<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>
钦定四库全书
御制厯象考成上编卷六
交食厯理一【日食月食合】
交食总论
朔望有平实之殊
朔望用时
求日月距地与地半径之比例
日月视径
求日月实径与地径之比例
地影半径
交食总论
太隂及于黄白二道之交因生薄蚀故名交食然白道出入黄道南北太隂每月必两次过交而或食或否何也月追及于日而无距度为朔距日一百八十度为望此皆为东西同经其入交也正当黄道而无纬度是为南北同纬虽入交而非朔望则同纬而不同经当朔望而不入交则同经而不同纬皆无食必经纬同度而后有食也盖合朔时月在日与地之间人目仰观与日月一线参直则月掩蔽日光即为日食望时地在日与月之间亦一线参直地蔽日光而生闇影其体尖圆是为闇虚月入其中则为月食也按日为阳精星月皆借光焉月去日逺去人近合朔之顷特能下蔽人目而不能上侵日体故食分时刻南北迥殊东西异视也若夫月食则月入闇虚纯为晦魄故九有同观但时刻有先后耳至于推步之法日食须用髙下南北东西三差委曲详密而月食惟论入影之先后浅深无诸视差之繁故先总论交食之理次论月食乃及日食因日食立法较难故后论加详焉
如图合朔时月在地与日
之间人在地面居甲者见
月全掩日居乙者见月掩
日之半居丙者但见日月
两周相切而不相掩故日
食随地不同乃月蔽人日
不见日光而日体初无异
也
如地在日月之间日大地
小地向日之面为昼背日
之面则生尖影人在影中
不见日光为夜望时月入
影中而不能借日光全为
晦魄故月食为普天同视
也
朔望有平实之殊
日月相防为朔相对为望而朔望又有平实之殊平朔望者日月之平行度相防相对也实朔望者日月之实行度相防相对也故平朔望与实朔望相距之时刻以两实行相距之度为准盖两实行相距之度以两均数相加减而得而两朔望相距之时刻则以两实行相距之度变为时刻以加减平朔望而得实朔望故两实行相距无定度则两朔望相距亦无定时也
如图甲为地心即日月本
天心乙为月本轮心丙为
日本轮心【日月止用本轮者因明平实之
理取其易于辨析也】两轮心俱在甲
乙丙及甲乙丁直线上为
平朔望而丙为黄道上平
朔之度丁为黄道上平望
之度如日在本轮之戊月
在本轮之己或在本轮之
庚俱在甲己戊辛及甲庚
壬直线上则为实朔望而
辛为黄道上实朔之度壬
为黄道上实望之度也
如平朔望在丙在丁而日
在戊月在己或在庚则日
之实行度在辛相对之度
在壬而辛丙及壬丁皆为
加均乃实行过于平行之
度月之实行度朔在癸望
在子而癸丙及子丁皆为
减均乃实行不及平行之
度故以辛丙加均与癸丙
减均相并得癸辛弧为两
实行相距之度亦即实朔
距平朔之度以壬丁加均
与子丁减均相并得子壬
弧为两实行相距之度亦
即实望距平望之度也此
日为加均月为减均故日
实行在月实行之前为实
朔望在平朔望之后必计
月得若干时分而后行过
癸辛弧及子壬弧始能与
日相防相对故以癸辛弧
及子壬弧变为时分以加
平朔望而得实朔望也若
日为减均月为加均则日
实行在月实行之后而实
朔望在平朔望之前即以
实行相距之时分减平朔
望而得实朔望其理亦同
也
如平朔望在丙在丁而日
在戊月在己或在庚则日
之实行度在辛相对之度
在壬而辛丙及壬丁皆为
减均乃实行不及平行之
度月之实行度朔在癸望
在子而癸丙及子丁亦皆
为减均乃实行不及平行
之度故以辛丙减均与癸
丙减均相减余辛癸弧为
两实行相距之度亦即实
朔距平朔之度以壬丁减
均与子丁减均相减余壬
子弧为两实行相距之度
亦即实望距平望之度也
此日之减均大于月之减
均故日实行在月实行之
后而实朔望在平朔望之
前必计月己行过与日相
防相对若干时分为辛癸
弧及壬子弧故以辛癸弧
及壬子弧变为时分以减
平朔望而得实朔望也若
日之减均小于月之减均
则日实行在月实行之前
而实朔望在平朔望之后
即以实行相距之时分加
平朔望而得实朔望其理
亦同也
如平朔望在丙在丁而日
在戊月在己或在庚则日
之实行度在辛相对之度
在壬而辛丙及壬丁皆为
加均乃实行过于平行之
度月之实行度朔在癸望
在子而癸丙及子丁亦皆
为加均乃实行过于平行
之度故以辛丙加均与癸
丙加均相减余辛癸弧为
两实行相距之度亦即实
朔距平朔之度也以壬丁
加均与子丁加均相减余
壬子弧为两实行相距之
度亦即实望距平望之度
也此日之加均大于月之
加均故日实行在月实行
之前而实朔望在平朔望
之后必计月得若干时分
而后行过辛癸弧及壬子
弧始能与日相防相对故
以辛癸弧及壬子弧变为
时分以加平朔望而得实
朔望也若日之加均小于
月之加均则日实行在月
实行之后而实朔望在平
朔望之前即以实行相距
之时分减平朔望而得实
朔望其理亦同也
朔望用时
太阳与太隂实行相防相对为实朔望但实朔望之时刻按诸测验犹有数分之差【或早或迟差至一刻】以其犹非用时也盖实朔望固两曜实防实对之度而推算时刻则仍以平行所临之位为时皆依黄道而定今推平行与实行既有盈缩差则时刻亦有增减又时刻以赤道为主而黄道赤道既有升度差则时刻亦有进退故必以本时太阳均数与升度差俱变为时分以加减实朔望之时刻为朔望用时乃与测验脗合此即日躔时差加减之理也
求日月距地与地半径之比例
太阳太隂距地之逺近日躔月离地半径差篇言之详矣顾求地半径差止用最髙最卑中距三限而交食之日月视径以及影径影差则逐度不同且太隂在最髙两尤髙太阴在最卑两尤卑交食在朔望其髙卑皆不及两故欲求日月逐度之髙必先定最髙最卑中距之距地心线今依日月诸轮之行求得太阳在最髙距地心一○一七九二○八【本 天半 径加本轮半径减均轮半径】其与地半径之比例为一与一千一百六十二【详日躔厯理】中距距地心一○○○六四二一【求均数时并求太阳距地心之邉即得】其与地半径之比例为一与一千一百四十二最卑距地心九八二○七九二【本天半径减本轮半径加均轮半径】其与地半径之比例为一与一千一百二十一太阴在最髙朔望时距地心一○一七二五○○【本天半径加负圏半径减均轮半径又减次轮半径又减次均轮半径即得俱详月离二三均数图】其与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六中距朔望时距地心九九二○二七三【求初均数时并求太阴距地心之邉内减次均轮半径即得盖朔望时无二三均但距地心少次均轮半径耳】其与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二【详月离地半径差篇最髙最卑皆以此为比例】最卑朔望时距地心九五九二五○○【本天半径减负圏半径加均轮半径又加次轮半径减次均轮半径即得】其与地半径之比例为一与五十四又百分之八十四如求太阳在最髙前后四十度距地心与地半径之比例则以太阳最髙距地心一○一七九二○八为一率一千一百六十二为二率太阳在最髙前后四十度之距地心线一○一三九八九八为三率得四率一千一百五十七即当时日距地与地半径之比例也求月距地之法仿此
日月视径
日月之径为食分浅深之原所关甚大但人目所见者非实径乃视径也实径为一定之数而视径则随时不同盖凡物逺则见小近则见大日月之行有髙卑其去地之逺近逐日不同故其视径之小大亦不等数年以来精推实测得太阳最髙之径为二十九分五十九秒最卑之径为三十一分零五秒比旧定日径最髙少一秒最卑多五秒朔望时太阴最髙之径为三十一分四十七秒最卑之径为三十三分四十二秒比旧定月径最髙多一分一十七秒最卑少五十八秒而以日月髙卑比例推算今数为密兹将测算之术详着于篇
测太阳径一法用正表倒
表各取日中之影求其髙
度两髙度之较即太阳之
径也盖正表之影乃太阳
上边之光射及表之上邉
其所得为太阳上边距地
平之髙度倒表之影乃太
阳下边之光射及表之下
边其所得为太阳下邉距
地平之髙度故两髙度之
较即太阳之径也
一法用仪器测得太阳午
正之髙度复用正表测影
亦求其髙度两髙度之较
即太阳之半径也盖仪器
所得者太阳中心之度表
影所得者太阳上边之度
故两髙度相较即得太阳
之半径也
一法用中表正表各取日
中之影求其髙度两髙度
之较即太阳之半径也盖
中表系横梁上下皆空太
阳上边之光射横梁之下
面太阳下边之光射横梁
之上面其所生之影必当
太阳之中心故以中表所
测之髙度与正表所得太
阳上边之髙度相较即得
半径也
一法治一暗室令甚黝黒
于室顶上开小圆孔【径一寸或
半寸】以透日光孔面顶平不
可欹侧室内置平案孔中
心悬垂线至案中线正午
时日光射于案上必成撱
圆形爰従案上对垂线处
量至撱圆形之前后两界
垂线至前界加孔之半径
为前影垂线至后界减去
孔之半径为后影乃以垂
线【即孔距案面】为一率前后影
各为二率半径一千万为
三率得四率并查八线表
之余切线得前后影之两
髙度相减之较即太阳之
全径也盖太阳上边之光
従孔南界射入至案为撱
圆形之前界与正表之理
同太阳下边之光従孔北
界射入至案为撱圆形之
后界与倒表之理同故两
髙度之较即为太阳之径
也至于前后影必加减孔
之半径者因量影时俱对
孔之中心起算然前影则
自孔之南界入在中心之
前而后影则自孔之北界
入在中心之后较之中心
并差一半径故必须加减
半径而后立算也
测太阴径一法春秋分望
时用版或墙为表以其西
界当正午线人在表北依
不动之处候太隂之西周
切于正午线看时辰表是
何时刻俟太阴体过完其
东周才离正午线复看时
辰表是何时刻乃计太阴
过正午线共得防何时刻
以时刻变度【每时之四分为一度】内
减本时分之太阴行度余
即太阴之径也
一法两人各用仪器候太
阴当正午时同时并测一
测其上弧髙度一测其下
弧髙度两髙度之较即太
隂之径也
一法用附近恒星以纪限
仪测其距太阴左右两弧
之度其两距度之较即太
阴之径也
以上诸法逐时测量即得
太阳太阴自髙及卑之各
半径以立表又法不用逐
时测量止测得最髙最卑
时之两半径相减用其较
数与本轮之矢度为比例
即可得髙卑间之各半径
数也如太阳最髙之径为
二十九分五十九秒最卑
之径为三十一分零五秒
相差一分零六秒化为六
十六秒今求距髙卑前后
六十度之视径则命本轮
径为二千万为一率六十
度之矢五百万为二率径
差六十六秒为三率得四
率一十六秒半以加最髙
之径二十九分五十九秒
得三十分一十五秒半为
最髙前后六十度之视径
以减最卑之径三十一分
零五秒得三十分四十八
秒半为最卑前后六十度
之视径也太阴之法并同
求日月实径与地径之比例
日月地三体各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月髙卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大致相符足征其説之有据而非诬也
凡明暗两体相对明体施
光暗体受之其背即生黑
影若两体同大则其影成
平行长圆柱形其径与原
体相同其长至于无穷而
无尽也如甲图然若明体
小暗体大则其影渐大成
圆墩形其径虽与原体相
同其长至于无穷其底之
大亦无穷也如乙图然惟
明体大暗体小则其影渐
小成尖圆体其径与原体
等其下渐小而尽成鋭角
如丙图然使日小于地或
与地等则地所生之影宜
如甲乙两图其长无穷今
地影不能掩荧惑何况嵗
星以上诸星是地影之长
有尽必如丙图而日之大
于地也其理明矣又凡人
目视物近则见大逺则见
小如丁戊与己庚两物同
大人目视之成两三角形
丁戊近目其两腰短故底
之对角大己庚逺目其两
腰长故底之对角小若去
人目有逺近而视之若等
则逺者必大近者必小今
仰观日月其径畧等而日
去地甚逺月去地甚近则
月必小于日也可知矣夫
地径小于日而地影之径
又渐小于地月过地影则
食食时月入影中多厯时
刻而后生光则月必小于
地影月既小于地影则其
必小于地也又何疑焉求
日实径之法如图甲为地
心乙为日心甲乙为两心
相距乙甲丙角为日视半
径角乙丙为日半径用甲
乙丙直角三角形此形有
丙直角有甲角十四分五
十九秒三十微为日在最
髙之视半径有乙甲边一
千一百六十二为日在最
髙距地心之数求得乙丙
五又百分之七为日实半
径即为地半径之五倍又
百分之七也求月实径之
法仿此
地影半径
太阳照地而生地影太阴过影而生薄蚀凡食分之浅深食时之乆暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有逺近距地逺者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地麤而逺地细太阴行最卑距地近则过影之麤处其径大行最髙距地逺则过影之细处其径小此由太阴而变易者也今依太阳在最髙所生之大影为率而以太阴従髙及卑各距地心之地半径数求其相当之影半径为影半径表复求得太阳従髙及卑所生之各影各求其太阴在中距所当之影半径俱与太阳在最髙所生之大影相较余为影差列于本表之下用时以太阴引数宫度查得影半径复以太阳引数宫度查得影差以减影半径即得所求之地影实半径也
如图甲为地球乙丙皆为太阳乙为最髙丙为最卑太阳従最髙乙发光则地影长大为丁己戊従最卑丙发光则地影短小为丁庚戊太阴遇丁己戊大影而在最髙辛则其所当之影径如辛壬
在最卑癸则其所当之影径如癸子若太阴遇丁庚戊小影而在最髙辛则其所当之影径如丑寅在最卑癸则其所当之影径如卯辰其两半径之较为辛丑与癸卯是所谓影差也
求地影半径有二法一用推算一用测
量而推算所得之数比测量所得之数常多数分盖因太阳光大能侵削地影故也如甲为地球乙丙丙丁为太阳实半径従乙丁作两线切地球戊己两边而交于庚则成戊庚己影然太阳光芒常溢于原体之外如辛壬従辛壬作两
线切地球戊己两边而交于癸则成戊癸己影而小于戊庚己影论其实则推算之数为真欲合仰观则测量之数为准故地影表所列之数皆小于推算之数也
推算之法命地半径甲己为一百分则太阳实半径丙丁为五百零七分【太阳实径】
【为地径之五倍又百分之七今以地半径为一百分则太阳实半径为五百零七分】以甲己与丙丁相减余丙子四百零七乃以丙子四百零七为一率太阳在最髙距地心之丙甲一十一万六千二百【即地半径之一千一百六十二倍】为二率甲己地半径一百为三率得四率甲庚二万八千五百五十为地影之长盖丙子甲勾股
形与甲己庚勾股形为同式形故其相当各界皆可为比例也既得甲庚地影之长乃求得甲庚己角一十二分零二秒又于甲庚地影之长内减去太阴在中距朔望时距地心之甲丑五千六百七十二【即地半径之五十六倍又百分之七十二】余二万二千八百七十八为丑庚于是用丑庚寅
直角三角形求得丑寅八十有余又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒为太阴在中距时所过地影之半径查地影半径表为四十四分四十三秒多三分五十一秒
测量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其实引为二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半径零百分之四十一测得纬度在黄道北三十六分一十八秒月半径为一十六分一十秒食分为二十三分三十秒乃以黄道纬度三十六分一十八秒求得白道纬度三十六分二十六秒为食甚距纬与食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内减月半径一十六分一十秒余四十三分四十六秒为地影半径查地影半径表为四十三分五十四秒相差八秒乃本时太阳之影差也【表数乃太阳在最髙之影今太阳在八宫故差八秒】如图子丑寅为黄道卯辰己为白道卯子寅己为地影午丑为地影半径未申酉为月未辰为月半径月行白道従卯至辰距地影心丑最近是为食甚午酉即为食分辰戌为黄道纬度辰丑即白道纬度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角与黄白交角等有戌直角有辰戌边求得辰丑为食甚距纬以午酉食分与辰丑距纬相加成亥丑内减与月半径未辰相等之亥午余午丑即为地影之半径也推算所得之数既大于测量所得之数则太阳光大之能侵削地影可知矣然不得太阳之光分虽逐时测量又有影差杂于其内则地影之大小终不能得其真今立法以太阴在中距之地影半径四十四分四十三秒为准【前测月食实引二宫三度近中距而其影畧与表合故以中距之地影为准】求太阳之光分命地半径甲巳为一百分则太阴在中距朔望时距地心之甲丑为五千六百七十二丑甲寅角即为四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅为七十三小余七八甲寅为五千六百七十二小余四八又用甲巳寅直角三角形【巳为直角】求得巳甲寅角为八十
八度五十九分二十四秒于象限内减去巳甲寅角又减去丑甲寅角余一十五分五十三秒为卯甲己角乃用卯甲己直角三角形【已为直角】求得甲卯为一百又千分之一甲卯内减去与丑寅相等之甲辰余二十六小余二二一为辰卯于是以卯辰寅勾股形【辰寅与甲丑等】与卯甲
庚勾股形为比例得甲庚二万一千六百三十二即地影之长又以甲己庚勾股形与丙丁庚勾股形为比例得丙丁六百三十七即太阳之光分为地半径之六倍又百分之三十七也既得丙丁太阳之光分又得甲庚地影之长乃于甲庚内减太阴在最髙距地心之甲巳
五千八百一十六余己庚一万五千八百一十六以甲卯庚勾股形与巳午庚勾股形为比例得巳午七十三小余一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒为太阴在最髙所过地影之半径于甲庚内减太阴在最卑距地心之甲未五千四百八十四余
未庚一万六千一百四十八以甲卯庚勾股形与未申庚勾股形为比例得未申七十四小余六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒为太阴在最卑所过地影之半径比旧表最髙多一十三秒最卑少一十二秒盖旧表固由实测要亦准于太隂之髙卑今测太阴之在最髙较旧数为稍卑故月径大而影径亦大太阴之在最卑较旧数为稍髙故月径小而影径亦小然月径约以三十分为十分影径差一十二秒食分止差四秒固不失为密合况影径随月径而大小尤不致舛谬也于是以随时太阴距地心之地半径数各与地影之长相减以求得地影之半径线又各求其相当之角即得太阴随时之影半径以立表
求影差之法用太阳在最髙所生之长影求得太阴在中距时所当之影半径四十四分四十三秒为率而以太阳在最卑所生之短影亦求得太阴在中距
所当之影半径为四十四分零八秒相
差三十五秒为太阳最髙最卑两限之
影差其余影差俱依此例推之
御制厯象考成上编卷六