故谓之望自望以後又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生至距望七日有奇其距太阳亦九十度则又止见其半面太阳在前太隂在後其光向东其魄向西故名下弦下弦以後距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其光全晦复为朔矣
御制历象考成上编论太隂隐见迟疾
合朔之後恒以三日月见於西方故尚书注月之三日为哉生明然有朔後二日即见者更有晦日之晨月见东方朔日之夕月见西方者唐历家遂为进朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故盖月之隐见迟疾固有一定之理可按数而推殆因乎天行由於地度无庸转移迁就也至於汉魏历家未明盈缩迟疾之差以平朔着历故有晦而月见西方朔而月见东方者此则推步之疎不可以隐见迟疾论也隐见之迟疾一因黄赤道之升降有斜正也盖春分前後各三宫【由星纪至实沈六宫】黄道斜升而正降月离此六宫则朔後疾见秋
分前後各三宫【由鹑首至析木六宫】黄道正升而斜降月离此六宫则朔後迟见如日躔降娄初度月离降娄一十五度为正降日入时月在地平上高一十四度余即可见盖入地迟而见早也日躔寿星初度月离寿星一十五度为斜降日入时月在地平上高六度余即不可见盖入地疾而见迟也若晦前月离正升六宫则隐迟斜升六宫则隐早其理亦同一因月距黄纬有南北也盖月距黄道北则朔後见早距黄道南则朔後见迟如日躔降娄初度月离降娄一十五度而月距黄道北则月距地平之度多入地迟而见早月距黄道南则月距地平之度少入地疾而见迟也若晦前距黄道北则隐迟距黄道南则隐早其理亦同一因月自行度有迟疾也盖月自行迟则朔後见迟晦前隐迟自行疾则朔後见早晦前隐早也夫月离正降宫度距日一十五度即可见以每日平行一十二度有奇计之则朔後一日有余即见生明於西是故合朔如在甲日亥子之间月离正升宫度距黄道北而又行迟历则甲日太阳未出亦见东方月离正降宫度距黄道北而又行疾历则乙日太阳已入亦见西方矣
御制历象考成上编论恒星东行
恒星行即古岁差也古谓恒星不动而黄道西移今谓黄道不动而恒星东行盖使恒星不动而黄道西移则恒星之黄道经纬度宜每岁不同赤道经纬度宜终古不变今测恒星之黄道经度每岁东行而纬度不变至於赤道经度则逐岁不同而纬度尤甚自星纪至鹑首六宫星在赤道南者纬度古多而今渐少在赤道北者纬度古少而今渐多自鹑首至星纪六宫星在赤道南者纬度古少而今渐多在赤道北者纬度古多而今渐少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可以过赤道南在赤道南者亦可以过赤道北则恒星循黄道东行而非黄道之西移明矣新法历书载西人第谷以前恒星东行之数或云百岁而行一度或云七十余年而行一度或云六十余年而行一度随时修改与古累改岁差之意同迨第谷定恒星每岁东行五十一秒约七十年有余而行一度而元郭守敬所定亦为近之至今一百四十余年验之於天虽无差忒但星行微渺必历多年其差乃见然则第谷所定之数亦未可泥为定凖惟随时测验依天行以推其数可也
御制历象考成上编论测恒星
恒星东行既依黄道则测定一年之黄道经纬度而逐年之黄道经纬度皆视此矣然欲测诸恒星必以一星作距而欲测黄道经纬度必以赤道经纬度为宗盖诸曜随天左旋惟赤极不动其经纬既与黄道相当又与地平相应时刻之早晚於是乎纪太阳之躔次於是乎辨非赤道则黄道无从而稽也其法择恒星之大者测其方中时刻及正午高弧乃以本时太阳赤道经度与太阳距午正赤道经度相加即星之赤道经度又以正午高弧与赤道高度相减即星之赤道纬度既得赤道经纬度则用弧三角法推得黄道经纬度既得一星之黄赤经纬度即以此一星作距或用黄道赤道诸仪测其相距之经纬或用地平象限诸仪测其偏度及高弧而诸星之黄赤经纬度皆可得矣要之测恒星之法先测一星为凖而此星经度必取定於太阳倘於时刻差四分则於天行差一度故须参互考验方得密合或用太隂及太白比测者然皆有视差不如用太阳之确凖也
御制历象考成上编论恒星出入地平
恒星随宗动天东出西入旋转有常因节气有冬夏昼夜有永短人居有南北故所见恒星出入地平之时刻因时各异随地不同也夫逐时皆有出入地平之恒星逐星皆有出入地平之时刻可以测候而得亦可以推步而知其法用本地北极高度及本星赤道经纬度求得本星与赤道同出入地平之度乃与本时太阳赤道经度相减即得本星出入地平之时刻也
御制历象考成上编论弧三角形
弧三角形者球面弧线所成也古历家有黄赤相凖之率大约就浑仪度之仅得大概未能形诸算术惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率视古为密但其法用三乘方取数甚难自西人利玛窦汤若望等繙译历书始有曲线三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相应之八线弧与弧相交即线与线相遇而勾股比例生焉於是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有经可以知纬有纬可以知经历象之法至此而备勾股之用至此而极矣
正弧三角形必有一直角者盖因南北二极为赤道之纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与赤道交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十度又凡
有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相交亦必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相对者用弧角之八线所成勾股
为比例而弧角不相对者则用次形盖以弧角之八线所成勾股比例不生於本形而生於次形而次形者乃以本形与象限相减之余度所成故用本形之余弦余切即用次形之正弦正切也其法可易弧为角易角为弧【若斜弧三角形可易大形为小形易大边为小边易钝角成鋭角】边与角虽不相对可易为相对且知三角即可以求边其理实一以贯之也
弧三角之有斜弧形犹直线三角之有鋭钝形也但直线三角之鋭钝形惟二种一种三角俱鋭一种一钝两鋭而斜弧形则不然或三角俱鋭或三角俱钝或两鋭一钝或两钝一鋭其三边或俱大过於九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法历书所载推算之法益复繁杂难稽盖三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之鋭钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角【或求角而无对角之边或求边而无对边之角】则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角【或三边求角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣
【臣】等谨按考成上编首论仪象次即详弧三角形备列纲领条目图说及相求比例总较之法诚以日躔月离日食月食五星恒星皆藉是以推步焉兹録总论及分论正斜形各一篇其神明简易之妙用可概见云
御制历象考成後编论岁实
日行天一周为岁周岁之日分为岁实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一岁实为三百六十五日四分日之一尧典曰朞三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至後天以为岁实太强减岁余分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓岁当有差乃损岁余以益天周岁差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得岁实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】岁差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天岁自为岁而星又自为星其理甚明後西人柰端等屡测岁实又谓第谷所减太过酌定岁实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纎二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有奇以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纎四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纎有奇每年少三十微有奇盖岁实之分数增则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒而第谷去今一百四十余年以数计之其差恰合是亦取前後两冬至相距之积日时刻而均分之非意为增损也
御制历象考成後编论黄赤距纬
黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得二十三度三十三分三十二秒第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年
皇祖圣祖仁皇帝命和硕庄亲王等率同儒臣於畅春园蒙养斋开局测太阳高度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等历考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分後利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前後多少之故或谓诸家所用蒙气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有蒙气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十数分之多康熙年间所用蒙气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼
等所用之数不同而所测大距又相去不远由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由於所用差数之异所当随时考测以合天也
御制历象考成後编论地半径差
噶西尼等谓日天半径甚远无地半径差而测量所系只在秒微又有蒙气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其凖而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤远地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线於南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小於火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其说今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最高为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最高为九秒五十微最卑为一十秒一十微
御制历象考成後编论日月实径
从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而视径之大小则因距地有远近而时时不同然所谓实径者仍以视径之大小距地之远近比例而得今日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地之远近亦因之而各异且视径之大小古今所测相差惟在分秒之间在器只争毫厘而在数已差千百则实径究亦未有一定之数也西法以日实径为地径之五倍有余中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六最卑朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十四又百分之八十四今监臣戴进贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十九又用远镜仪【西人默爵所制以远镜加衡为窥管】测得日视径最高为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小余二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍余则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至於日体纯阳其光恒溢於常径之外新法算书谓周围皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必於并径内减去太阳光分一十五秒余与视纬相较方为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应尔也
御制历象考成後编论日月影半径及影差
日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用之数且又皆由距地之高卑远近而生故近日西法皆不用另求影半差惟以日月两地半径差相加内减去日半径余即为实影半径以影差已在其中也此外又有视影之说盖以地上有蒙气差能映小为大则太阳实径必小於视径实径小则影大矣又月食时日在地下蒙气转蔽日光则地影视径必尤大於实径计其所大之分约为太隂地平径差六十九分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家立说古今不必相同然测验皆期於合天而推步必归於有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有蒙气能障地影使大此亦极不同之致矣然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四分有余盖地影之大小固由於太阳距地之远近及太隂距地之高卑而太隂所关为尤重最卑太隂距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太隂距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也
御制历象考成後编论清蒙气差
监臣戴进贤等历考西史第谷所定地平上蒙气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其说谓蒙气绕乎地球之周日月星照乎蒙气之外人在地面为蒙气所映必能视之使高而日月星之光线入乎蒙气之中必反折之使下故光线与视线在蒙气之内则合而为一蒙气之外则岐而为二此二线所交之角即为蒙气差角第谷已悟其理然犹未有算术噶西尼反覆精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为蒙气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得蒙气差角爰在北极出地高四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒蒙气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正弦之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之蒙气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之
御制历象考成後编论太阳行度
钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月会而为朔行天一周而为岁岁月日皆於是乎纪故尧典以宾饯永短定治历之大经万世莫能易也其推步之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天高卑本轮均轮诸说用三角形推算近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法迥殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天高卑之说也至若岁实之转增距纬与两心差之渐近地半径差蒙气差之互为大小则亦由於积候损益旧数以成一家之言今用其法
太阳之行有盈缩由於本天有高卑春分至秋分行最高半周故行缩而历日多秋分至春分行最卑半周故行盈而历日少其说一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最高前後则失之小最卑前後则失之大又最高之高於本天半径最卑之卑於本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而後高卑之数盈缩之行与当时实测相合然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最高前後本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前後本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则高卑之理既与旧说无异而高卑前後盈缩之行乃俱与今测相符凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积已不相应矣况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也
御制历象考成後编论太隂行度
上编言太隂行度有九其实均轮行自行度次轮次均轮皆行月距日倍度则行度止六而已自西人刻白尔创为撱圆之法专主不同心天而不同心天之两心差及太隂诸行又皆以日行与日天为消息计其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度皆实测之数而要不离乎本天高卑中距四限与朔望两弦前後参互比较而得之
太隂之行有迟疾由於本天有高卑其说一为不同心天一为本轮与太阳同自刻白尔创为撱圆之法专主不同心天而不同心天之两心差及最高行又随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差即为八十六万有奇与旧数相去不远若日当月天最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒两心差为六六七八二○日历月天高卑而後两心差渐小中距而後两心差渐大日距月天高卑前後四十五度两心差适中又日当月天高卑时最高之行常速至高卑後四十五度而止日当月天中距时最高之行常迟至中距後四十五度而止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则太隂本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距之边为本天心距地数即本时之两心差也而其测量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差之数已见而求得两心差之数则高卑中距之差悉合矣
太隂初均数生於两心差两心差不等则均数亦不等然於平行无与也自刻白尔以本天为撱圆以平行为面积则两心差不等而撱圆之面积与太隂之平行亦因之不等盖两心差大者小径之数小而面积亦小两心差小者小径之数大而面积亦大故分撱圆之度数虽同而度之面积各异非先求其面积无以求度数也今取两心差之大中小三数求其小径及面积以定平行而後均数可得而推也
旧法用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六月天两心差最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽於数不为疎而於法则犹未密故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太隂平引与半周相减【不及半周者与半周相减过半周者减半周】为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为半圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率为正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云旧法推步朔望惟用初均数刻白尔以来奈端等屡加测验谓日在最卑後则太隂平行常迟最高平行正交平行常速日在最高後太隂平行常速最高平行正交平行常迟因定日在中距太隂平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月距日一日顺行一十二度余最高一日顺行六分余正交一日退行三分余皆随太阳平行为行度故为平行而太隂二均生於月距日之倍度最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一平均之法然太隂一平均则惟因左旋时差之故最高平均与正交正均则兼左旋右旋两差之故焉以太隂一平均言之太隂二均生於月距日之倍度而月距日之度乃置太隂实行减太阳实行而得之太阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳左旋时刻差一度倍月距日已差二度太隂又随之差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分为一率一小时月距日平行一千八百二十八秒六二为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒变时【每度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒】得七分四十五秒为三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○收为一十一分四十九秒为太隂一平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行至子正时之太隂平行度也以最高平均与正交平均言之最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一度日距月最高与日距正交之倍度已差二度最高与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高与正交亦随之差一度之行大阳又加倍差一度则最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差皆为一倍有半而未至子正应加已过子正应减之时差行又其在外者也太隂在本天高卑虽无初均数而太阳在本天高卑前後犹有一平均若太阳亦在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前後则平行常迟至高卑後四十五度而止在月天中距前後则平行常速至中距後四十五度而止然积迟积速之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距後四十五度之最大差为三分三十四秒太阳在最卑距月天高卑中距後四十五度之最大差为三分五十六秒高卑後为减中距後为加其间日距月最高逐度之差皆以半径与日距月最高倍度之正弦为比例其太阳距地逐度之差又以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例名曰二平均盖太隂本天心循最高均轮周行日距月最高之倍度日在月天高卑则两心差大而撱圆之面积小故平行迟也日在月天中距则两心差小而撱圆之面积大故平行速也日距月天高卑中距四十五度则两心差与撱圆之面积皆为适中太隂平行原以适中之数立算故其平行无迟速也
太阳在两交後平行稍迟在大距後平行稍速其最大差为四十七秒名曰三平均盖白极在正交均轮周旧法谓行月距日之倍度奈端以来谓行日距正交之倍度故惟太阳在两交与大距则白极与均轮心参直其平行无加减太阳在两交後则白极在均轮心之东而白道经圈之过黄道者亦差而东其黄道旧点所当白道度即差而西故平行应减而迟也太阳在大距後则白极在均轮心之西而白道经圈之过黄道者亦差而西其黄道旧点所当白道度即差而东故平行应加而速也此其所差止在数十秒之间虽不易得之仰观而实可稽之仪象
旧法推太隂两弦行度止有初均二均两弦前後始有三均初均之最大者四度五十八分余二均之最大者二度二十七分余三均之最大者四十二分余计两弦前後最大差共八度弱噶西尼以来屡加测验谓两弦太隂行度止有初均三均而三均又不尽关乎两弦之故二均之最大者不在两弦而在朔弦弦望之间其初均之最大者七度三十九分三十四秒二均之最大者三十七分一十一秒计两弦前後最大差共八度强则是今之二均固兼旧法二均三均之义而其数则又不同盖太隂去地甚近其行最着又二十七日有奇而一周天一月之中备日行四时之轨至为参错不齐古人惟重交食故朔望而外置之弗论西人第谷始创二三均之法其门人精测不已又数十年然後改定则其数必实有所据而非为臆说也其法定日在最高朔望前後四十五度最大差为三十三分一十四秒日在最卑朔望前後四十五度最大差为三十七分一十一秒朔望後为加两弦後为减其间月距日逐度之二均则以半径与月距日倍度之正弦为比例其太阳距最高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例与二平均同
旧法推步朔望两弦皆无三均数而三均之最大者每在朔弦弦望之间故知三均之差生於月距日之倍度自噶西尼以来以朔弦弦望间之最大差属之二均而月距日九十度与月高距日高九十度其差正等月距日四十五度与月高距日高四十五度其差又等则是三均之差不专系乎月距日之故也於是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测之其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等乃知三均之差生於月距日与月高距日高之总度半周内为加半周外为减其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒其间逐度之差以半径与总度之正弦为比例则三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度两者止有一相距之差则止有三均若月天最高与日天最高有距度日月又有距度则三均之外朔後又差而迟望後又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度时无三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将月高距日高九十度分为九限各於月距日九十度时测之两高相距九十度其差三分渐近则渐小其间月距日逐度末均之差皆以半径与月距日之正弦为比例朔後为减望後为加而後推太隂经度之法纎悉具备今考其所测其数之小者只在秒微之间其时又数十年而不一遇然其用意细密学者苟通乎此何患推测之无术欤
御制历象考成後编论交均及黄白大距
正交之行有迟疾由於黄白大距有大小旧法定朔望时交角最小为四度五十八分三十秒两弦时交角最大为五度一十七分三十秒两距度之较为一十九分交均之最大者为一度四十六分零八秒自奈端噶西尼以来谓日在两交时交角最大为五度一十七分二十秒日距交九十度时交角最小为四度五十九分三十五秒两距度之较为一十七分四十五秒朔望而後交角又有加分因日距交与月距日之渐远以渐而大至日距交九十度月距日亦九十度时加二分四十三秒交均之最大者为一度二十九分四十二秒皆与旧法不同然历家测黄白二距必於月距交九十度时夫月距交九十度而值朔望则日距交亦九十度是今之谓日距交九十度交角小犹与朔望交角小之义同也月距交九十度而值两弦则日必在两交是今之谓日在两交交角大犹与两弦交角大之义同也惟日在两交而又值朔望则交角关乎食分之浅深日距交九十度而又值两弦则加分关乎距纬之远近是必验诸实测古今确有不同之处参稽经纬以成一家之言而非轻为改定也至其推算之法以五十九为边总五十六为边较求得黄极之角为交均以日距交月距日之余弦比例得加分与最小之交角相加为大距亦与旧法不同取其易於入算故近日西士皆从之
皇朝文献通考卷二百五十七