钦定四库全书

新法算书卷八十五　　明　徐光启等　撰几何要法

界説章第一【凡十则】

第一界

角者两线纵横相遇所作线有曲直两

直相遇为直线角两曲相遇为曲线角

一直一曲相遇为杂线角曲杂两线角

更有别论今先明直线角

第二界

凡直线正垂于横直线之上必成两直

角相等如上图甲乙为垂线丙丁为横

线而乙之左右两角相等为两直角若

反以甲乙为横线则丙丁为甲乙垂线也【如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线】

第三界

垂线斜交于横直线之上必成两不等角两不等角一大

于直角一小于直角大为钝角小为鋭角如上图戊己庚为钝角戊己辛为鋭角故直角惟一而鋭钝两角其大小不

等乃至无数

第四界

凡二直线不能为有界之形故直线之形有界者至少有三角有三直线为边名曰三边形亦曰三角形如上图三边

形止有三种

第五界

三边线相等为等边三角形亦为平边三角形如上甲乙丙图

第六界

两边线相等为一不等三角形如上丁戊己图

第七界

三边线俱不等为不等边三角形如上庚辛壬图

第八界

三边形有一直角为三边直角形有一钝角为三边钝角形有三鋭角为三边各鋭角形如上三图

第九界

凡三边形恒以在下者为底在上边为腰如上图甲乙甲丙为腰乙丙为底

第十界

凡言角者俱用三字为识其第二字即所指角也如甲乙

丙角其乙字指角

三髀规章第二

规以二髀为常法或倍之于两端为四髀前卷己详之矣兹有三髀规新式造法两髀如常如前二卷中所设是也旁一髀即附于二髀之枢稍引长之出头其头端上有眼衔旁一髀令其圆活可上下左右如下图用法见后

于有界直线上求立等边三角形章第三

如甲乙直线上求立等边三角形先以甲为心乙为界或上或下作一短界线次以乙为心甲为界亦如之两短界线

交处为丙末自甲至丙丙至乙各作直线即所求于有界直线上求立一不等三角形章第四

如甲乙直线以甲为心任取一度或长或短于甲乙线上用前法作一短界线次以乙为心用前度亦如之两短界线

交处为丙从丙至甲至乙各作直线即所求

于有界直线上求立三不等角形章第五

如甲乙直线以甲为心或长或短用一度如前作短界线次以乙为心甲度长今用短度甲度短今用长度于甲乙不

等作短界线交处为丙从丙至甲至乙作两直线即所求

有直线角求两平分之章第六

如乙甲丙角求两平分之先于甲乙线

任截一分为甲丁次于甲丙线截甲戊

与甲丁等次或用元度或任取一度以

丁为心向乙丙间作一短界线次以戊

为心亦如之两线交处为己从甲至己

作直线即所求若向乙丙无地可作短

界线则宜仍以丁以戊为心向甲上作短界线为己从己至甲作直线即所求【如上图】

有直角求三平分之章第七

如甲乙丙直角求三平分之先任于一

边立平边角形为甲乙丁次分对直角

一边为两平分丁戊从此边对角作垂

线至乙即所求

有角任分为若干分章第八

如乙甲丙角欲分为四为八为十六等分则先分两分又各两分之得四又各两分之得八又各两分之得十六愈分愈倍如任欲分为几分如三五七九之类则先以甲为心向乙作一圜分次以规分圜分任作几何分末从所分度

至甲作直线即所求如上图

有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九

如甲乙丙三线毎两线并大于一线任以一线为底以底之甲为心第【二三】线为度向上作短界线两界线交处为丙次

向下作丙甲丙乙两腰即所求

设一三角形求别作一形与之等章第十

以所设三角形之三边当甲乙丙三线以前法作之即所求或又用前所备三髀规以规形所设三角形度移于别处

即所求

一直线任于一防上求作一角如所设角等章第十一

如甲乙线上有丙防求作一角如所设丁戊己角等先于戊丁线任取一防为庚于戊己线任取一防为辛

自庚至辛作直线次以前法于甲乙线

上作丙壬癸角形与戊庚辛角等即所

求

有三角形求两平分之章第十二

如有甲乙丙三角形求两平分之任于

一边两平分之于丁向角作直线即所

求

凡角形任于一边任作一防求从?分两形为两平分章第十三

有甲乙丙角形从丁防求两平分之先自丁至相对甲角

作甲丁直线次平分乙丙线于戊作戊

己线与甲丁平行末作己丁直线即分

本形为两平分

有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四

如甲乙丙三角形甲边直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上

所作两直角方形并旣与乙丙上所作

直角方形等【原本卷四十七】则甲乙之羃【自乗之数

曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之

得百而乙丙之羃亦百百开方得十即

乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲

乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲

丙上两直角方形并旣与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此

新法算书卷八十五